福建省角美中学2014届高三五地八校高考模拟文科数学试卷 Word版含答案

2014届高三年漳州市五地八校数学模拟试卷(文)
角美中学数学备课组
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1. 已知A ＝{x |x ＋1>0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A )∩B 等于( ) A ．{－2，－1} B ．{－2} C ．{－1,0,1} D ．{0,1} 2．已知向量)3,2(),5,1(=-=，则向量+2的坐标为（ ） A ．)3,1( B ．)4,2( C ．)4,5( D ．)13,0(
3. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )．
A ．1
B.2
3
C.13
21
D.610987
4．i 是虚数单位，若i i z )1(+=，则z 等于（ ） A ．2 B ．2 C ．1 D ．
2
2 5．某几何的三视图如图1所示，它的体积为（ ）
A ．72π
B 48π C.30π D.24π
6．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( ) A ．2 3
B ．2 C. 2 D ．1
7. 已知椭圆
11022
2=-+-m
y m x 的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于 （ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5
8．设n m 、是两条不同的直线，βα、是两个不同的平面。

下列四个命题正确的是（ ） A.ββαα//,//,m m 则若⊂ B.βαββα//,//,//,则、若n m n m ⊂ C.n m n m ⊥⊥⊥则若,//,,ββαα D.βαγβγα⊥⊥⊥则若,, 9. 已知1123456(1)n n s n +=-+-+-+
+-⋅，则61015s s s ++等于（ ）
A ．5-
B ．1-
C ．0
D ．6 10．设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为f ′（x ），且函数f （x ）在x=-2处取得极小值，则函数y=xf ′（x ）的图像可能是
11．设命题p ：函数)3
2sin(π
+
=x y 的图象向左平移
6
π
个单位长度得到的曲线关于y 轴对称；命题q ：函数13-=x
y 在[)+∞-,1上是增函数．则下列判断错误．．
的是（ ） A ．p 为假 B ．q ⌝为真 C ．q p ∧为假 D ．q p ∨为真 12.设函数f(x)＝e x
＋x －a (a∈R，e 为自然对数的底数)．若存在b∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是( )
A ．[1，e]
B ．[1，1＋e]
C ．[e ，1＋e]
D ．[0，1]
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．
13．已知点),(y x 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥≥100
y x y x ，则x y u -=的最小值是 ．
14、设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________. 15. 设一直角三角形的两条直角边长均是区间)1,0(上的任意实数，则斜边长小于4
3
的概率为 ．
16.如果直线()21400,0ax by a b -+=>>和函数()()1
10,1x f x m
m m +=+>≠的图象
恒过同一个定点，且该定点始终落在圆()()2
2
1225x a y b -+++-=的内部或圆上，
b a 的取值范围是_______________.
那么
三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）
某校高三（1）班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟到330分钟之间，按他们学习时间的长短分5个组统计,得到如下频率分布表：
（1）求分布表中s ，t 的值；
（2）王老师为完成一项研究，按学习时间用分层抽样的方法从这40名学生中抽取20名进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？
（3）已知第一组学生中男、女生人数相同，在（2）的条件下抽取的第一组学生中，既有男生又有女生的概率是多少？
18．（本小题满分12分）
设函数f (x )＝3
2－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近
的对称轴的距离为π
4.
(1)求ω的值；
(2)求f (x )在区间⎣
⎡⎦⎤π，3π
2上的最大值和最小值．
19．（本小题满分12分）
设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *
. (1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．
20．（本小题满分12分）
如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是
PB 的中点，F 是CD 上的点且1
2
DF AB =
,PH 为PAD ∆中AD 边上的高. （1）证明：EF PAB ⊥平面；
（2
）若11PH AD FC ===，，求 三棱锥E BCF -的体积.
21.（本小题满分12分）
如图6，在直角坐标系xOy 中，点P ⎝⎛⎭⎫1，12到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分. （1）求p ，t 的值；
（2）求△ABP 面积的最大值.
22.（本小题满分14分）
已知函数).(ln )(R a x ax x f ∈+=
(1)若2=a ，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程； (2)求)(x f 的单调区间；
(3）设22)(2
+-=x x x g ，若对任意),0(1+∞∈x ，均存在]1,0[2
∈x ，使得
)()(21x g x f <，求a 的取值范围.
2014届高三年漳州市五地八校数学模拟试卷(文) 答案
一．选择题
二．填空题
13. 1- 14. 15 15. 964π 16. 34,43⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
图6
12．A [解析] 易得f(x)在[0，1]上是增函数，对于b ∈[0，1]，如果f(b)＝c ＞b ，则f(f(b))＝f(c)＞f(b)＝c ＞b ，不可能有f(f(b))＝b ；同理，当f(b)＝d ＜b 时，则f(f(b))＝f(d)＜f(b)＝d
＜b ，也不可能有f(f(b))＝b ；因此必有f(b)＝b ，即方程f(x)＝x 在[0，1]上有解，即e x
＋x －a ＝x.因为x ≥0，两边平方得e x ＋x －a ＝x 2，所以a ＝e x －x 2＋x.记g(x)＝e x －x 2
＋x ，则g′(x)
＝e x
－2x ＋1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，e x
＞0，－2x ＋1≥0，故g′(x)＞0. 当x ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，
e x ＞e ＞1，－2x ＋1≥－1，故g′(x)＞0，综上，g′(x)在x ∈[0，1]上恒大于0，所以g(x)在[0，1]上为增函数，值域为[g(0)，g(1)]，即[1，e]，从而a 的取值范围是[1，e]． 15. 【解析】设两条直角边长为,a b ，
222213()013944,(),01
41164a a b p b ππ<<⎧+<=
=⎨<<⨯⎩由已知可知构造面积模型:子事件为所以其概率
16. 【答案】34,43⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】根据指数函数的性质，可知函数
()()110,1x f x m m m +=+>≠ 恒过定点()1,2-.将点()1,2-代入2140ax by -+=，可得7a b +=. 由于点()1,2-始终
落在所给圆的内部或圆上，所以2
2
25a b +≤. 由22
7,
25,
a b a b +=⎧⎨
+=⎩解得3,4,a b =⎧⎨
=⎩或4,
3,
a b =⎧⎨=⎩，
这说明点(),a b 在以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是34,43⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 三．解答题
17． 解：（1）8
0.240
s =
=，10.10.30.250.15t s =----=． …………4分 （2）设应抽取x 名第一组的学生，则20440x =
20
,440
x =得2x =． 故应抽取2名第一组的学生． …………6分 （3）在（2）的条件下应抽取2名第一组的学生，记第一组中2名男生为12,a a ，2名女生为12,b b ．
按时间用分层抽样的方法抽取2名第一组的学生共有6种结果，列举如下：
121112212212,,,,,a a a b a b a b a b b b ． ……………9分
其中既有男生又有女生被抽中的有11122122,,,a b a b a b a b 这4种结果， ……10分 所以既有男生又有女生被抽中的概率为42
63P =
=.
…………12分 18、解 (1)f (x )＝
32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝3
2－3×1－cos 2ωx 2－12
sin 2ωx
＝
32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3.依题意知2π2ω＝4×π
4
，ω>0，所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π
3. 所以－
32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1.所以－1≤f (x )≤32
. 故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为3
2
，－1. 19、解 (1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 2
1，即a 1＝a 2
1.因为a 1≠0，所以a 1＝1. 令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝
2. 当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1－1＝S n －1 两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1. 于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列． 因此，a n ＝2
n －1
.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2
n －1
.
(2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1
.记数列{n ·2
n －1
}的前n 项和为B n ，于是
B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1.①
2B n ＝1×2＋2×22
＋3×23
＋…＋n ×2n
.② ①－②得－B n ＝1＋2＋22
＋…＋2n －1
－n ·2n ＝2n －1－n ·2n
.
从而B n ＝1＋(n －1)·2n .
20、解（1）取PA 的中点为G ，连接,DG EG .
PD AD DG PA =⇒⊥，又AB ⊥平面PAD ⇒面PAD ⊥面PAB DG ⇒⊥面PAB , 点,E G 是棱,PB PA 的中点11
//,//////22
EG AB DF AB EG DF DG EF ⇒⇒⇒. 所以EF ⊥平面PAB .
（2）E 是PB 中点⇒点E 到面BCF 的距离11
22
h PH ==,
三棱锥E BCF -的体积11111133262BCF V S h FC AD h ∆=
⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=
21、解：（1）由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2pt ＝1，1＋p 2＝54，得⎩⎪⎨⎪⎧
p ＝12，
t ＝1.
（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为Q (m ，m )，
由题意知，设直线AB 的斜率为k (k ≠0).
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2
1＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2.故k ·2m ＝1. 所以直线AB 方程为y －m ＝1
2m
(x －m )，即x －2my ＋2m 2－m ＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x
消去x ，整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0， 所以Δ＝4m －4m 2＞0，y 1＋y 2＝2m ，y 1·y 2＝2m 2－m . 从而|AB |＝
1＋1
k
2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2.
设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|1－2m ＋2m 2|
1＋4m 2
.
设△ABP 的面积为S ，则S ＝1
2|AB |·d ＝|1－2(m －m 2)|·m －m 2.
由Δ＝4m －4m 2＞0，得0＜m ＜1.
令u ＝m －m 2，0＜u ≤1
2，则S ＝u (1－2u 2)，
设S (u )＝u (1－2u 2)，0＜u ≤1
2，则S ′(u )＝1－6u 2.
由S ′(u )＝0得u ＝
66∈⎝⎛⎭⎫0，12，所以S (u )max ＝S ⎝⎛⎭⎫6
6＝69
. 故△ABP 面积的最大值为6
9.
22、解：(1)由已知1
()2(0)f x x x
'=+
>， …………………………1分 (1)213f '=+=，所以斜率3k =， …………………………2分
又切点(1,2)，所以切线方程为23(1)y x -=-)，即310x y --=
故曲线()y f x =在1x =处切线的切线方程为310x y --=。

………………3分 (2)11()(0)ax f x a x x x
+'=+
=> ………………4分 ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.
………………………………5分
②当0a <时，由()0f x '=，得1
x a
=-
. ……………………6分 在区间1(0,)a
-上，()0f x '>，在区间1
(,)a
-
+∞上，()0f x '<， 所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a
-，单调递减区间为1
(,)a
-
+∞. …………7分 （3）由已知，转化为max max ()()f x g x <. ………………8分 2()(1)1,[0,1]g x x x =-+∈ ，所以max ()2g x = ………………9分 由(2)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意.
(或者举出反例：存在33()32f e ae =+>，故不符合题意.) ………………10分 当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1
(,)a -
+∞上单调递减， 故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a
a
-=-+-=---， ……12分 所以21ln()a >---， 解得31
a e
<-
. …………14分。