中考数学规律型问题专题2

中考数学规律型问题专题
【例题1】〔2021•四川省达州市〕a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为
＝﹣1，﹣1的差倒数＝，a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2021的值是〔〕
A．5 B．﹣C．D．
【例题2】〔2021•湖北省咸宁市〕有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，那么这三个数的和是．
【例题3】〔2021•四川省广安市〕如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为〔1，0〕，以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，那么点A2021的坐标为．
【例题4】〔2021湖南益阳〕观察以下等式：
①3﹣2＝〔﹣1〕2，
②5﹣2＝〔﹣〕2，
③7﹣2＝〔﹣〕2，
…
请你根据以上规律，写出第6个等式．
【例题5】〔2021•甘肃庆阳〕一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是．
【例题6】〔2021•湖北省鄂州市〕如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n 在直线y＝x上，假设A1〔1，0〕，且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形〔阴影局部〕的面积分别记为S1、S2、S3…S n．那么S n可表示为〔〕
A．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3
一、选择题
1.〔2021湖南常德〕观察以下等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72021的结果的个位数字是〔〕
A．0 B．1 C．7 D．8
2.〔2021成都〕如下图，以下每个图是由假设干盆花组成的形如三角形的图案，每条边〔包括两个顶点〕有n盆花，每个图案花盆总数是S，按此推断S与n的关系式为〔〕
A．S=3n B．S=3〔n﹣1〕C．S=3n﹣1 D．S=3n+1
3.〔2021云南〕按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是〔〕
A.〔－1〕n－1x2n－1
B.〔－1〕n x2n－1
C.〔－1〕n－1x2n＋1
D.〔－1〕n x2n＋1
4．〔2021河南〕如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：
①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；
②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2021次操作时，余下纸片的面积为〔〕
A．22021B．C．D．
5．〔2021湖北宜昌〕如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，那么点A2021的坐标是〔〕
A ．〔
，﹣
〕 B ．〔1，0〕 C ．〔﹣
，﹣〕 D ．〔0，﹣1〕 6.〔2021·广西贺州〕计算++
++…+的结果是〔 〕 A ．
B ．
C ．
D ．
7．(2021•云南)按一定规律排列的单项式：x 3
，－x 5
，x 7
，－x 9
，x 11
，……第n 个单项式是( ) A ．121)1(---n n x
B ．12)1(--n n x
C ．121)1(+--n n x
D ．12)1(+-n n x
二、填空题
8.〔2021云南〕观察以下各式：
，
，
，
设n 表示正整
数，用关于n 的等式表示这个规律是 ．
9.〔2021湖南怀化〕探索与发现：下面是用分数〔数字表示面积〕砌成的“分 数墙〞，那么整面“分数墙〞的总面积是 ．
10.〔2021·贵州安顺〕如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，那么位于第45行、第7列的数是 ．
11.〔2021•海南省〕有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是，这2021个数的和是．
12.〔2021•贵州省铜仁市〕按一定规律排列的一列数依次为：﹣，，﹣，，…〔a≠0〕，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是．〔n为正整数〕
13．〔2021苏州〕如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥1，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为〔结果用含正整数n的代数式表示〕
14．〔2021黑龙江省绥化〕在平面直角坐标系中，假设干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…〞的路线运动，设第n秒运动到点P n〔n为正整数〕，那么点P2021的坐标是．
15. 〔2021•黑龙江省齐齐哈尔市〕如图，直线l：y＝x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3，依此规律…，假设图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积为
S2，阴影△A3B2B3的面积为S3…，那么S n＝．
16.〔2021•山东泰安〕在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如下图，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，那么前n个正方形对角线长的和是．
17．〔2021•山东潍坊〕如下图，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1〞依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合假设半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与l n在第一象限内交于点P n，那么点P n的坐标为．〔n为正整数〕
三、解答题
18．〔2021湖南张家界〕阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a n．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，a n，…．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．
根据以上材料，解答以下问题：
〔1〕等差数列5，10，15，…的公差d为，第5项是．
〔2〕如果一个数列a1，a2，a3，…，a n…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，a n﹣a n﹣1＝d，…．
所以
a2＝a1+d
a3＝a2+d＝〔a1+d〕+d＝a1+2d，
a4＝a3+d＝〔a1+2d〕+d＝a1+3d，
……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n＝a1+〔〕d．
（3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？
19. 〔2021•四川自贡〕阅读以下材料：小明为了计算1+2+22+…+22021+22021的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22021+22021①
那么2S＝2+22+…+22021+22021②
②﹣①得2S﹣S＝S＝22021﹣1
∴S＝1+2+22+…+22021+22021＝22021﹣1
请仿照小明的方法解决以下问题：
〔1〕1+2+22+…+29＝；
〔2〕3+32+…+310＝；
〔3〕求1+a+a2+…+a n的和〔a＞0，n是正整数，请写出计算过程〕．
答案
【例题1】〔2021•四川省达州市〕a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为
＝﹣1，﹣1的差倒数＝，a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2021的值是〔〕
A．5 B．﹣C．D．
【答案】D．
【解析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2021除以3，根据余数的情况确定出与a2021相同的数即可得解．
∵a1＝5，
a2＝＝＝﹣，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝5，
…
∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，
∵2021÷3＝673，
∴a2021＝a3＝
【例题2】〔2021•湖北省咸宁市〕有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，那么这三个数的和是．
【答案】﹣384．
【解析】此题考查数字的变化类，解答此题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．
根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，
从而可以求得这三个数的和．
∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，
∴这列数的第n个数可以表示为〔﹣2〕n﹣1，
∵其中某三个相邻数的积是412，
∴设这三个相邻的数为〔﹣2〕n﹣1.〔﹣2〕n、〔﹣2〕n+1，
那么〔﹣2〕n﹣1•〔﹣2〕n•〔﹣2〕n+1＝412，
即〔﹣2〕3n＝〔22〕12，
∴〔﹣2〕3n＝224，
∴3n＝24，
解得，n＝8，
∴这三个数的和是：
〔﹣2〕7+〔﹣2〕8+〔﹣2〕9＝〔﹣2〕7×〔1﹣2+4〕＝〔﹣128〕×3＝﹣384
【例题3】〔2021•四川省广安市〕如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为〔1，0〕，以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，那么点A2021的坐标为．
【答案】〔﹣22021，22021〕．
【解析】通过解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．由题意得，
A1的坐标为〔1，0〕，
A2的坐标为〔1，〕，
A3的坐标为〔﹣2，2〕，
A4的坐标为〔﹣8，0〕，
A5的坐标为〔﹣8，﹣8〕，
A6的坐标为〔16，﹣16〕，
A7的坐标为〔64，0〕，
…
由上可知，A点的方位是每6个循环，
与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，
与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，
与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，
与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，
与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，
与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，
∵2021÷6＝336…3，
∴点A2021的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22021，
纵坐标为22021
【例题4】〔2021湖南益阳〕观察以下等式：
①3﹣2＝〔﹣1〕2，
②5﹣2＝〔﹣〕2，
③7﹣2＝〔﹣〕2，
…
请你根据以上规律，写出第6个等式．
【答案】13﹣2＝〔﹣〕2．
【解析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n〔n+1〕，利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为〔﹣〕2〔n≥1的整数〕．
写出第6个等式为13﹣2＝〔﹣〕2．
【例题5】〔2021•甘肃庆阳〕一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是．
【答案】13a+21b．
【解析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．
由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b
【例题6】〔2021•湖北省鄂州市〕如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n 在直线y＝x上，假设A1〔1，0〕，且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角
形〔阴影局部〕的面积分别记为S1、S2、S3…S n．那么S n可表示为〔〕
A．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3
【答案】D．
【解析】直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，可得∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n+1＝90°；根据等腰三角形的性质可知A1B1＝1，B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1；根据勾股定理可得B1B2＝，B2B3＝2，…，B n B n+1＝2n，再由面积公式即可求解；
解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，∵直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，
∴∠OB1A1＝30°，
∴OA1＝A1B1，
∵A1〔1，0〕，
∴A1B1＝1，
同理∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，
∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1，
易得∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n+1＝90°，
∴B1B2＝，B2B3＝2，…，B n B n+1＝2n，
∴S1＝×1×＝，S2＝×2×2＝2，…，S n＝×2n﹣1×2n＝。

一、选择题
1.〔2021湖南常德〕观察以下等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72021的结果的个位数字是〔〕
A．0 B．1 C．7 D．8
【答案】A．
【解析】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键． 首先得出尾数变化规律，进而得出70
+71
+72
+…+7
2021
的结果的个位数字．
∵70
＝1，71
＝7，72
＝49，73
＝343，74＝2401，75
＝16807，…， ∴个位数4个数一循环， ∴〔2021+1〕÷4＝505， ∴1+7+9+3＝20， ∴70
+71
+72
+…+7
2021
的结果的个位数字是：0．
2.〔2021成都〕如下图，以下每个图是由假设干盆花组成的形如三角形的图案，每条边〔包括两个顶点〕有n 盆花，每个图案花盆总数是S ，按此推断S 与n 的关系式为〔 〕
A ．S=3n
B ．S=3〔n ﹣1〕
C ．S=3n ﹣1
D ．S=3n+1
【答案】B ．
【解析】根据实际问题列一次函数关系式；规律型：图形的变化类． 由图可知：
第一图：有花盆3个，每条边有2盆花，那么3=3×〔2﹣1〕； 第二图：有花盆6个，每条边有3盆花，那么6=3×〔3﹣1〕； 第三图：有花盆9个，每条边有4盆花，那么9=3×〔4﹣1〕； …
由此可知S 与n 的关系式为S=3〔n ﹣1〕．
根据图案组成的是三角形的形状，那么其周长等于边长的3倍，但由于每个顶点重复了一次． 所以S=3n ﹣3，即S=3〔n ﹣1〕．
3.〔2021云南〕按一定规律排列的单项式：x 3
，－x 5
，x 7
，－x 9
，x 11
，……第n 个单项式是〔 〕 A.〔－1〕n －1x 2n －1
B.〔－1〕n x 2n －1
C.〔－1〕
n －1x
2n ＋1D.〔－1〕n x
2n ＋1
【答案】C
【解析】观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，∴可以用1
)
1(--n 或1
)
1(+-n ，〔n 为大于等于1的
整数〕来控制正负，指数为从第3开始的奇数，所以指数局部规律为12 n 。

4．〔2021河南〕如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：
①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉； ②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2021次操作时，余下纸片的面积为〔 〕
A ．2
2021
B ．
C ．
D ．
【答案】C ．
【解析】正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开， 第一次：余下面积， 第二次：余下面积， 第三次：余下面积
，
当完成第2021次操作时，余下纸片的面积为
5．〔2021湖北宜昌〕如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2021次得到正方形OA 2021B 2021C 2021，那么点A 2021的坐标是〔 〕
A ．〔
，﹣
〕 B ．〔1，0〕 C ．〔﹣
，﹣
〕
D ．〔0，﹣1〕
【答案】A ．
【解析】∵四边形OABC 是正方形，且OA ＝1， ∴A 〔0，1〕，
∵将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，
∴A 1〔，〕，A 2〔1，0〕，A 3〔，﹣〕，…，
发现是8次一循环，所以2021÷8＝252…余3， ∴点A 2021的坐标为〔
，﹣
〕
6.〔2021·广西贺州〕计算+
+
++…+的结果是〔 〕 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】此题是一个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计算．
把每个分数写成两个分数之差的一半，然后再进行简便运算． 原式＝
＝
＝
．
7．(2021•云南)按一定规律排列的单项式：x 3
，－x 5
，x 7
，－x 9
，x 11
，……第n 个单项式是( ) A ．121
)
1(---n n x B ．12)1(--n n x C ．121)1(+--n n x D ．12)1(+-n n x
【答案】C
【解析】观察各单项式，发现奇数项系数为正，偶数项系数为负，∴可以用1)1(--n 或1)1(+-n (n 为大于等于1的整数)来控制正负，指数为从第3开始的奇数，所以指数局部规律为12+n ．
观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，∴可以用1)1(--n 或1)1(+-n (n 为大于等于1的整数)来控制正负，指数为从第3开始的奇数，所以指数局部规律为12+n ，应选C ． 二、填空题
8.〔2021云南〕观察以下各式：，，，设n表示正整
数，用关于n的等式表示这个规律是．
【答案】：．
【解析】题考查数字的变化规律，找出式子之间的联系，由特殊找出一般规律解决问题．通过观察可以看出两个数的和等于两个数的积，分数的分母比分子小一，而相乘的整数和相加的整数也比分母大一，由此规律得出答案即可．
由所给的各式可知，不妨设分母为n，那么分子为n+1，另一个因数和加数也为n+1，因此可知律为．
故答案为：．
9.〔2021湖南怀化〕探索与发现：下面是用分数〔数字表示面积〕砌成的“分
数墙〞，那么整面“分数墙〞的总面积是．
【答案】n﹣1．
【解析】由题意“分数墙〞的总面积＝2×+3×+4×+…+n×＝n﹣1，
故答案为n﹣1．
10.〔2021·贵州安顺〕如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，
那么位于第45行、第7列的数是．
【答案】2021
【解析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，
∴第45行第一个数是2025，
∴第45行、第7列的数是2025﹣6＝2021，
故答案为2021
11.〔2021•海南省〕有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是，这2021个数的和是．
【答案】0，2．
【解析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，此题得以解决．
由题意可得，
这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…，
∴前6个数的和是：0+1+1+0+〔﹣1〕+〔﹣1〕＝0，
∵2021÷6＝336…3，
∴这2021个数的和是：0×336+〔0+1+1〕＝2
12.〔2021•贵州省铜仁市〕按一定规律排列的一列数依次为：﹣，，﹣，，…〔a≠0〕，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是．〔n为正整数〕
【答案】〔﹣1〕n•．
【解析】第1个数为〔﹣1〕1•，
第2个数为〔﹣1〕2•，
第3个数为〔﹣1〕3•，
第4个数为〔﹣1〕4•，
…，
所以这列数中的第n个数是〔﹣1〕n•．
13．〔2021苏州〕如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥1，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为〔结果用含正整数n的代数式表示〕
【答案】
【解析】过点B1、C1、C2、C3、C4分别作B1D⊥x轴，C1D1⊥x轴，C2D2⊥x轴，C3D3⊥x轴，C4D4⊥x轴，……垂足分别为D、D1、D2、D3、D4……
∵点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，
∴点B1的纵坐标为1，
即：OD＝2，B1D＝1，
图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，
∴点C1的横坐标为：2++〔〕0，
点C2的横坐标为：
2++〔〕0+〔〕0×+〔〕1＝+〔〕0×+〔〕1
点C3的横坐标为：2++〔〕0+〔〕0×+〔〕1+〔〕1×+〔〕2
＝+〔〕0×+〔〕1×+〔〕2
点C4的横坐标为：＝+〔〕0×+〔〕1×+〔〕2×+〔〕3
……
点∁n的横坐标为：+〔〕0×+〔〕1×+〔〕2×+〔〕3×+〔〕4×……+〔〕n﹣1
＝+[〔〕0+〔〕1×+〔〕2+〔〕3+〔〕4……]+〔〕n﹣1
＝
故答案为：
14．〔2021黑龙江省绥化〕在平面直角坐标系中，假设干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…〞的路线运动，设第n秒运动到点P n〔n为正整数〕，那么点P2021的坐标是．
答案：
20193
2
⎛
⎝⎭
，
解析：
15. 〔2021•黑龙江省齐齐哈尔市〕如图，直线l：y＝x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3，依此规律…，假设图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积为S2，阴影△A3B2B3的面积为S3…，那么S n＝．
．
【答案】
【解析】由直线l：y＝x+1可求出与x轴交点A的坐标，与y轴交点A1的坐标，进而得到OA，OA1的长，也可求出Rt△OAA1的各个内角的度数，是一个特殊的直角三角形，以下所作的三角形都是含有30°角的直角三角形，然后这个求出S1、S2、S3、S4、……根据规律得出Sn．
直线l：y＝x+1，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣
∴A〔﹣，0〕A1〔0，1〕
∴∠OAA1＝30°
又∵A1B1⊥l，
∴∠OA1B1＝30°，
在Rt△OA1B1中，OB1＝•OA1＝，
∴S1＝；
同理可求出：A2B1＝，B1B2＝，
∴S2＝＝＝；
依次可求出：S3＝；S4＝；S5＝……
因此：S n＝
故答案为：．
16.〔2021•山东泰安〕在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如下图，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，那么前n个正方形对角线长的和是．
【答案】〔2n﹣1〕
【解析】此题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答此题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意和函数图象可以求得点A1，A2，A3，A4的坐标，从而可以得到前n个正方形对角线长的和，此题得以解决．
由题意可得，
点A1的坐标为〔0，1〕，点A2的坐标为〔1，2〕，点A3的坐标为〔3，4〕，点A4的坐标为〔7，8〕，……，∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，
∴前n个正方形对角线长的和是：〔OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+C n﹣1A n〕＝〔1+2+4+8+…+2n﹣1〕，
设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，那么2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，
那么2S﹣S＝2n﹣1，
∴S＝2n﹣1，
∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，
∴前n个正方形对角线长的和是：×〔2n﹣1〕。

17．〔2021•山东潍坊〕如下图，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1〞依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合假设半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与l n在第一象限内交于点P n，那么点P n的坐标为．〔n为正整数〕
【答案】〔n，〕．
【解析】连OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，由勾股定理得出A1P1＝＝，同理：A2P2＝，A3P3＝，……，得出P1的坐标为〔 1，〕，P2的坐标为〔 2，〕，P3的坐标为〔3，〕，……，得出规律，即可得出结果．
连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如下图：
在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，
∴A1P1＝＝＝，
同理：A2P2＝＝，A3P3＝＝，……，
∴P1的坐标为〔 1，〕，P2的坐标为〔 2，〕，P3的坐标为〔3，〕，……，
…按照此规律可得点P n的坐标是〔n，〕，即〔n，〕
故答案为：〔n，〕．
三、解答题
18．〔2021湖南张家界〕阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a n．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，a n，…．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．
根据以上材料，解答以下问题：
〔1〕等差数列5，10，15，…的公差d为，第5项是．
〔2〕如果一个数列a1，a2，a3，…，a n…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，a n﹣a n﹣1＝d，…．
所以
a2＝a1+d
a3＝a2+d＝〔a1+d〕+d＝a1+2d，
a4＝a3+d＝〔a1+2d〕+d＝a1+3d，
……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n＝a1+〔〕d．
（4）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？
【答案】〔1〕5，25；〔2〕n﹣1；〔3〕﹣4041是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项，
它是此数列的第2021项．
【解析】〔1〕根据题意得，d＝10﹣5＝5；
∵a3＝15，
a4＝a3+d＝15+5＝20，
a5＝a4+d＝20+5＝25，
故答案为：5；25．
〔2〕∵a2＝a1+d
a3＝a2+d＝〔a1+d〕+d＝a1+2d，
a4＝a3+d＝〔a1+2d〕+d＝a1+3d，
……
∴a n＝a1+〔n﹣1〕d
故答案为：n﹣1．
〔3〕根据题意得，
等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项的通项公式为：a n＝﹣5﹣2〔n﹣1〕，
那么﹣5﹣2〔n﹣1〕＝﹣4041，
解之得：n＝2021
∴﹣4041是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项，它是此数列的第2021项．
19. 〔2021•四川自贡〕阅读以下材料：小明为了计算1+2+22+…+22021+22021的值，采用以下方法：设S＝1+2+22+…+22021+22021①
那么2S＝2+22+…+22021+22021②
②﹣①得2S﹣S＝S＝22021﹣1
∴S＝1+2+22+…+22021+22021＝22021﹣1
请仿照小明的方法解决以下问题：
〔1〕1+2+22+…+29＝；
〔2〕3+32+…+310＝；
〔3〕求1+a+a2+…+a n的和〔a＞0，n是正整数，请写出计算过程〕．
【答案】见解析。

【解析】〔1〕设S＝1+2+22+ (29)
那么2S＝2+22+ (210)
②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1
∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1；
故答案为：210﹣1
〔2〕设S＝1+3+32+33+34+…+310 ①，那么3S＝3+32+33+34+35+…+311 ②，②﹣①得2S＝311﹣1，
所以S＝，
即1+3+32+33+34+…+310＝；
故答案为：；
〔3〕设S＝1+a+a2+a3+a4+..+a n①，那么aS＝a+a2+a3+a4+..+a n+a n+1②，②﹣①得：〔a﹣1〕S＝a n+1﹣1，
所以S＝，
即1+a+a2+a3+a4+……+a n＝。