第7章第6讲 空间向量及运算

提醒：灵活运用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基 向量表示出来．
提醒
1．如图所示，在四面体OABC中，
→ OA
＝a，
→ OB
＝b，
→ OC
＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则
→ OE
＝___12_a_＋__14__b_＋__14_c __(用a，b，c表示)．
解析 因为D为BC的中点， 所以O→D＝12(O→B＋O→C)＝12(b＋c)， 又E为AD的中点，所以O→E＝12(O→A＋O→D)＝12a＋12b＋c＝12a＋14b＋14c.
(2)∵N是BC的中点，
∴A→1N＝A→1A＋A→B＋B→N＝－a＋b＋12B→C＝－a＋b＋12A→D＝－a＋b＋12c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P＝－12a＋a＋c＋12b
＝12a＋12b＋c，
又N→C1＝N→C＋C→C1＝12B→C＋A→A1＝12A→D＋A→A1＝12c＋a.
A．1
4 B.3
3 C.4
D．2
Hale Waihona Puke 答案解析 如图所示，由题意得O→G＝34O→G1，
所以34O→G1＝xO→A＋yO→B＋zO→C，
所以O→G1＝43xO→A＋43yO→B＋43zO→C，
又G1，A，B，C四点共面，所以
4 3
x＋
4 3
y＋
4 3
z＝
1，
所以x＋y＋z＝34.
解析
2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足 O→M＝13(O→A＋O→B＋O→C)．
答案
2．小题热身
(1)如图，在四面体ABCD中，设G是CD的中点，
则A→B＋12(B→D＋B→C)等于(
)
→ A.AD
→ C.BG
→ B.CD
→ D.AG
解析 因为G是CD的中点，所以B→D＋B→C＝2B→G，所以A→B＋12(B→D＋B→C)
＝A→B＋B→G＝A→G.
解析 答案
(2)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一
→ x)OB
(1－x－y)O→B
提醒：三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共 面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明，共面向量定理实际上也是 三个非零向量所在直线共面的充要条件．
提醒
1．(2019·晋江一模)已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1
上的一点，且OG＝3GG1，若O→G＝xO→A＋yO→B＋zO→C，则x＋y＋z等于( )
，〈b，c〉＝
π 2
，〈a，c〉＝
π2，则|a＋2b－c|＝__2___2___.
解析
|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝
π 3
，〈b，c〉＝
π 2
，〈a，c〉＝
π 2
，
则(a＋2b－c)2＝a2＋4b2＋c2＋4a·b－2a·c－4b·c＝1＋4＋1＋4×cos
π 3
－0－0
＝8，∴|a＋2b－c|＝2 2.
为120°，则λ的值为( )
A．±
6 6
B.
6 6
C．－
6 6
D．± 6
解析
→ OA
＋λ
→ OB
＝(1，－λ，λ)，cos120°＝
λ＋λ 1＋2λ2·
2
＝－
1 2
，得λ＝
± 66.经检验λ＝
66不符合题意，舍去，所以λ＝－
6 6.
解析 答案
3．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且〈a，b〉＝
π 3
所以x＋y＋z＝－23－16＋16＝－23.
解析
题型 二 共线向量与共面向量定理的应用
1．(2019·郑州调研)已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若 a，b，c三向量共面，则λ等于___－__9___．
解析 由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，
如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设A→A1＝a，A→B＝b， A→D＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试 用a，b，c表示以下各向量：
(1)A→P； (2)A→1N； (3)M→P＋N→C1.
解 (1)∵P是C1D1的中点， ∴A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P＝a＋A→D＋12D→1C1＝a＋c＋12A→B＝a＋c＋12b.
组向量是( )
A．a，a＋b，a－b
B．b，a＋b，a－b
C．c，a＋b，a－b
D．a＋b，a－b，a＋2b
解析 A，B，D中三组向量都是共面向量，不能构成基底，c，a＋b， a－b不共面可以构成基底．
解析 答案
(3)已知向量a＝(2，－3,5)，b＝ __－__92____．
3，λ，125
15
解析
1．(2019·南充三模)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列命题： ①(A→1A＋A→1D1＋A→1B1)2＝3A→1B12； ②A→1C·(A→1B1－A→1A)＝0； ③向量A→D1与向量A→1B的夹角为60°；
④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|A→B·A→A1·A→D|. 其中正确命题的序号是( )
A．①②
B．①②③
C．①④
D．①②④
答案
解析 设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系，如图．
解析
→ A1A
＝(0,0,1)，
→ A1D1
＝(1,0,0)，
→ A1B1
＝(0,1,0)，
→ A1C
＝(1,1,1)，
→ AD1
＝
(1,0，－1)，A→1B＝(0,1,1)，
三点(P，A，B)共线
空间四点(M，P，A，B)共面
P→A＝λP→B且同过点P
M→P＝xM→A＋yM→B，如举例说明2(1)
对空间任一点O，O→P＝O→A＋tA→B
对空间任一点O，O→P＝O→M＋xM→A＋ yM→B，如举例说明1
对空间任一点O，O→P＝xO→A＋(1－ 对空间任一点O，O→P＝xO→M＋yO→A＋
P→A＝λP→B且同过点P
M→P＝xM→A＋yM→B，如举例说明2(1)
对空间任一点O，O→P＝O→A＋tA→B
对空间任一点O，O→P＝O→M＋xM→A＋ yM→B，如举例说明1
对空间任一点O，O→P＝xO→A＋(1－ 对空间任一点O，O→P＝xO→M＋yO→A＋
→ x)OB
(1－x－y)O→B
证明三点共线和空间四点共面的方法
第七章 立体几何 第6讲 空间向量及运算
[考纲解读] 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，了 解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义． 2．能应用空间两点间的距离公式，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 ． 3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐 标表示，并能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．(重点、难点)
解析
题型 三 空间向量的数量积及应用
角度1 空间向量数量积的运算
1．(2020·西安质检)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等
于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则A→E·A→F的值为( )
A．a2
B.12a2
C.14a2
D. 43a2
答案
解析 如图，设A→B＝a，A→C＝b，A→D＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b， c三个向量两两的夹角为60°.
解析
2．如图所示，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，
点M在线段PC上，点N在线段PD上，且PM＝2MC，PN＝ND，若M→N＝xA→B ＋yA→D＋zA→P，则x＋y＋z＝__－__23____.
解析 M→N＝P→N－P→M＝12P→D－23P→C＝12(A→D－A→P)－23(P→A＋A→C)＝12A→D－12 A→P＋23A→P－23(A→B＋A→D)＝－23A→B－16A→D＋16A→P，
则|A→B |＝ 01 _____x_1_－__x_2_2_＋__y_1_－__y_2_2_＋__z_1_－__z_2_2____.
②设点P(x，y，z)，则与坐标原点O之间的距离为
|O→P |＝ 02 ______x_2＋__y_2_＋__z_2 _____.
(2)中点公式 设点P(x，y，z)为P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，则 03
∴M→P＋N→C1＝12a＋12b＋c＋12c＋a＝32a＋12b＋32c.
解
用已知向量表示某一向量的注意事项 (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解 题的关键． (2)要正确理解和运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义．向量加 法的多边形法则对空间向量仍然成立． (3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则 在空间仍然成立．
_________________________.
2．空间向量的数量积 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 3．空间向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) (a，b均为非零向量)：
1．概念辨析 (1)两向量夹角的范围与两异面直线所成的角的范围相同．( ) (2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．( ) (3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向 量．( ) (4)对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若 O→P ＝x O→A ＋y O→B ＋ zO→C(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2x－y＝7，
∴x＋2y＝6， －3x＋3y＝λ，
解得λ＝－9.
解析
2．(2019·唐山质检)如图所示，已知斜三棱 柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，
且满足A→M＝kA→C1，B→N＝kB→C(0≤k≤1)． (1)向量M→N是否与向量A→B，A→A1共面？ (2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？
A→E＝12(a＋b)，A→F＝12c， ∴A→E·A→F＝12(a＋b)·12c ＝14(a·c＋b·c) ＝14(a2cos60°＋a2cos60°)＝14a2.故选C.
解析
角度2 空间向量数量积的应用
2．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O为坐标原点，
O→A ＋λ
→ OB
与
→ OB
的夹角
解
(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，故直
线MN与平面ABB1A1不平行．
当0<k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知
→ MN
与
→ AB
，
→ AA1
共面，
故MN∥平面ABB1A1.
解
证明三点共线和空间四点共面的方法
三点(P，A，B)共线
空间四点(M，P，A，B)共面
解析
求夹角
求长度 (距离) 解决垂 直问题
空间向量数量积的三个应用 设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝|aa|·|bb|，进而可求两异面 直线所成的角，如举例说明2 运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数 量积的计算问题．如举例说明3 利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量 数量积的计算问题
解 (1)∵A→M＝kA→C1，B→N＝kB→C， ∴M→N＝M→A＋A→B＋B→N ＝kC→1A＋A→B＋kB→C ＝k(C→1A＋B→C)＋A→B ＝k(C→1A＋B→1C1)＋A→B ＝kB→1A＋A→B＝A→B－kA→B1 ＝A→B－k(A→A1＋A→B) ＝(1－k)A→B－kA→A1，∴由共面向量定理知向量M→N与向量A→B，A→A1共面．
因为a∥b，所以32＝－λ3＝
2 5
，所以λ＝－92.
，且a∥b，则λ等于
解析
(4)已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为_－__2_1_5_5_． 解析 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝－2155.
解析
2
PART TWO
经典题型冲关
题型 一 空间向量的线性运算
(1)判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 解 (1)由已知O→A＋O→B＋O→C＝3O→M， ∴O→A－O→M＝(O→M－O→B)＋(O→M－O→C)， 即M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C，∴M→A，M→B，M→C共面． (2)由(1)知，M→A，M→B，M→C共面且MA，MB，MC过同一点M， ∴M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是空间立体几何的基础，一 般不单独命题．预测2021年会与多面体相结合进行考查，题型为解答题， 解题时利用空间向量法解决问题，试题难度不会太大，属中档题型.
1
PART ONE
基础知识过关
1.空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式 ①设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，