2019版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标7 二次函数与幂函数 理.doc

2019版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标7
二次函数与幂函数 理
[解密考纲]本考点考查幂函数的图象与性质、二次函数的单调性与最值、二次函数恒成立问题以及二次方程的根的分布问题，一般以选择题、填空题的形式呈现，排在中间靠前的位置，难度中等．
一、选择题
1．(2018·河南南阳模拟)已知幂函数f (x )＝k ·x a
的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋a ＝
( C )
A ．1
2 B ．1 C ．3
2
D ．2
解析 因为f (x )＝k ·x a
是幂函数，所以k ＝1．又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪
⎫12a ＝
22，所以a ＝12，所以k ＋a ＝1＋12＝3
2
. 2．(2018·天津模拟)抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 的顶点在第一象限与x 轴的两个交点分别位于原点两侧，则a ，b ，c 的符号为( B )
A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0
B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0
C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0
D ．a ＜0，b ＞0，c ＜0
解析 由题意知，抛物线开口向下，故a <0.由抛物线与x 轴的两个交点分别位于原点两侧，得ac <0，所以c >0.再由顶点在第一象限得－b
2a
>0，所以b >0.
3．对任意的x ∈[－2,1]，不等式x 2
＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是( D ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，3] C ．[0，＋∞)
D ．[3，＋∞)
解析 设f (x )＝x 2
＋2x －a (x ∈[－2,1])，由二次函数的图象知，当x ＝1时，f (x )取得最大值3－a ，所以3－a ≤0，解得a ≥3，故选D ．
4．对于幂函数f (x )＝x 4
5 ，若0<x 1<x 2，则f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x 1＋x 22和f
x 1＋f x 2
2
的大小关系是
( B )
A ．f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22
B ．f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22>f x 1＋f x 22
C ．f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22＝f x 1＋f x 22
D ．无法确定
解析 根据幂函数的性质：当0<x <1时，图象是向上凸的，且通过点(0,0)，(1,1)，可知B 项正确．
5．设函数f (x )＝x 2
＋x ＋a (a >0)，已知f (m )<0，则( C ) A ．f (m ＋1)≥0 B ．f (m ＋1)≤0 C ．f (m ＋1)>0
D ．f (m ＋1)<0
解析 因为f (x )的对称轴为x ＝－1
2
，f (0)＝a >0，所以f (x )的大致图象如图所示．
由f (m )<0，得－1<m <0，所以m ＋1>0，所以f (m ＋1)>f (0)>0，故选C ．
6．(2017·山东卷)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2
的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( B )
A ．(0,1]∪[23，＋∞)
B ．(0,1]∪[3，＋∞)
C ．(0，2]∪[23，＋∞)
D ．(0，2]∪[3，＋∞)
解析 在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝
m 2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象． 分两种情形：
(1)当0<m ≤1时，1
m
≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符
合题意；
(2)当m >1时，0<1
m
<1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需
g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．
综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)． 故选B ．
二、填空题
7．已知函数f (x )＝x 3
4 ，且f (2x －1)<f (3x )，则x 的取值范围是 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ . 解析 f (x )＝x 3
4 在定义域[0，＋∞)上是递增的， 由f (2x －1)<f (3x )，得0≤2x －1<3x ，所以x ≥1
2
.
8．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为 f (x )＝12
(x －2)2
－1 . 解析 依题意可设f (x )＝a (x －2)2
－1，又其图象过点(0,1)， ∴4a －1＝1，∴a ＝12，∴f (x )＝12
(x －2)2
－1．
9．已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x
－1，函数g (x )＝x 2
－2x ＋m .如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是__[－5，－2]__.
解析 由题意得函数f (x )在[－2,2]上的值域A 为函数g (x )在[－2,2]上的值域B 的子集，又当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x
－1∈(0,3]，所以当x ∈[－2,0)时，f (x )∈[－3,0)，而f (0)＝0，因此A ＝[－3,3]．由二次函数性质知B ＝[m －1,8＋m ]，从而
⎩⎪⎨⎪⎧
m －1≤－3，
8＋m ≥3，
解得－5≤m ≤－2.
三、解答题
10．已知二次函数图象的对称轴为x ＝－2，截x 轴所得的弦长为4，且过点(0，－1)，求函数的解析式．
解析 ∵二次函数图象的对称轴为x ＝－2， ∴可设所求函数的解析式为f (x )＝a (x ＋2)2
＋b . ∵二次函数f (x )的图象截x 轴所得的弦长为4， ∴f (x )过点(－2＋2,0)和(－2－2,0)． 又二次函数f (x )的图象过点(0，－1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
4a ＋b ＝0，2a ＋b ＝－1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12
，
b ＝－2，
∴f (x )＝12
(x ＋2)2
－2.
11．(2018·山东德州月考)已知函数f (x )＝ax 2
－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a ，b 的值；
(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解析 (1)f (x )＝a (x －1)2
＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，
故⎩
⎪⎨⎪⎧ f ＝5，f ＝2
⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，
4a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝0.
当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数， 故⎩⎪⎨
⎪⎧
f ＝2，f
＝5
⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5
⇒⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝3.
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝0
或⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝3.
(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2
－2x ＋2.
g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2，
∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋2
2
≥4.
∴m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．
12．(2018·河北唐山调研)设a 为实数，函数f (x )＝x 2
＋|x －a |＋1，x ∈R .求f (x )的最小值．
解析 (1)①当x ≤a 时，函数f (x )＝x 2
－x ＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋a ＋34.
若a ≤1
2，则函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减，从而函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值
为f (a )＝a 2
＋1；
若a >12，则函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34＋a ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f (a )． ②当x ≥a 时，函数f (x )＝x 2
＋x －a ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋122－a ＋34.
若a ≤－12，则函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝34－a ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤f (a )；
若a >－1
2，则函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，从而函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小
值为f (a )＝a 2＋1．
综上，f (x )min
＝⎩⎪⎨⎪⎧
34－a ，a ≤－12
，a 2
＋1，－12<a ≤12，
a ＋34，a >12.。