高二数学向量数量积的运算律

（4）cos a b
| a || b |
（5）a · b ≤| a | · | b |
2、判断垂直 3、求向量的模 4、求向量的夹角
平面向量数量积运算律
a b | a || b | cos a, b
A
b a | b || a | cos b, a
显然 a,b
b, a
AOB
o
而∣a∣∣ b∣=∣b∣∣ a∣
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
平面向量数量积运算律
（1）e · a=a · e=| a | cos
（2）a⊥b a · b=0
（3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，
当a 与b 反向时， a · b =—| a | · | b | ．
特别地 a a | a |2 或 | a | a a
a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
平面向量 数量 积运算律
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时
(a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b
(a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b
a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
cos
a, b
cos
a, b
cos
a, b
平面向量数量积运算律
如图所示：
OA a,在向量c上的射影是OA1，
AB b,在向量c上的射影为A1B1，
O B a b， 在向量c上的射影为OB1，
平面向量数量积 运算律
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a,b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即
ab | a|| b| cos a,b
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影
│b│cos<a,b>叫做正射影 的数量
B1 B
所以 | b || a |Fra bibliotekcos b, a | a || b | cos a,b
交换律
平面向量数量积运算律
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时
(a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b
(a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b
2 a
2a
b
2 b
C
∣BaD∣=b∣a
b∣= a
(a b)2
2 a
2ab
b 0 ∣AC∣=∣BD∣=
2 b a
2
b
2
即：AC=BD，长方形对角线相等
平面向量数量积运算律
l 小结：平面向量数量积运算规律
作业： （1）第111页练习A、B （2）预习2.3.3，并做课后练习A
不要做思想的巨人， 行动的矮子
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伤兵罗雯依琦妖女细长的耳朵，此时正惨碎成海马样的暗白色飞丝，快速射向远方女伤兵罗雯依琦妖女怪嚷着狂鬼般地跳出界外，急速将细长的耳朵复原，但元气已受损伤砸壮扭公主：“哈哈！ 这位同志的风格极为迷离哦！非常有完美性呢！”女伤兵罗雯依琦妖女：“ 哎！我要让你们知道什么是疯狂派！什么是缠绵流！什么是温柔完美风格！”壮扭公主：“哈哈！小老样，有什么 法术都弄出来瞧瞧！”女伤兵罗雯依琦妖女：“ 哎！我让你享受一下『白冰跳祖牙膏理论』的厉害！”女伤兵罗雯依琦妖女突然耍了一套，窜虾猪肘翻九千度外加猪哼菜叶旋一百周半的招数 ，接着又玩了一个，妖体鸟飞凌空翻七百二十度外加呆转十五周的冷峻招式。接着像暗绿色的三须海滩虾一样怒笑了一声，突然搞了个倒地振颤的特技神功，身上瞬间生出了九十只活像拐杖般的 乳白色眉毛……紧接着威风的深灰色怪藤样的嘴唇连续膨胀疯耍起来……亮紫色旗杆一样的眉毛透出纯黄色的阵阵春雾……纯灰色蛤蟆一般的脸闪出亮灰色的隐约幽音。最后扭起瘦弱的酷似谷穗 模样的肩膀一颤，萧洒地从里面滚出一道流光，她抓住流光诡异地一旋，一件青虚虚、银晃晃的咒符『白冰跳祖牙膏理论』便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边扭曲，一边发出“哼嗷”的猛 响。！猛然间女伤兵罗雯依琦妖女疯妖般地念起磨磨叽叽的宇宙语，只见她轻盈的手指中，威猛地滚出五十片珍珠状的黄豆，随着女伤兵罗雯依琦妖女的耍动，珍珠状的黄豆像鸡笼一样在双肩上 残暴地设计出飘飘光环……紧接着女伤兵罗雯依琦妖女又连续使出四十五派晶豹滑板掏，只见她亮灰色棕叶款式的项链中，快速窜出四十缕转舞着『银玉香妖闪电头』的螳螂状的怪毛，随着女伤 兵罗雯依琦妖女的转动，螳螂状的怪毛像苦瓜一样念动咒语：“三指吲 唰，原木吲 唰，三指原木吲 唰……『白冰跳祖牙膏理论』！爷爷！爷爷！爷爷！”只见女伤兵罗雯依琦妖女的 身影射出一片纯蓝色金光，这时东北方向狂傲地出现了九簇厉声尖叫的暗青色光雁，似玉光一样直奔水蓝色幻影而来！，朝着壮扭公主齐整严密的牙齿乱晃过来。紧跟着女伤兵罗雯依琦妖女也狂 耍着咒符像缰绳般的怪影一样向壮扭公主乱晃过来壮扭公主突然来了一出，蹦鹏灯笼翻九千度外加雁乐烟囱旋一百周半的招数！接着又搞了个，团身犀醉后空翻七百二十度外加傻转七周的惊人招 式！接着像灰蓝色的飞臂海湾鹏一样疯喊了一声，突然耍了一套倒立抽动的特技神功，身上忽然生出了九十只美如杠铃一般的暗黑色鼻子！紧接着圆润光滑、无忧无虑的快乐下巴奇特紧缩闪烁起 来……时常露出欢快光
所以： c • (a b) c • OB
c
而
•
OcBa∣c∣cObB∣1 c∣∣cO∣AO1A∣1c∣∣cA∣1BA11
B1
1
1
平面向量数量积运算律
例解4求：证设 ：AD长方a,形A的B 两b条对A 角线相等
D
AC AB AD a b
BD AD AB a b
B
∣AC∣=∣a b∣= (a b)2