倒立摆实验报告

目录1 系统设计任务及技术指标 (2)1.1 倒立摆系统设计任务 (2)1.2 技术指标 (2)2 系统的组成和工作原理 (3)2.1 单级倒立摆系统的组成 (3)2.2 工作原理 (3)3 建立数学模型 (4)3.1 单级倒立摆系统物理模型的建立 (4)3.2 传递函数 (6)3.3 状态空间方程 (7)4 系统设计与仿真 (8)4.1 系统静态设计 (8)4.2 系统动态设计 (9)4.3 系统仿真 (10)4.3 分析与结论 (17)5 计算机控制系统设计与实现 (18)5.1 计算机控制系统的设计方案（硬件、软件） (18)5.2 实时控制软件框图 (18)5.3数据采集与模拟量输出 (19)5.4 采样周期的实现 (19)6 系统的组装与调试 (29)6.1 倒立摆实现电路 (29)6.2 反馈极性判别 (29)6.4 系统性能分析与结论 (30)6.4.1系统性能分析 (30)6.4.2 结论 (32)7 获得与体会 (33)8 参考文献 (34)1 系统设计任务及技术指标倒立摆被公认为是现代控制理论中的典型问题,是不可多得的典型物理模型。

是一个多变量、欠驱动、强耦合、高阶次、自然不稳定、非线性的快速系统。

通过对倒立摆系统的研究可以解决控制理论和实践中的诸多问题，如火箭姿态稳定问题、自然不稳定系统的控制问题等。

因此进行倒立摆实验具有重要的意义。

1.1 倒立摆系统设计任务1．了解倒立摆系统的组成和工作原理2．掌握模拟摆的调节方法3．任选一种或多种控制理论设计控制系统（静态设计、动态设计）4．仿真验证动态系统性能5．数字控制系统电路设计6．数字控制器软件设计7．闭环系统实验和调试8．编写实验报告1.2 技术指标1．摆角稳定时间小于3秒2．有一定的抗干扰能力且在5分钟内保持不倒3．小车控制在±45厘米内运动2 系统的组成和工作原理2.1 单级倒立摆系统的组成图1 计算机控制倒立摆系统结构框图电器部分由检测电路、调零电路、计算机、A/D 、D/A 变换器、功率放大器和伺服电机组成。

2.2 工作原理系统的工作原理:由检测电位计测量出1摆和2摆的偏转角度θ1、θ2,通过A/D 采入计算机,经过计算后输出控制信号,经D/A 转换为模拟量,通过功率放大器放大后驱动伺服电机。

电机旋转拖动小车向着减少θ1、θ2的方向移动,从而使倒立摆达到平衡。

3 建立数学模型3.1 单级倒立摆系统物理模型的建立在忽略了空气流动，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图2所示图2 单级倒立摆示意图那我们在本实验中定义如下变量：M 小车质量（本实验系统 0.6 Kg）m 摆杆质量（本实验系统 0.2 Kg）b 小车摩擦系数（本实验系统 0.1 N/m/sec）l 摆杆转动轴心到杆质心的长度（0.158 m）I 摆杆惯量（0.006 kg*m*m）F 加在小车上的力x 小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）下面我们对这个系统作一下受力分析。

下图3是系统中小车和摆杆的受力分析图。

其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图，图示方向为矢量正方向。

分析小车水平方向所受的合力，可以得到等式： 应用Newton 方法来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：N x b F xM --=图3 单级倒立摆模型受力分析由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：)sin (22θl x dtd mN +=即 θθθθsin cos 2 ml ml xm N -+= 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：F ml ml x b xm M =-+++θθθθsin cos )(2 （1） 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：θθθθθcos sin )cos (222ml ml mg P l dtd m mg P --=-=-即：力矩平衡方程如下：θθθ I NlPl=--cos sin注意：此方程中力矩的方向，由于θφθφφπθsin sin ,cos cos ,-=-=+=，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P 和N ，由231ml I =得到第二个运动方程：θθθcos sin 234xml mgl ml -=+ （2） 设φπθ+=（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即φ《1，则可以进行近似处理：1cos -=θ，φθ-=sin ，0)(2=dtd θ。

用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-u ml x b x m M x g l φφφ)(34 （3） 3.2 传递函数对方程组(3)进行拉普拉斯变换，得到⎪⎩⎪⎨⎧=Φ-++=Φ-Φ)()()()()()()()(342222s U s s ml s s bX s s X m M ss X s g s s l （4） 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度φ，求解方程组（4）的第一个方程，可以得到)(]34[)(2s sgl s X Φ-=把上式代入方程组（4）的第二个方程，得到)()()()()()()(22222s U s s ml s s s g mlml I b s s s g ml ml I m M =Φ-Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++ 整理后得到传递函数：sqbmgls q mgl m M s qbml s s qml s U s -+-+=Φ2323442)()()(其中 ])())([(22ml ml I m M q -++= 3.3 状态空间方程 系统状态空间方程为DuCX y Bu AX X+=+=方程组（3）对φ,x 解代数方程，得到解如下： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++++++-==+++++-==l m M l m M m M g x l m M b um M m M mg x m M b x x x)4(3)4()(3)4(3)4(4)4(3)4(4φφφφφ整理后得到系统状态空间方程：ul m M m M x x l m M m M g l m M b m M mg m M b x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-++-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡)4(30)4(400)4()(3)4(3010000)4(3)4(400010φφφφ u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001000001φφφ4 系统设计与仿真4.1 系统静态设计对方程组(3)进行拉普拉斯变换，得到⎪⎩⎪⎨⎧=Φ-++=Φ-Φ)()()()()()()()(342222s U s s ml s s bX s s X m M ss X s g s s l （4） 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度φ，求解方程组（4）的第一个方程，可以得到)(]34[)(2s sgl s X Φ-=把上式代入方程组（4）的第二个方程，得到)()()()()()()(22222s U s s ml s s s g mlml I b s s s g mlml I m M =Φ-Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++ 整理后得到传递函数：sqbmgls q mgl m M s qbml s s qml s U s -+-+=Φ2323442)()()(其中 ])())([(22ml ml I m M q -++=令传递函数为G(s)=s qbmgls q mgl m M s qbml s s qml s U s -+-+=Φ2323442)()()(，因此系统可设计为如图4所示。

图4 静态系统实现图4.2 系统动态设计 系统状态空间方程为DuCX y Bu AX X+=+=方程组（3）对φ,x 解代数方程，得到解如下： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++++++-==+++++-==l m M l m M m M g x l m M b um M m M mg x m M b x x x)4(3)4()(3)4(3)4(4)4(3)4(4φφφφφ整理后得到系统状态空间方程：ul m M m M x x l m M m M g l m M b m M mg m M b x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-++-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡)4(30)4(400)4()(3)4(3010000)4(3)4(400010φφφφ u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001000001φφφ4.3 系统仿真Matlab 仿真实际系统参数如下：M 小车质量 0.6 Kgm 摆杆质量 0.36 Kgb 小车摩擦系数 0 .1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.158mI 摆杆惯量 0.001564 kg*m*mF 加在小车上的力x 小车位置θ摆杆与垂直方向的夹角T 采样频率 0.005秒注意：在进行实际系统的Matlab仿真时，请将采样频率改为实际系统的采样频率。

1．参照上例的处理方法，把实际系统参数代入，进行PID控制仿真，并找到合适的参数；2．将小车推到导轨正中间位置，并且使摆杆处于自由下垂的静止状态；3．给计算机和电控箱通电；4．打开计算机，在DOS操作系统下，键入“Pend” 启动程序，并按“s”使系统处于准备状态；5．按“↑”键起摆，等摆杆立起来并稳定下来之后（此时为LQR控制），选择”控制器”菜单中的“PID”，输入参数，观察小车和摆杆的运动；（注意由于控制器只对摆杆进行了控制，所以在PID中输入参数后小车可能向一个方向运动，此时需用手轻轻扶一下摆杆）6．按“T”停止摆杆，当摆杆处于自由下垂的静止状态，并在”控制器”菜单中选择“PID”，并参照仿真结果，输入PID控制器参数, 观察小车和摆杆的运动；（通过调整参数可以控制摆杆摆起并能够竖直向上，此时可能需用手轻轻扶一下摆杆，以避免小车“撞墙”）。

7． 如果控制效果不理想，调整控制器参数，直到获得较好的控制效果；8． 运动曲线文件保存在当前路径下，其中pos_x.dat 为小车位置，pos_t.dat 为摆杆角度，con_u.dat 为控制量；9． 到MatLab 中运行如下指令，MatLab 会将保存的曲线重新绘制出来。