新人教版初中数学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试卷(含答案解析)(1)

一、选择题
1．用配方法解方程x 2﹣4x ﹣7＝0，可变形为（ ）
A ．（x+2）2＝3
B ．（x+2）2＝11
C ．（x ﹣2）2＝3
D ．（x ﹣2）2＝11 2．如图，若将上图正方形剪成四块，恰能拼成下图的矩形，设1a =，则b =（ ）
A 51-
B 51+
C 53+
D 21 3．已知4是关于x 的方程()2120x m x m -++=的一个实数根，并且这个方程的两个实
数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（ ）
A ．7
B ．7或10
C ．10或11
D ．11
4．已知一元二次方程2210x x --＝的两个根分别是1x ，2x ，则2112x x x -+的值为
（ ）．
A ．-1
B ．0
C ．2
D ．3
5．下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A ．222-=x x x
B ．215x x +=
C ．220++=ax bx c
D ．223x x += 6．一元二次方程2304y y +-
=，配方后可化为（ ） A ．21
()12y += B ．21
()12y -= C ．21
1()22y += D ．21
3()24
y -= 7．若关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －
12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ＜－2
B ．a ＞－2
C ．－2＜a ＜0
D ．－2≤a ＜0 8．关于x 的一元二次方程（a －1）x²－x ＋a²－1＝0的一个根是0，则a 的值为（ ）
A ．1
B ．－1
C ．1或－1
D ．0 9．已知2x 2+x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2的值为（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．12
D ．12
- 10．关于x 的方程2mx 0x +=的一个根是1-，则m 的值为（ ）
A ．1
B ．0
C ．1-
D ．1或0 11．若关于x 的方程（m ﹣1）x 2+mx ﹣1＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≠1
B ．m ＝1
C ．m ≥1
D ．m ≠0 12．已知m 是方程2210x x --=的一个根，则代数式2242020m m -+的值为（ ）
A ．2022
B ．2021
C ．2020
D ．2019 二、填空题
13．生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出多少个小分支？设这种植物每个支干长出x 个小分支，可列方程___________．
14．已知12,x x 是一元二次方程21402
x mx m -+-=的两个实数根且12111x x +=，则m 的值为______．
15．一元二次方程 x ( x +3)＝0的根是__________________．
16．若关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，则k =______． 17．已知0x =是关于x 的一元二次方程()()
22213340m x m x m m -+++-=的一个根，则m =__________．
18．若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0有一根为x ＝﹣1，则a +b ＝_____．
19．已知关于x 的方程2x m =有两个相等的实数根，则m =________．
20．若关于x 的一元二次方程()2
1210k x x -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．
三、解答题
21．某精准扶贫办对某地甲、乙两个猕猴桃品种进行种植对比实验研究．去年甲、乙两个品种各种植了100亩．收获后甲、乙两个品种的售价均为6元/kg ，且乙的平均亩产量比甲的平均亩产量高500kg ，甲、乙两个品种全部售出后总收入为1500000元． （1）请求出甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是多少？
（2）今年，精准扶贫办加大了对猕猴桃培育的力度，在甲、乙种植亩数不变的情况下，预计甲、乙两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加%a 和2%a ．由于乙品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨%a ，而甲品种的售价不变，甲、乙两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加
58%25
a ．求a 的值． 22．解方程：
（1）()2316x -=
（2）22410x x --=（用公式法解）
23．计算题
（1）解方程：2
690x x ++= （2）解不等式组：3152(2)7x x x ->⎧⎨+<+⎩ 24．请回答下列各题：
（1）先化简，再求值：2319369x x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中3x =． （2）已知关于x 的方程2320x x m +-=没有实数根，求实数m 的取值范围． 25．解答下列各题．
（1）解方程：2(1)90x --=．
（2）已知21x =+，求225x x -+的值．
26．阅读下列材料：
对于任意的正实数a ，b ，总有2a b ab +≥成立（当且仅当a b =时，等号成立），这个不等式称为“基本不等式”利用“基本不等式”可求一些代数式的最小值．
例如：若0x >，求式子1x x +
的最小值． 解：∵0x >，∴112212x x x x
+≥⋅==，∴1x x +的最小值为2．
（1）若0x >，求9x x
+的最小值； （2）已知1x >，求2251
x x x -+-的最小值． （3）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AOB 、COD △的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
方程常数项移到右边，两边加上4变形得到结果即可．
【详解】
解：x 2﹣4x ﹣7＝0，
移项得：247x x -=
配方得：24474x x -+=+ ，即2()211x -=
故答案为：D ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
根据上图可知正方形的边长为a+b ，下图长方形的长为a+b+b ，宽为b ，并且它们的面积相等，由此可列出（a+b ）2=b(a+b+b)，解方程即可求得结论．
【详解】
解：根据题意得：正方形的边长为a+b ，长方形的长为a+b+b ，宽为b ，
则（a+b ）2=b(a+b+b)，即a 2﹣b 2+ab=0， ∴2)10a a b b +
-=（，
解得：
12a b -±=， ∵
a b ＞0，
∴a b =，
∴当a=1时，
b =
=， 故选：B ．
【点睛】 本题考查了图形的拼接、解一元二次方程、正方形的面积、长方形的面积，正确理解题意，找到隐含的数量关系列出方程是解答的关键．
3．C
解析：C
【分析】
把x=4代入已知方程求得m 的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．
【详解】
解：把x=4代入方程得16-4（m+1）+2m=0，
则原方程为x 2-7x+12=0，
解得x 1=3，x 2=4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，
①当△ABC 的腰为4，底边为3时，则△ABC 的周长为4+4+3=11；
②当△ABC 的腰为3，底边为4时，则△ABC 的周长为3+3+4=10．
综上所述，该△ABC 的周长为10或11．
故选C ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了三角形三边的关系．
4．D
解析：D
【分析】
分别根据一元二次方程的根的意义和一元二次方程根与系数的关系分别得到
21112210,2x x x x --=+=，变形代入求值即可得到答案．
【详解】
解：由题意得21112210,
2x x x x --=+=，即21121x x -=， ∴原式211122123x x x x =-++=+=．
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解的根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解答此题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．据此判断即可．
【详解】
解：A 、移项得：20x -=，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项错误； B 、不是整式方程，即不是一元二次方程，故本选项错误；
C 、ax 2+bx+c=0，当a=0时，它不是一元二次方程，故C 错误；
D 223x x +=符合一元二次方程的定义，故D 正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
6．A
解析：A
【分析】
根据配方法解一元二次方程的步骤计算可得．
【详解】
解：∵2304y y +-
=， ∴y 2+y=
34， 则y 2+y+
14=34+14， 即（y+12
）2=1， 故选：A ．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程-配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax 2+bx+c=0（a ≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
7．C
解析：C
【分析】
由关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －12
＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根可得2214244202b ac a a ⎛⎫∆=-=-⨯⨯-=+> ⎪⎝⎭
，解不等式即可求出a 的取值范围． 【详解】
∵关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －
12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根， ∴2214244202b ac a a ⎛⎫∆=-=-⨯⨯-
=+> ⎪⎝⎭
， 解得：a >−2，
∵a <0，
∴−2<a <0．
故选C ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的应用为解题关键．
8．B
解析：B
【分析】
把0x =代入，求出a 的值即可．
【详解】
解：把0x =代入可得210a -=，
解得1a =±，
∵一元二次方程二次项系数不为0，
∴1a ≠，
∴1a =-，
故选：B ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，注意二次项系数不为0．
9．D
解析：D
【分析】
直接利用根与系数的关系解答．
【详解】
解：∵2x 2+x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，
∴x 1•x 2＝
12
-＝﹣12． 故选：D ．
【点睛】 此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a
． 10．A
解析：A
【分析】
由关于x 的方程x 2+mx=0的一个根为-1，得出将x=-1，代入方程x 2+mx=0求出m 即可．
【详解】
解：∵-1是方程x 2+mx=0的根，
∴1-m=0，
∴m=1，
故答案为：A.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解，由方程的根为-1，代入方程是解决问题的关键．
11．A
解析：A
【分析】
根据一元二次方程的定义可得m ﹣1≠0，再解即可．
【详解】
解：由题意得：m ﹣1≠0，
解得：m≠1，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，注意掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
12．A
解析：A
【分析】
把x m =代入方程2210x x --=求出221m m -=，把2242020m m -+化成()2222020m m -+，再整体代入求出即可．
【详解】
∵把x m =代入方程2210x x --=得：2210m m --=，
∴221m m -=，
∴()
222420202220202120202022m m m m -+=-+=⨯+=，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，采用了整体代入的方法．注意：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 二、填空题
13．1+x+x2=91【分析】如果设每个支干分出x 个小分支根据每个支干又长出同样数目的小分支可知：支干的数量为x 个小分支的数量为x•x=x2个然后根据主干支干和小分支的总数是91就可以列出方程【详解】解
解析：1+x+x 2=91
【分析】
如果设每个支干分出x 个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x 个，小分支的数量为x•x=x 2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程．
【详解】
解：依题意得支干的数量为x 个，
小分支的数量为x•x=x 2个，
那么根据题意可列出方程为：1+x+x 2=91，
故答案为：1+x+x 2=91．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
14．-8【分析】先利用根与系数的关系得到再把变形为从而代入得到方程解之即可【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根∴∵∴即解得：m=-8故答案为：-8【点睛】本题考查了根与系数的关系根据根与系数的关系找
解析：-8
【分析】
先利用根与系数的关系得到12x x m +=，12142
x x m ⋅=-，再把12111x x +=变形为1212x x x x +=，从而代入得到方程，解之即可．
【详解】
解：∵12,x x 是一元二次方程21402
x mx m -+-=的两个实数根， ∴12x x m +=，12142
x x m ⋅=-， ∵12
111x x +=， ∴1212x x x x +=，即142m m =
-， 解得：m=-8，
故答案为：-8．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系，找出12x x m +=，12142
x x m ⋅=-是解题的关键． 15．【分析】用因式分解法解方程即可【详解】解：x(x+3)＝0x ＝0或x+3＝0；故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解法掌握两个数的积为0这两个数至少有一个为0是解题关键
解析：12x 0x -3==，
【分析】
用因式分解法解方程即可．
【详解】
解：x ( x +3)＝0，
x ＝0或 x +3＝0，
12x 0x -3==，；
故答案为：12x 0x -3==，．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，掌握两个数的积为0，这两个数至少有一个为0是解题关键．
16．4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得：；故答案为：4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解 解析：4
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，
∴224440b ac k ∆=-=-=，
解得：4k =；
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
17．-4【分析】根据方程根的定义把代入原方程求出m 的值【详解】解：将代入原方程得解得∵该方程是一元二次方程∴即∴故答案是：【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和解一元二次方程需要注意一元二次方程的二次项 解析：-4
【分析】
根据方程根的定义，把0x =代入原方程，求出m 的值．
【详解】
解：将0x =代入原方程，得2340m m +-=，解得14m =-，21m =，
∵该方程是一元二次方程，
∴10m -≠，即1m ≠，
∴4m =-．
故答案是：4-．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的定义和解一元二次方程，需要注意一元二次方程的二次项系数不能为0．
18．2016【分析】将x=-1代入ax2﹣bx ﹣2016＝0得到a+b ﹣2016＝0然后将a+b 当作一个整体解答即可【详解】解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx ﹣2016＝0得：a+b ﹣2016＝
解析：2016．
【分析】
将x=-1代入ax 2﹣bx ﹣2016＝0得到a +b ﹣2016＝0，然后将a+b 当作一个整体解答即可．
【详解】
解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0得：a +b ﹣2016＝0，
即a +b ＝2016．
故答案是2016．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的概念是解答本题的关键． 19．0【分析】先将方程化成一般式然后再运用根的判别式求解即可【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根∴关于的方程有两个相等的实数根∴△=02-4m=0解得m=0故答案为0【点睛】本题主要考查了一元二次 解析：0
【分析】
先将方程化成一般式，然后再运用根的判别式求解即可．
【详解】
解：∵关于x 的方程2x m =有两个相等的实数根，
∴关于x 的方程20x m -=有两个相等的实数根，
∴△=02-4m=0，解得m=0．
故答案为0．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解答本题的关键．
20．且【分析】根据题意结合一元二次方程的定义和根的判别式可得关于k 的不等式然后解不等式即可求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根∴∴的取值范围是且故答案为：且【点睛】本题考查了一元二次 解析：0k >且1k ≠
【分析】
根据题意，结合一元二次方程的定义和根的判别式可得关于k 的不等式，然后解不等式即可求解．
【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程()2
1210k x x -+-=有两个不相等的实数根， ∴21024(1)(1)0k k -≠⎧⎨∆=--⨯->⎩，10
k k ≠⎧⎨>⎩， ∴k 的取值范围是0k >且1k ≠，
故答案为：0k >且1k ≠．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式、解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是解答的关键．
三、解答题
21．（1）甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是1000千克和1500千克；（2）a 的值为10．
【分析】
（1）设 甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是 x 千克和 y 千克，根据乙的平均亩产量比甲的平均亩产量高 500kg ，甲、乙两个品种全部售出后总收入为1500000元，列二元一次方程组，即可解得；
（2）分别用含a%的式子表示甲，乙的收入，根据销售总收入＝甲的收入+乙的收入，可以列一元一次方程，从而解出a 的值．
【详解】
解：（1）设甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是x 千克和y 千克；
根据题意得，()50010061500000y x x y -=⎧⎨⨯+=⎩
解得：10001500x y =⎧⎨=⎩
答：甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是1000千克和1500千克；
（2）甲的收入：6×1000×100(1+a%)
乙的收入：6×1500×100(1+2a%)(1+a%)
()()()58610001001%6150010012%1%15000001%25a a a a ⎛⎫⨯⨯++⨯⨯++=+ ⎪⎝⎭
， 解得：10a =（不合题意，舍去），210a =，
答：a 的值为10．
【点睛】
本题考查了一元一次方程和二元一次方程组，一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确假设未知数，找准等量关系，列方程求解．
22．（1）11x =21x =-2）11x =+，21x =． 【分析】
（1）两边除以3后再开方，即可得出两个一元一次方程，求解即可；
（2）求出24b ac -的值，代入公式求出即可．
【详解】
解：（1）()2316x -=
方程两边除以3，得：()212x -=，
两边开平方，得：1x -=
则：11x =+21x =
（2）22410x x --=
∵2a =，4b =-，1c =-，
∴()()2
24442124b ac -=--⨯⨯-=
∴x ==，
∴11x =21x =； 【点睛】 本题考查了解一元二次方程的应用，熟悉相关的解法是解题的关键．
23．（1）123x x ==-； （2）23x <<
【分析】
（1）利用因式分解法求解即可．
（2）分别求出两个不等式的解集，最后找出公共部分即可．
【详解】
解：（1）2690x x ++=
因式分解得：()230x +=
解得：123x x ==-．
（2）()315
12272x x x ->⎧⎨+<+⎩
解不等式1得：2x >
解不等式2得：3x <
∴不等式组的解集是23x <<．
【点睛】 本题考察解一元二次方程和一元一次不等式组，解题的关键是：（1）用因式分解法求解一元二次方程（2）不等式组解集的确定，原则是“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．
24．（1）12）13m <-
． 【分析】
（1）根据分式的加减乘除混合运算法则计算即可，求值时注意分母有理化.
（2）根据方程没有实数根，可知∆<0，进而求得m 得取值范围.
【详解】
（1）由题意得：原式23193(3)x x x x
x x +--⎛⎫=-÷ ⎪--⎝⎭
2
(3)(3)(1)(3)(3)9x x x x x x x x ⎡⎤+----=⨯⎢⎥--⎣⎦ 222
9(3)(3)9
x x x x x x x --+-=⨯-- 2
9(3)(3)9
x x x x x --=⨯-- 29(3)(3)9x x x x x --=⨯--3x x
-=．
3x =，∴原式1===． （2）该方程没有实数根，
2242430b ac m ∴∆=-=+⨯⨯<，
故4120m +<，解得13m <-
． 【点睛】
本题考查分式的混合运算以及一元二次方程根的判别，熟练掌握分式运算法则以及根的判别公式是解题关键.
25．（1）14x =，22x =-；（2）6．
【分析】
（1）方程整理后，直接开平方即可求解；
（2）代数式225x x -+配方整理成()2
14x -+后，把x 的值代入计算即可．
【详解】
（1）由原方程得2(1)9x -=， ∴13x -=±，
解得：14x =，22x =-；
（2）∵2225(1)4x x x -+=-+，
将1x =
代入得：
原式)2
114=-+ 24=+
6=．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程－直接开平方法以及求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
26．（1）6；（2）4；（3）25．
【分析】
（1
）将原式变形为9x x +≥ （2）结合阅读材料将原式变形为()411
x x -+
-后即可确定最小值； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AOD S S S S =△△△△，用含x 的式子表示出36AOD S x =
△，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】
解：（1）∵0x >，
∴9x x +≥又
∵6=， ∴96x x
+
≥ ∴9x x
+的最小值为6； （2）∵1x >
∴10x ->， ∴222521411x x x x x x -+-++=--()2141x x -+=-()411x x =-+-
≥
∵
∴22541
x x x -+≥- ∴2251
x x x -+-的最小值为4． （3）设(0)BOC S x x =>△，
则由等高三角形可知：BOC AOB COD AOD
S S S S =△△△△ ∴49AOD x S =△，即36AOD S x
=△， ∴四边形
ABCD 面积364913x x =+++
≥，
∵13=25，当且仅当x=6时，取等号， ∴四边形ABCD 面积的最小值为25．
【点睛】
本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用，本题中等难度略大．。