江西省四校1415学年度高二9月联考——数学数学

江西省四校
（横峰中学、弋阳中学、铅山中学、德兴中学）
2014—2015学年度上学期第一联考
高二数学试题
一、选择题(50分)
1．若为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若，则 B ．若，则 C ．若，则 D ．若，则
2．某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号为6号，32号，45号的同学都在样本中，那么样本中还有一位同学的座位号是 A. 16 B. 19 C. 24 D. 36
3．已知与之间的一组数据如下表，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为 ， 那么 的值为（ ）
A. 0.5
B. 0.6
C. 0.7
D. 0.8 4．下列说法中，正确的是 ( )
A ．当x ＞0且x≠1时， B.当0＜x≤2时，x-无最大值 C ．当x≥2时，x+的最小值为2 D ．当x ＞0时， 5．函数y ＝ (x>1)的最小值为( )
A ．－4
B ．－3
C ．3
D ．4 6．甲乙两组统计数据用下面茎叶图表示，设甲乙两组数据的平均数分别为，中位数分别为，，则（ ） A.＜，＞ B. <， C. >， > D. >，
<
8．下图a 是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A m [如A 2表示身高（单位：cm ）在[150，155]内的学生人数]。

图b 是统计图a 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。

现要统计身高在160～180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 （ ）
x
9．已知点A(a ，b)与点B(1,0)在直线3x －4y ＋10＝0的两侧，给出下列说法： ①3a －4b ＋10>0； ②>2；
③当a>0时，a ＋b 有最小值，无最大值； ④当a>0且a≠1，b>0时，的取值范围为∪. 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ． 3 D ．4
10．设实数满足20
25020x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则的取值范
围是（ ）
A ．]
B ．
C ．
D ． 二、填空题(25分) 11、若实数，满足，则的最小值为 。

12．设在约束条件1y x
y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数的
最大值为4，
则的值为 ．
13．读右面程序，输出i= 。

14．利用如上图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点既在直线2x－y+7=0右下方，又在直线x―2y+8=0左上方的有_____个.
15．已知函数与的图像关于直线对称，若，则不等式的解集是_________。

三、解答题(75分)
16．（本题12分）已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝4时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
17、（本题12分）某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示.
（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的
数据，再在答题卷上完成下列频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
18．（本题12分）解关于x的不等式,
19．（本题12分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162m2的三级污水处理池，池的深度
一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/m2，中间两道隔墙建造单价为248元/m2，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．
(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16m，试设计污水池的长和宽，使
总造价最低，并求出最低总造价．
20．（本题13分）根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，
x2，…，x k，…；y1，y2，…，y k，….
(1)分别求数列{x k}和{y k}的通项公式；
(2)令z k＝x k y k，求数列{z k}的前k项和T k，其中k∈N*，k≤2 007.
参考答案
一、选择题 BBCDC BCBBC
二、填空题11、6 12、3 13、4 14、1 15、 三、解答题
16． (1)由a ＝4，∴f(x)＝＝x ＋＋2≥6，
当x ＝2时，取得等号．即当x ＝2时，f(x)min ＝6.
(2)x ∈[1，＋∞)， >0恒成立，即x ∈[1，＋∞)，x 2＋2x ＋a>0恒成立． 等价于a>－x 2－2x ，当x ∈[1，＋∞)时恒成立， 令g(x)＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)， ∴a>g(x)max ＝－1－2×1＝－3，即a>－3.∴a 的取值范围是. 17、（1）由题可知，第2组的频数为人, 第3组的频率为,
频率分布直方图如下:
（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以
利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为: 第3组:人,
第4组:人, 第5组:人,
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.
18、1、当），时，不等式的解集为（1--0∞=m
2、当),1
(
1--0+∞⋃∞>m
m ），时，不等式的解集为（ 3、当）
，时，不等式的解集为（1-m
1
01<<-m 4、当∅-=时，不等式的解集为1
m 5、当）
，时，不等式的解集为（m
m 11-1-< 19．(1)设污水处理池的宽为xm ，则长为m
总造价为f(x)＝400×＋248×2x ＋80×162＝1296x ＋＋12960＝1296＋12960≥1296×2＋12960＝38880元．当且仅当x ＝ (x>0)，即x ＝10时取等号．∴当长为16.2m ，宽为10m 时总造价最低，最低总造
价为38880元．
(2)由限制条件知016162
016x x <≤⎧⎪
⎨<≤⎪⎩
，，∴10≤x≤16.设g(x)＋x ＋，由函数性质易知g(x)在上是增函数，∴当x ＝10时(此时＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1296×＋12960＝38882(元)．∴当长为16m ，宽
为10m 时，总造价最低，为38882元．
20．(1)由框图，知数列{x k }中，x 1＝1，x k ＋1＝x k ＋2， ∴x k ＝1＋2(k －1)＝2k －1(k ∈N *，k ≤2 007) 由框图，知数列{y k }中，y k ＋1＝3y k ＋2， ∴y k ＋1＋1＝3(y k ＋1)∴＝3，y 1＋1＝3.
∴数列{y k ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，
∴y k ＋1＝3·3k －
1＝3k ，∴y k ＝3k －1(k ∈N *，k ≤2 007)． (2)T k ＝x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x k y k ＝1×(3－1)＋3×(32－1)＋…＋(2k －1)(3k －1)＝1×3＋3×32＋…＋(2k －1)·3k －[1＋3＋…＋(2k －1)] 记S k ＝1×3＋3×32＋…＋(2k －1)·3k ①
则3S k ＝1×32＋3×33＋…＋(2k －1)·3k ＋
1 ②
①－②，得－2S k ＝3＋2·32＋2·33＋…＋2·3k －(2k －1)·3k ＋
1
＝2(3＋32＋…＋3k )－3－(2k －1)·3k ＋1＝2×－3－(2k －1)·3k ＋
1
＝3k ＋1－6－(2k －1)·3k ＋1＝2(1－k )·3k ＋
1－6
∴S k ＝(k －1)·3k ＋1＋3∴T k ＝(k －1)·3k ＋
1＋3＋k 2 21、（1）即，由于，所以 所以解集为；
当时，即不等式恒成立，
①若，则，该不等式满足在时恒成立； ②由于2
2
(21)4410a a a ∆=+-=+>， 所以2
()(21)1g x ax a x =+++有两个零点，
若，则需满足0,(1)0,21
1
2a g a a
⎧
⎪>⎪-≥⎨⎪+⎪-≤-⎩ 即00212a a a a >⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩，此时无解；。