二次函数(含答案)

二次函数练习题（教师版）
（一） 定轴，定区间
1.函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______.
解：函数y x x x =-+-=--+224222()是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是x =2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，
如图1所示。

函数的最大值为f ()22=，最小值为f ()02=-。

图1
2.已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值.
解：由已知232x x ≤，可得032≤≤x ，即函数f x ()是定义在区间032，⎡⎣
⎢⎤⎦⎥上的二次函数。

将二次函数配方得f x x ()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+1234
2，其对称轴方程x =-12，顶点坐标-⎛⎝ ⎫⎭⎪1234，，且图象开口向上。

显然其顶点横坐标不在区间032，⎡⎣
⎢⎤⎦⎥内，如图2所示.函数f x ()的最小值为f ()01=，最大值为f 32194
⎛⎝ ⎫
⎭⎪=. 图2
()()()()()()2222[1]4122(1)3(12)241(2) 3.t f x t t g t f t t t t t t g t t t t t g t >⎧-++<⎪≤≤⎨⎪-+->⎩③当时，函数在区间，＋上
递减，此时＝＝－＋－，
综上，＝利用图象解得的最大值是 1.函数2()41f x x x =+-在区间[t ，t ＋1](t ∈R)上的最大值记为g(t)．
(1)求g(t)的解析式；(2)求g(t)的最大值
解 (1)对区间[t ，t ＋1](t ∈R)与对称轴x ＝2的位置关系进行讨论：
① t ＋1<2，即t <1时，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上递增，
此时g (t )＝f (t ＋1)＝－t 2＋2t ＋2；
② t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上先增后减， 此时g (t )＝f (2)＝3；
3.求函数322+-=x x y 在[]1,+∈t t t 的最大值和最小值
.3
106,310,2)1(,]1,0[,2,12/;,20,32,2)2(,20,120;6,2)0(,]1,0[,0,02,2,42)2(max max max 22或综上上单调递增函数在即时当故舍去矛盾与或得有即时当得有上单调递减函数在即时当对称轴为-==∴==∴>>≤≤-===≤≤≤≤-===<<=+-+--=a a f y a a a a a f y a a a f y a a a x a a a x y 1.已知函数2142
a y x ax =-+-+在区间[0，1]上的最大值是2，求实数a 的值. 解:
2.已知2()(43)2()f x a x x a x R =--+∈，求f(x)在[0,1]上的最大值
2．若函数1)(2
-+=ax x x f 在[]3,0上的最小值为2-，求实数a 的值
()()()[]()()()()[]()()max max 4430342.30,140.34430341()43003430,10.12a a f x x f x f x f a a a a x a f x f x f a ⎡⎤⎣⎦≠≠<><-⎡⎤⎣⎦若－＝，则＝，所以＝－＋由于在上是减函数，所以＝＝若－，即，分两种情况讨论：ⅰ若－，即，因为对称轴＝，所以在上是减函数，所以＝【】＝解析()()()()()[]()max max 41()4300343112043231221124<<<0.243330,1222()32()3a a x a a a f x f a a f x f a a f x a a a g a a a ><>-<≤≤-⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦-⎧-≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩
ⅱ若－，即，因为对称轴＝，故又分两种情况讨论：①当，即时，＝＝－；②当，即时，＝＝综上所述，在上的最大值是关于的函数＝
3．关于x 的不等式0122>--ax x 在[]3,1∈x 上恒成立，求a 的取值范围
4．已知函数[]1,1,)1(23)(22-∈+-+=x a x a x x f .
（1） 写出函数最小值)(a g 的解析式
（2） 若)(x f 的最小值为13求a 的值。