人教B版高中同步学案数学必修第四册精品课件 第九章 解三角形 9.1.2 余弦定理 分层作业册

2
2 + 2 - 2
cos B=
2
=
3
2
2- 2

=- ,即
2
4
4ccos B=-a,由正弦定理得4sin Ccos B=-sin A,所以4sin Ccos B=-sin(C+B),
即4sin Ccos B=-sin Ccos B-cos Csin B,所以5sin Ccos B=-cos Csin B,所以
解析 由题意得a+b=5,ab=2.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab
=(a+b)2-3ab=52-3×2=19,所以c=
19
.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
9.[探究点二]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a2+b2-c2)tan C
=
1
2
所以(b+c)2=b2+c2+2bc=17+2×4=25,因此,c+b=5.故选 C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
3
bc=
4
3,所以
=21,得 b2+c2=17.
13.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a= 10,a2+b2-c2=absin C,
=2sin Acos A,所以 sin(B+C)=sin A=2sin Acos A.因为 A∈(0,π),所以 cos
所以
π
A= .因为△ABC 的面积为
3
3,所以
1
S△ABC= bcsin
2
1
3
A= bc·
2
2
1
A=2,
= 3,所以
bc=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即4=(b+c)2-2bc-bc=(b+c)2-3bc,所以
B.2 2
C.4
D.16
解析 因为△ABC 的面积为 3,A=60°,所以
2
2
2
2
1
S△ABC= bcsin
2
2
3
A= bc=
4
bc=4,所以 b +c =3bc=12,所以 a =b +c -2bccos A=12-2×4×
故选 B.
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2 + 2 - 2
A=
2
=
1
.
2
π
A= .
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
(2)由已知得
1
S△ABC= bcsin
2
A=
3
bc=5
4
3,
所以 bc=20.
又 b=5,所以 c=4.
由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=21,
(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是( ACD)
A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D.若c=6,则△ABC的外接圆半径R=
8 7
7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
3
2
=
3 3
.
2
12.已知△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,A=120°,a= 21,△ABC 的面
积为 3,则 c+b=( C )
A.4.5
B.4 2
C.5
解析 由三角形的面积公式可得
2
2
2
D.6
1
S△ABC= bcsin
2
2
1
3
A= bc×
2
2
2
bc=4.由余弦定理得 a =b +c -2bccos A,即 b +c -2×4×
C=3∶5∶7,那么这个三角形中最大角的度数是( C )
A.135° B.90°
C.120° D.150°
解析 因为sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,所以a∶b∶c=3∶5∶7,设a=3k(k>0),
则b=5k,c=7k.由大边对大角定理,可知角C是最大角,由余弦定理得cos
C=
2 + 2 - 2 1
2·2
=
2
2
D.
2
3
2 + 2 - 2
B=
2
3
.
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
=
3.[探究点一]在△ABC 中,已知 B=120°,AC= 19,AB=2,则 BC=( D )
A.1
B. 2
C. 5
D.3
解析 设BC=x,由余弦定理得19=4+x2-2×2x·cos 120°,解得x=3或x=-5(舍).
C=
则 sin B=sin Acos C+sin Ccos
由正弦定理,得
1
S△ABC= absin
2
sin
b= sin
=
5
,
5
2
A=
2
3 10
10
2
2
10×
×
5
5
+
2
2
×
2 5
5
=
3 10
,
10
=3 2,故 C 不正确.
C=6,故 D 正确.故选 C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
tan B=-5tan C.故选C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
15.(多选题)[2023 湖南模拟]在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若
c=
3
b=3,B=2C,则下列结论正确的是(
2
A.sin
6
C= 3
C.a=c
.因为0°<C<180°,所以C=120°.故选C.
=2
2
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6.[探究点一]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为
3,A=60°,b2+c2=3bc,则 a=( B )
A.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
2.[探究点二]在△ABC中,已知b2=ac且c=2a,则cos B=( B )
1
A.
4
3
B.
4
C.
2
4
解析 因为 b =ac,c=2a,所以 b =2a ,b= 2a.所以 cos
2
2 +4 2 -2 2
cos Asin B,则sin Bsin A=cos Asin B,又sin B≠0,所以sin A=cos A,且0<A<π,可
得A=
π
4
,故B正确.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
由 tan C=2,得 sin
2 5
C= ,cos
5
所以 a= 21.

由正弦定理得sin
所以 sin Bsin C=
=

sin
=
=
5
.
7

(2 7)2

sin
=
21
π
sin
3
=2 7,
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B级 关键能力提升练
11.在△ABC 中,已知 AB=3,BC= 13,AC=4,则边 AC 上的高为( B
acos B+bsin A=c,则下列结论不正确的是( C
A.tan C=2
π
B.A=
4
C.b= 2
D.△ABC 的面积为 6
)
2 + 2 - 2 sin
解析 由题知,cos C=
,则tan C=2,故A正确.
=
2
2
由已知及正弦定理得sin Acos B+sin Bsin A=sin(A+B)=sin Acos B+
6
,故选项
3
得 c =a +b -2ab·cos C,所以 9=a +(2 3) -2a×2 3 ×
2
2
2
2
2
cos
1
=
2
3
C= 3 矛盾,所以
×1×2 3 ×
6
3

a=1=3,故选项
B 正确,选项
A 正确.由余弦定理
3
,即
3
a=3 或 a=1.若 a=3,则 A=C,又 B=2C,A+B+C=π,所以
故选D.
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4.[探究点一]在△ABC 中,A=60°,b=1,S△ABC=
8 3
A.
81
26 3
B.
3
2 39
C.
3
解析 由
1
S△ABC= bcsin
2
3
A= c=
4
所以 a=

13,所以sin
13
=
3
+ = 9,
解析 因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,所以可设 + = 10,其中
+ = 11
x>0,解得 a=4x,b=5x,c=6x,所以 sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,所以
A 正确;由上可知 c 最大,所以三角形中 C 最大.
10.[探究点三]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+(c-b)c=a2.
(1)求A的大小;
(2)若△ABC的面积为 5 3 ,b=5,求sin Bsin C的值.
解(1)因为b2+(c-b)c=a2,
所以b2+c2-a2=bc,
所以由余弦定理得 cos
因为 0<A<π,所以
14.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3a2-2b2+2c2=0,则( C )
A.tan B=-3tan C
B.tan B=3tan C
C.tan B=-5tan C
D.tan B=5tan C
解析 由 3a -2b +2c =0,得 c -b
2
2
2
2
3 2
=- a ,所以
2
3,所以
1
=8,所以
2
a=2 2.
7.[探究点三·2023内蒙古赤峰模拟]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为
a,b,c,已知ccos B+bcos C=2acos A,a=2,△ABC的面积为 3 ,则△ABC的周
长为( B )
A.4
B.6
C.8
D.18
解析 因为 ccos B+bcos C=2acos A,所以由正弦定理得 sin Ccos B+sin Bcos C
2
=

3,则
的值为(
sin
C )
D.2 7
3,解得 c=4.所以 a2=b2+c2-2bccos A=17-4=13,
2 39
.
3
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5.[探究点三]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A∶sin B∶sin
=ab,则角C的大小为
π 5π
或
6
6
.
解析 由余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C,
又(a2+b2-c2)tan C=ab,
所以 2absin C=ab,所以 sin
因为 C∈(0,π),所以
π
C= 或
6
1
C= .
2
5π
C= .
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
A级 必备知识基础练
1.[探究点一·2023江苏南京模拟]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,Βιβλιοθήκη =2,C=60°,则c=(B)
A.3
B. 3
C. 7
D. 5-2 3
解析 因为 a=1,b=2,C=60°,所以由余弦定理得 c= 2 + 2 -2cos =
12 + 22 -2 × 1 × 2cos60° = 3.故选 B.
3 2
A. 2
3 3
B. 2
3
C.2
)
D.3 3
解析 如图,在△ABC 中,BD 为边 AC 上的高,且 AB=3,BC= 13,AC=4.
因为 cos
32 +42 -( 13)2
A= 2×3×4
=
1
,所以
2
sin
3
A= 2 .故
BD=AB·sin A=3×
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
(b+c)2=4+3×4=16,所以b+c=4.所以△ABC的周长为a+b+c=2+4=6.故选B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
8.[探究点一]在△ABC中,边a,b的长是方程x2-5x+2=0的两个根,则
19 .
5
a+b=
;若C=60°,则边c=
又 cos
2 + 2 - 2
C= 2
=
(4)2 +(5)2 -(6)2
=

,又
sin
a2-4a+3=0,解得
π
C= 4 ,此时
cos
2
C= 2 ,与
1
C 错误.S△ABC=2absin
= 2,故选项 D 错误.故选 AB.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
C
16.(多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
AB )

B.a=3
D.S△ABC=2 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
解析 因为 B=2C,所以 sin B=sin 2C=2sin Ccos