导数试题(一)

导数试题（一）
一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）
1.若f'（x0）=2，则=（）
A. -1
B. -2
C.
D.
2.已知函数，则其在点处的切线方程是
A. B. C. D.
3.已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是，则f(1)+f′(1)的
值等于（）
A. 1
B.
C. 3
D. 0
4.已知函数f（x）=x2-2x-4ln x，则fˈ（x）＞0的解集是（）
A. B. C. D.
5.已知f（x）=x2+3xf′（1），则f′（2）=（）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
6.函数f（x）=e x-x（e为自然对数的底数）在区间[0，1]上的最大值是（）
A. 1+
B. 1
C. e+1
D. e-1
7.已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）
A. -1＜a＜2
B. -3＜a＜6
C. a＜-3或a＞6
D. a＜-1或a＞2
8.函数f（x）=-x2+ln x的极值点是（）
A. x=-1
B. x=-
C. x=1
D. x=
9.设函数f（x）=ln x+ax2-x，若x=1是函数f（x）的极大值点，则函数f（x）的极小
值为（）
A. ln2-2
B. ln2-1
C. ln3-2
D. ln3-1
10.函数f（x）=xe x-a有两个零点，则实数a的取值范围是（）
A. -＜a＜0
B. a＞-
C. -e＜a＜0
D. 0＜a＜e
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11.已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则
实数______ ．
12.设f（x）=x3--2x+5，当x∈[-1，2]时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围
为______．
13.定义在[1，e2]上的函数，则对任意的x∈[1，e2]，使单调递减的概率
为______ ．
14.若函数f（x）=-x3+x2+ax在R上是减函数，则实数a的取值范围是______．
三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）
15.若函数f（x）=ax3-bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的极值；
（3）若关于x的方程f（x）=k有三个零点，求实数k的取值范围．
16.已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R），若函数f（x）在x=1处有极值-4．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．
17.已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若对于任意，都有f（x）≤ax-1，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
利用f(x)在x0处的导数的定义，化简求得．本题主要考查了极限及其运算，涉及导数的定义和应用，合理的恒等变形是解决本题的关键，属于基础题．
【解析】
解：=-f'（x0）=-2，
故选B.
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.
由已知运用求导公式，计算x=1时的斜率，再结合曲线上一点，即可求出切线方程. 【解答】
解：由y=x lnx，
得y '=1×ln x+x
=1+ln x，y '（1）=1 ，
又当x=1时y=0，
∴切线方程为y=x-1.
故选C.
3.【答案】C
【解析】【分析】
考查导数的几何意义，本题属于基础题．
点M（1，f（1））在切线上，容易求出f（1），对于f′（1）就是切线的斜率.
【解答】
解：由已知点M（1，f（1））在切线上，所以f（1）=，
切点处的导数为切线斜率，所以，
即f（1）+f'（1）=3，
故选C．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式以及法则，注意先分析函数的定义域．
根据题意，先分析函数的定义域，对函数f（x）求导可得f′（x）=2x-2-，进而解f'（x）＞0即2x-2-＞0，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数f（x）=x2-2x-4ln x，有x＞0，
即函数f（x）的定义域为（0，+∞）
则f′（x）=2x-2-，
若2x-2-＞0，
又由x＞0，
解可得x＞2，
即f'（x）＞0的解集是（2，+∞）；
故选C．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数与导数，求导公式的应用及函数值求解．本题求出是关键步骤．
先求出=2x+3，令x=1，求出后，导函数即可确定，再求．
【解答】
解：=2x+3，
令x=1，得=2+3，解得=-1，
∴=2x-3．
∴=1．
故选A．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，解题的关键是求导确定函数的单调性．
求导函数，确定函数的单调性，即可得到函数的最大值．
【解答】
解：求导函数，可得f′（x）=e x-1
∵x∈[0，1]，
∴f′（x）≥0，
f（x）在[0，1]单调递增，
∴f（x）max=f（1）=e-1，
∴函数f（x）=e x-x在区间[0，1]上的最大值是e-1，
故选D．
7.【答案】C
【解析】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，
有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．
若f（x）有极大值和极小值，
则△=4a2-12（a+6）＞0，
从而有a＞6或a＜-3，
故选：C．
题目中条件：“函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值，关键是正确求出原函数的导函数，是基础题，求出原函数的导函数，确定出函数的单调区间，由此求得函数的极值点．
【解答】
解：由f（x）=-x2+ln x，得f′（x）=（x＞0），
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；
当x＞1时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．
∴函数f（x）=-x2+ln x的极值点为x=1．
故选C．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了导数和函数的极值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．先求导，再根据x=1是函数f（x）的极大值点，求出a的值，再根据导数和函数的单调性的关系即可求出极小值．
【解答】
解：∵f（x）=ln x+ax2-x，x＞0，
∴f′（x）=+2ax-，
∵x=1是函数f（x）的极大值点，
∴f′（1）=1+2a-=0，解得a=，
∴f′（x）=+x-=，
再令f′（x）=0，解得x=1或x=2，
当f′（x）＞0，解得0＜x＜1，或x＞2，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0，解得1＜x＜2，函数f（x）单调递减，
∴当x=2时，函数取的极小值，则极小值为f（2）=ln2+×4-×2=ln2-2，
故选A．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查零点的存在性问题，利用导数是解决本题的关键，属于简单题．
求出函数的导函数，求出函数的最小值，根据函数的零点和最值关系即可得到结论．【解答】
解：∵函数f（x）=xe x-a的导函数f′（x）=（x+1）e x，
令f′（x）=0，则x=-1，
∵当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（-1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
故当x=-1时，函数取最小值f（-1）=-e-1-a
若函数f（x）=xe x-a有两个零点，
则f（-1）=-e-1-a＜0
即a＞，
又∵a≥0时，x∈（-∞，-1）时，f（x）=xe x-a＜0恒成立，则不存在零点，
故a＜0，
综上，＜a＜0，
故选A．
11.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，属于基础题.
【解答】
解：由f（x）=ax3+x+1，得f′（x）=3ax2+1，
∴f′（1）=3a+1，即f（x）在x=1处的切线的斜率为3a+1，
∵f（x）在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，
∴3a+1=4，即a=1．
故答案为1．
12.【答案】（7，+∞）
【解析】【分析】
本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b）比较而得到的，属于基础题．
先求导数，然后根据函数单调性研究函数的极值点，通过比较极值与端点的大小从而确定出最大值，进而求出变量m的范围．
【解答】
解：f′（x）=3x2-x-2=0
解得：x=1或-
当x∈时，f'（x）＞0，
当x∈时，f'（x）＜0，
当x∈（1，2）时，f'（x）＞0，
∴f（x）max={f（-），f（2）}max=7
由f（x）＜m恒成立，所以m＞f max（x）=7．
故答案为（7，+∞）.
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查与长度有关的几何概型，利用导数研究函数的单调性.
对求导，利用导数研究函数的单调性，由几何概型的概率计算公式可得答案.
【解答】
解：，
由>0，解得1≤x<e，则函数在区间[1，e）上单调递增，
由＜0，解得e<x≤e2，函数在区间（e，e2]上单调递减，
所以函数单调递减的概率.
故答案为．
14.【答案】（-∞，]
【解析】【分析】
本题考查导数及其应用、不等式、函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想，是中档题．
由已知得f′（x）=-3x2+2x+a≤0的解集是R，由此能求出实数a的取值范围．
【解答】
解：∵函数f（x）=-x3+x2+ax，
∴f′（x）=-3x2+2x+a，
∵函数f（x）=-x3+x2+ax在实数R上是减函数，
∴f′（x）=-3x2+2x+a≤0的解集是R，
∴=4+12a≤0，
解得a≤，
∴实数a的取值范围是（-∞，]．
故答案为（-∞，]．
15.【答案】解：（1），
由题意知，
解得，
∴所求的解析式为f（x）=x3-4x+4；
（2）由（1）可得，
令，得x=2或x=-2，
极大值极小值
∴当x=-2时，f（x）有极大值，
当x=2时，f（x）有极小值；
（3）由（2）知，得到当x＜-2或x＞2时，f（x）为增函数；
当-2＜x＜2时，f（x）为减函数，
∴函数f（x）=x3-4x+4的图象大致如图，
由图可知当时，与有三个交点，
所以实数k的取值范围为．
【解析】本题主要考查函数的单调性、极值与其导函数之间的关系、函数的零点与方程的根的关系、函数图象的应用，考查计算能力，属于中档题．
（1）先对函数进行求导，然后根据f（2）=，=0可求出a，b的值，进而确定函
数的解析式；
（2）根据（1）中解析式然后求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而函数的极值；
（3）由（2）得到函数的单调区间进而确定函数的大致图象，最后找出k的范围．16.【答案】解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，依题意有f′（1）=0，f（1）=-4，
即，解得，
所以f′（x）=3x2+4x-7=（3x+7）（x-1），
由f′（x）＜0，得-＜x＜1，
所以函数f（x）的单调递减区间为（-，1）；
（2）由（1）知f（x）=x3+2x2-7x，f′（x）=3x2+4x-7=（3x+7）（x-1），
令f′（x）=0，解得x1=-，x2=1.
′（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x-1（-1，1） 1（1，2） 2
f'（x）- 0+
f（x） 8↘极小值-4↗ 2
由上表知，函数f（x）在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增．
故可得f（x）min=f（1）=-4，f（x）max=f（-1）=8．
【解析】本题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数与方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，属于中档题．（1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解；
（2）由（1）求出函数的单调区间，可以运用导数判断函数的单调性，从而求出函数f （x）在[-1，2]上的最大值和最小值．
17.【答案】解：（Ⅰ）因为函数,
所以，
f'（1）=ln1+1=1，又因为f（1）=0，
y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=x-1；
（Ⅱ）函数f（x）=x lnx的定义域为（0，+∞），
由（Ⅰ）可知，f'（x）=ln x+1，
令f'（x）=0，解得，
f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：
x
f′（x）-0+
f（x）减极小值增
所以f（x）的单调递增区间是，
f（x）的单调递减区间是；
（Ⅲ）当时，f（x）≤ax-1恒成立，
等价于恒成立，
令，，
，．
当时，g'（x）＜0，
所以g（x）在区间单调递减；
当x∈（1，e]时，g'（x）＞0，
所以g（x）在区间（1，e]单调递增．
而，
．
所以g（x）在区间上的最大值为，
所以当a≥e-1时，对于任意，都有f（x）≤ax-1．
∴实数a的取值范围为[e-1,+∞).
【解析】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式恒成立问题，考查转化思想，属于中档题.
（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，根据导数和函数单调的关系，求出函数的单调区间即可；（Ⅲ）问题等价于“”．构造函数，利用导数求出函数的最值，从而求出a 的范围即可．。