建筑力学结构的计算简图

• 在力偶的作用面内任取一点O为矩心（图2.11），点O与力F的距离为x，力偶臂为d。 力偶的两个力对点O之矩的和为
•
MO（F）＋ MO（F ）＝－F x＋F （x+d）＝Fd
这一结果与矩心的位置无关。
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• 因此，把力偶的任一力的大小与力偶臂的乘积冠以适当的正负号，作为力偶使物体转 动效应的度量，称为力偶矩，用M表示。即
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• 【解】 计算各力对A点的力矩。
•
MA(W1)＝－W1×0.2 m＝－30 kN×0.2 m＝－6 kＮm
• MA(W2)＝－W2×（0.4＋0.533）m＝－60 kN×0.933 m＝－56 kＮm
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• MA(F)＝MA(Fx)＋ MA(Fy) • ＝Fcos45°×1.5m－Fsin45°×（2－1.5cot70°）m • ＝40 kN×0.707×1.5 m－40 kN×0.707×1.454 m • ＝42.42 kＮm－41.12 kＮm＝1.3 kＮm
•
挡土墙的重力以及土压力的竖向分力对A点的力矩是使墙体稳定的力矩，而土压力的水平分力对A点的
力矩是使墙体倾覆的力矩。
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• 2.1.6 力偶的概念
•
在日常生活中，经常会遇到物体受大小相等、方向相反、作用线相互平行的两个力
作用的情形。例如，汽车司机用双手转动方向盘［图2.10（a）］，两人推动绞盘横杆
A
设垂足分别为b、c、d。各力 对点O之矩分别为
FR
F1 c
O
D
B b
dx
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MO（F1）＝－2A△OAB＝－OA·Ob MO（F2）＝－2A△OAC＝－OA·Oc MO（FR）＝－2A△OAD＝－OA·Od 因
Od＝Ob＋Oc 故 MO（FR）＝MO（F1）D ＋MO（F2）
C
FR
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• 2.力的效应
•
力对物体的作用结果称为力的效应。力使物体运动状态发生改变的效应称为运动效
应或外效应；力使物体的形状发生改变的效应称为变形效应或内效应。
•
力的运动效应又分为移动效应和转动效应。例如，球拍作用于乒乓球上的力如果不
通过球心，则球在向前运动的同时还绕球心转动。前者为移动效应，后者为转动效应。
•
分布力的集度通常用q表示。若q为常量，则该分布力称为均布力；否则，就称为非均布力。图2.2
（a）表示作用于楼板上的向下的面分布力；图2.2（b）表示搁置在墙上的梁沿其长度方向作用着向下的线
分布力，其集度q=2kN/m；它们都是均布力。图2.2（c）表示作用于挡土墙单位长度墙段上的土压力，
图2.2（d）表示作用于地下室外墙单位长度墙段上的土压力和地下水压力，它们都是非均布的线分布力。
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• 必须指出，二力平衡公理、加减平衡力系公理及其推论只适用于刚体，不适用于变形体。 例如，绳索的两端若受到大小相等、方向相反、沿同一条直线的两个拉力的作用，则其 保持平衡；如把两个拉力改为压力则其不会平衡[图2.4(a)]。又如变形杆AB在平衡力系 F1、F2作用下产生拉伸变形[图2.4（b）]，若除去这一对平衡力，则杆就不会发生变形； 若将力F1、F2分别沿作用线移到杆的另一端，则杆产生压缩变形[图2.4（c）]。
充分条件，即该定理的逆定理不一定成立。
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• 4. 作用与反作用定律
•
两物体之间的作用力和反作用力总是同时存在，而且两力的大小相等、方向相反、沿着同一直线分别作
用于该两个物体上。
•
这个定律概括了物体间相互作用的关系，表明作用力和反作用力总是成对出现的。应该注意，作用力
与反作用力分别作用于两个物体上，它们不构成平衡力系。
2.1 力与力偶
• 2.1.1 刚体和变形体
•
所谓刚体是指在外力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不变的物体。
这是一个理想化的力学模型。实际上物体在受到外力作用时，其内部各点间的相对距离
都要发生改变，从而引起物体形状和尺寸的改变，即物体产生了变形。当物体的变形很
小时，变形对研究物体的平衡和运动规律的影响很小，可以略去不计，这时可把物体抽
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• 2. 加减平衡力系公理
•
在作用于刚体上的任意力系中，增加或减少任一平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效应。
• 根据上述公理可以得到如下推论：作用于刚体上的力可以沿其作用线移动到该刚体上任一点，而不改变力 对刚体的作用效应。这一推论称为力的可传性原理。
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证明：
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• 5.等效力系、合力的概念
•
作用于一个物体上的若干个力称为力系。如果两个力系对物体的运动效应完全相同，则该两个力系称
为等效力系。如果一个力与一个力系等效，则此力称为该力系的合力，而该力系中的各力称为合力的分力。
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• 2.1.3 静力学公理
MO（FR）＝MO（F1）＋MO（F2）＋…＋MO（Fn） ＝ MO（Fi）
●在许多情况下应用合力矩定理计算力对点之矩较 为简便。
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证明：
就两个力的简单情况进行 证明。设力F1、F2作用于物 体上A点，其合力为FR。任取 一点O为矩心，取过O点并与 C OA垂直的直线为x轴，过各力 F2 矢端B、C、D作x轴的垂线，
B
F2
x
F1
d
A
b
c O 第30页/共122页
•
对于有合力的其他力系，合力矩定理同样成立。在许多情况下应用合力矩定理计
算力对点之矩较为简便。
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•
【例2.1】 挡土墙（图2.9）重W1 =30 kN、W2 =60 kN，所受土压力的合力F
=40 kN。试问该挡土墙是否会绕A点向左倾倒？
•
因此，把乘积Fd冠以适当正负号作为力F使物体绕O点转动效应的度量，称为力F对
点O之矩，简称力矩，用MO (F)表示，即
MO (F)＝±Fd
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• O点称为矩心，d称为力臂。式中的正负号用来区别力F使物体绕O点转动的方向，并规 定：力F使物体绕O点逆时针转动时为正，反之为负。
• 由图2.7可知，力F对点O之矩也可以用△OAB面积的两倍来表示，即
象为刚体，从而使问题的研究大为简化。
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•
但当研究的问题与物体的变形密切相关时，即使是极其微小的变形也必须加以考虑，这时就必须把物体
抽象为变形体这一力学模型。例如，在研究结构或构件的平衡问题时，我们可以把它们视为刚体；而在研
究结构或构件的强度、刚度和稳定性问题时，虽然结构或构件的变形非常微小，但必须把它们看作可以变
（图2.1）。该线段的长度按一定比例尺绘出表示力的大小；线段的箭头指向表示力的 方向；线段的始端［图2.1（a）］或终端［图2.1（b）］表示力的作用点；矢量所沿的 直线（图2.1中的虚线）称为力的作用线。规定用黑体字母F表示力，而用普通字母F表 示力的大小。
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图2.1
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• 3. 力的平行四边形法则
• 作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点仍在该点，合力的 大小和方向，由以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线确定［图2.5（a）］，其 矢量表达式为
• FR＝F1＋F2
（2.1）
• 有时为了方便，可由A点作矢量F1，再由F1的末端作矢量F2，则矢量AC即为合力FR［图 2.5（b）］。这种求合力的方法称为力的三角形法则。
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• 5. 刚化原理
•
如果把在某一力系作用下处于平衡的变形体刚化为刚体，则该物体的平衡状态不会改变。
•
由此可知，作用于刚体上的力系所必须满足的平衡条件,在变形体平衡时也同样必须遵守。但刚体的
平衡条件是变形体平衡的必要条件，而非充分条件。
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• 2.1.4 力矩的概念
• MO (F)＝±2A△OAB
(2.2a）
• 力矩是一代数量，其单位为N·m或 kN·m。 • 由式（2.2a）可知，当力等于零或力的作用线通过矩心（d = 0）时力矩为零。
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2.1.5 合力矩定理
设在同一平面内有n个力F1，F2，…，Fn，其合力为 FR，则合力对平面内任一点之矩等于各分力对同一点之矩 的代数和。这个关系称为合力矩定理，即
•
静力学公理是人们从长期的观察和实践中总结出来，又经过实践的反复检验，证
明是符合客观实际的普遍规律。它们是研究力系简化和平衡的基本依据。现介绍如下。
• 1. 二力平衡公理
•
作用于同一刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是这两个力的大小
相等、方向相反、且作用在同一直线上。
• 受两个力作用处于平衡的构件称为二力构件。
•
力的作用点是力在物体上的作用位置。实际上，力的作用位置不是一个点而是一定
的面积，但当力作用的面积与物体表面的尺寸相比很小以至可以忽略时，就可近似地看
成一个点。作用于一点上的力称为集中力。
•
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•
当力分布在一定的体积内时，称为体分布力，例如物体自身的重力。当力分布在一定面积上时，称为
形的物体。
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• 2.1.2 力的概念 • 1.力的概念 • 力是物体间的相互机械作用，这种作用使物体的运动状态或形状发生改变。 • 力的概念是从劳动中产生的。人们在生活和生产中，由于对肌肉紧张收缩的感觉，逐渐
产生了对力的感性认识。随着生产的发展，又逐渐认识到：物体运动状态和形状的改变， 都是由于其他物体对该物体施加力的结果。
•
用扳手拧螺母时，作用于扳手上的力F使扳手绕螺母中心O转动（图2.7），其转动
效应不仅与力的大小和方向有关，而且与O点到力作用线的距离d有关。如果手握扳手
柄端，并沿垂直于手柄的方向施力，则较省劲；如果手离螺母中心较近，或者所施的力
不垂直于手柄，则较费劲。拧松螺母时，则要反向施力，扳手也反向转动。
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•
这些力有的是通过物体间的直接接触产生的，例如风对物体的作用力、物体之间的压力、摩擦力等。
有的是通过“场”对物体的作用，如地球引力场对物体产生的重力、电场对电荷产生的引力或斥力等。虽
然物体间这些相互作用力的来源和和产生的物理本质不同，但它们对物体作用的结果都是使物体的运动状
态或形状发生改变，因此，将它们概括起来加以抽象而形成了“力”的概念。
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• 3.力的三要素 • 实践证明，力对物体的作用效应取决于力的大小、方向和作用点，称为力的三要素。 • 在国际单位制(SI)中，力的单位为N（牛顿）或kN（千牛顿）。 • 力的方向包含方位和指向。例如，力的方向“铅垂向下”，其中“铅垂”是说明力的方
位，“向下”是说明力的指向。
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面分布力；当力沿狭长面积或体积分布时，称为线分布力。分布力的大小用力的集度表示。体分布力集度
的单位为N/m3或kN/m3；面分布力集度的单位为N/m2或kN/m2；线分布力集度的单位为N/m或kN/m。
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• 4.力的表示 • 力既有大小又有方向，因而力是矢量。对于集中力，我们可以用带有箭头的直线段表示
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•
依据以上公理，可以推导出三力平衡汇交定理。即：刚体在三个力作用下处于平衡
状态，若其中两个力的作用线汇交于一点，则第三个力的作用线也通过该汇交点，且此
三力的作用线在同一平面内（图2.6）。
证明：
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•
必须指出，三力平衡汇交定理给出的是不平行的三个力平衡的必要条件，而不是
•
M ＝±Fd
(2.4)
• 式中的正负号表示力偶的转向，规定力偶使物体逆时针方向转动时为正，反之为负。
• 力偶矩的单位与力矩的单位相同。
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• 其中力F对A点的力矩是根据合力矩定理计算的。各力对A点力矩的代数和为 • MA＝MA(W1)＋MA(W2)＋MA(F) • ＝－6 kＮm－56 kＮm＋1.3 kＮm＝－60.7 kＮm
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•
负号表示各力使挡土墙绕A点作顺时针转动，即挡土墙不会绕A点向左倾倒。
［图2.10（b）］等。
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•
实践证明，物体在这样的两个力作用下只产生转动效应，不产生移动效应。把这种由两个大小相等、
方向相反且不共线的平行力组成的力系称为力偶，记为（F，F′）。力偶所在的平面称为力偶的作用面，组
成力偶的两力之间的距离称为力偶臂。
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• 2.1.7 力偶矩的计算