上蔡县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

上蔡县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）
A 1
C
A B A.直线 B.圆
C.双曲线
D.抛物线
【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力.
2． 在ABC ∆中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =（ ）
A ．
B ． C.
D ．
2
3． 过抛物线y 2=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若x 1+x 2=﹣6，则|AB|为（ ） A ．8
B ．10
C ．6
D ．4
4． 若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆=1（a ＞b ＞0）上的一点，且
=0，
tan ∠PF 1F 2=，则此椭圆的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 已知角α的终边上有一点P （1，3），则
的值为（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．﹣
D ．﹣4
6． 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A ．（0，1）
B ．（0，]
C ．（0，
）
D ．[
，1）
7． 一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为（ ）
A.4π
B.
C. 5π
D. 2π+
【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算能力．
8．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。

A
B
C
D
9．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是（）
A．①②B．①C．③④D．①②③④10．如图所示的程序框图，若输入的x值为0，则输出的y值为（）
A．B．0 C．1 D．或0
11．函数y=f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，则下列结论成立的是（）
A．f（2）＜f（π）＜f（5）B．f（π）＜f（2）＜f（5）C．f（2）＜f（5）＜f（π）D．f（5）＜f（π）＜f（2）
12．已知直线x+y+a=0与圆x2+y2=1交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且，那么实数a的取值范围是（）
A．B．C．
D．
二、填空题
13．过抛物线y2=4x的焦点作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则|AB|等于．
14．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S的值为.
【命题意图】本题考查程序框图功能的识别，并且与数列的前n项和相互联系，突出对逻辑判断及基本运算能力的综合考查，难度中等.
15．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是．（用区间表示）
16．在数列中，则实数a=，b=．
17．已知集合M={x||x|≤2，x∈R}，N={x∈R|（x﹣3）lnx2=0}，那么M∩N=．
18．设有一组圆C k：（x﹣k+1）2+（y﹣3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命题：
①存在一条定直线与所有的圆均相切；
②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交；
④所有的圆均不经过原点．
其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．
三、解答题
19．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中选择题3道，判断题2道，甲、乙两人各抽一道（不重复）．
（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
20．中国高铁的某个通讯器材中配置有9个相同的元件，各自独立工作，每个元件正常工作的概率为p（0＜p ＜1），若通讯器械中有超过一半的元件正常工作，则通讯器械正常工作，通讯器械正常工作的概率为通讯器械的有效率
（Ⅰ）设通讯器械上正常工作的元件个数为X，求X的数学期望，并求该通讯器械正常工作的概率P′（列代数式表示）
（Ⅱ）现为改善通讯器械的性能，拟增加2个元件，试分析这样操作能否提高通讯器械的有效率．
21．求点A （3，﹣2）关于直线l ：2x ﹣y ﹣1=0的对称点A ′的坐标．
22．解关于x 的不等式12x 2﹣ax ＞a 2（a ∈R ）．
23．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()()3
23
1312
f x x k x kx =-
+++，其中.k R ∈
（1）当3k =时，求函数()f x 在[]
0,5上的值域；
（2）若函数()f x 在[]
1,2上的最小值为3，求实数k 的取值范围.
24．已知椭圆C 1：
+x 2=1（a ＞1）与抛物线C
：x 2
=4y 有相同焦点F 1．
（Ⅰ）求椭圆C 1的标准方程；
（Ⅱ）已知直线l 1过椭圆C 1的另一焦点F 2，且与抛物线C 2相切于第一象限的点A ，设平行l 1的直线l 交椭圆C 1于B ，C 两点，当△OBC 面积最大时，求直线l 的方程．
上蔡县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】D.
第Ⅱ卷（共110分）
2．【答案】B
【解析】
考点：正弦定理的应用.
3．【答案】A
【解析】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=1，
∵抛物线y2=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点
∴|AB|=2﹣（x1+x2），
又x1+x2=﹣6
∴∴|AB|=2﹣（x1+x2）=8
故选A
4．【答案】A
【解析】解：∵
∴，即△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形．
∵Rt△PF1F2中，，
∴=，设PF2=t，则PF1=2t
∴=2c，
又∵根据椭圆的定义，得2a=PF1+PF2=3t
∴此椭圆的离心率为e====
故选A
【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，根据一个内角的正切值，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．
5．【答案】A
【解析】解：∵点P（1，3）在α终边上，
∴tanα=3，
∴====﹣．
故选：A．
6．【答案】C
【解析】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，
∵=0，
∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．
又M点总在椭圆内部，
∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．
∴e2=＜，∴0＜e＜．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．
7．【答案】B
8．【答案】B
【解析】，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为，选B。

9．【答案】A
【解析】
考点：斜二测画法．
10．【答案】B
【解析】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，如下；
输入x=0，
x＞1？，否；
x＜1？，是；
y=x=0，
输出y=0，结束．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论．
11．【答案】B
【解析】解：∵函数y=f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，
∴f（π）=f（6﹣π），f（5）=f（1），
∵f（6﹣π）＜f（2）＜f（1），
∴f（π）＜f（2）＜f（5）
故选：B
【点评】本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的单调性和函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
12．【答案】A
【解析】解：设AB的中点为C，则
因为
，
所以|OC|≥|AC|，
因为|OC|=，|AC|2=1﹣|OC|2
，
所以2（
）2
≥1，
所以a ≤﹣1或a ≥1，
因为
＜1，所以﹣
＜a ＜
，
所以实数a 的取值范围是，
故选：A ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】 6 ．
【解析】解：由抛物线y 2
=4x 可得p=2． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．
∵线段AB 的中点M 的横坐标为2，∴x 1+x 2=2×2=4． ∵直线AB 过焦点F ， ∴|AB|=x 1+x 2+p=4+2=6． 故答案为：6．
【点评】本题考查了抛物线的过焦点的弦长公式、中点坐标公式，属于基础题．
14．【答案】
2017
2016
【解析】根据程序框图可知，其功能是求数列})
12)(12(2
{
+-n n 的前1008项的和，即 +⨯+⨯=
532312S =-++-+-=⨯+)2017120151()5131()311(201720152 2017
2016
. 15．【答案】 （1，+∞）
【解析】解：∵命题p ：∃x ∈R ，x 2
+2x+a ≤0，
当命题p 是假命题时，
命题￢p ：∀x ∈R ，x 2
+2x+a ＞0是真命题；
即△=4﹣4a ＜0， ∴a ＞1；
∴实数a的取值范围是（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．
【点评】本题考查了命题与命题的否定的真假性相反问题，也考查了二次不等式恒成立的问题，是基础题目．
16．【答案】a=，b=．
【解析】解：由5，10，17，a﹣b，37知，
a﹣b=26，
由3，8，a+b，24，35知，
a+b=15，
解得，a=，b=；
故答案为：，．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与归纳法的应用．
17．【答案】{1，﹣1}．
【解析】解：合M={x||x|≤2，x∈R}={x|﹣2≤x≤2}，
N={x∈R|（x﹣3）lnx2=0}={3，﹣1，1}，
则M∩N={1，﹣1}，
故答案为：{1，﹣1}，
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
18．【答案】②④
【解析】解：根据题意得：圆心（k﹣1，3k），
圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确；
考虑两圆的位置关系，
圆k：圆心（k﹣1，3k），半径为k2，
圆k+1：圆心（k﹣1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半径为（k+1）2，
两圆的圆心距d==，
两圆的半径之差R﹣r=（k+1）2﹣k2
=2k+，
任取k=1或2时，（R﹣r＞d），C k含于C k+1之中，选项①错误；
若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；
将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）2+9k2=2k4，即10k2﹣2k+1=2k4（k∈N*），
因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．
则真命题的代号是②④．
故答案为：②④
【点评】本题是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解：（1）甲、乙两人从5道题中不重复各抽一道，共有5×4=20种抽法
记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，
则事件A含有的基本事件数为3×2=6…（4分）
∴，
∴甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是…（6分）
（2）记“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”为事件B，
其对立事件为“甲、乙二人都抽到判断题”，记为事件C，
则事件C含有的基本事件数为2×1=2…（8分）
∴，
∴，…（11分）
∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是．…（12分）
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件、对立事件概率计算公式的合理运用．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意可知：X～B（9，p），故EX=9p．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有5个元件正常工作的概率为：．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有6个元件正常工作的概率为：．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有7个元件正常工作的概率为：．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有8个元件正常工作的概率为：．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有9个元件正常工作的概率为：．
通讯器械正常工作的概率P′=；
（Ⅱ）当电路板上有11个元件时，考虑前9个元件，
为使通讯器械正常工作，前9个元件中至少有4个元件正常工作．
①若前9个元素有4个正常工作，则它的概率为：．
此时后两个元件都必须正常工作，它的概率为：p2；
②若前9个元素有5个正常工作，则它的概率为：．
此时后两个元件至少有一个正常工作，它的概率为：；
③若前9个元素至少有6个正常工作，则它的概率为：；
此时通讯器械正常工作，故它的概率为：
P″=p2++，
可得P″﹣P′=p2+﹣
，
==．
故当p=时，P″=P′，即增加2个元件，不改变通讯器械的有效率；
当0＜p时，P″＜P′，即增加2个元件，通讯器械的有效率降低；
当p时，P″＞P′，即增加2个元件，通讯器械的有效率提高．
【点评】本题考查二项分布，考查了相互独立事件及其概率，关键是对题意的理解，属概率统计部分难度较大的题目．
21．【答案】
【解析】解：设点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标为（m，n），
则线段A′A的中点B（，），
由题意得B在直线l：2x﹣y﹣1=0上，故2×﹣﹣1=0 ①．
再由线段A′A和直线l垂直，斜率之积等于﹣1得×=﹣1 ②，
解①②做成的方程组可得：
m=﹣，n=，
故点A ′的坐标为（﹣，）．
【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的坐标的方法，注意利用垂直及中点在轴上两个条件．
22．【答案】
【解析】解：由12x 2﹣ax ﹣a 2
＞0⇔（4x+a ）（3x ﹣a ）＞0⇔（x+）（x ﹣）＞0，
①a ＞0时，﹣＜，解集为{x|x ＜﹣或x ＞}； ②a=0时，x 2＞0，解集为{x|x ∈R 且x ≠0}；
③a ＜0时，﹣＞，解集为{x|x ＜或x ＞﹣}．
综上，当a ＞0时，﹣＜，解集为{x|x ＜﹣或x ＞}；
当a=0时，x 2
＞0，解集为{x|x ∈R 且x ≠0}；
当a ＜0时，﹣＞，解集为{x|x ＜或x ＞﹣}．
23．【答案】（1）[]
1,21;（2）2k ≥.
【解析】试题分析：（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得()'f x =()()31x x k --，再分1k ≤和1k >两种情况进行讨论；
试题解析：（1）解：3k = 时，()32
691f x x x x =-++
则()()()2
3129313f x x x x x =-+=--' 令()0f x '=得121,3x x ==列表
由上表知函数()f x 的值域为[]
1,21
（2）方法一：()()()()2
331331f x x k x k x x k =-++=--'
①当1k ≤时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]
1,2单调递增 所以()()()min 3
1113132
f x f k k ==-+++= 即5
3
k =
（舍）
②当2k ≥时，[]
()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]
1,2单调递减 所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+=
符合题意
③当12k <<时,
当[)1,x k ∈时，()'0f x <()f x 区间在[
)1,k 单调递减 当(],2x k ∈时，()'0f x >()f x 区间在(],2k 单调递增
所以()()()322min 3
13132
f x f k k k k k ==-+++= 化简得：32340k k -+= 即()()2
120k k +-=
所以1k =-或2k =（舍）
注：也可令()3
2
34g k k k =-+
则()()2
3632g k k k k k =='--
对()()1,2,0k g k ∀∈'≤
()3234g k k k =-+在()1,2k ∈单调递减
所以()02g k <<不符合题意
综上所述：实数k 取值范围为2k ≥
方法二：()()()()2
331331f x x k x k x x k =-++=--'
①当2k ≥时，[]
()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]
1,2单调递减 所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+=
符合题意 …………8分
②当1k ≤时，[]
()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]
1,2单调递增 所以()()min 23f x f <=不符合题意
③当12k <<时,
当[)1,x k ∈时，()'0f x <()f x 区间在[
)1,k 单调递减 当(],2x k ∈时，()'0f x >()f x 区间在(],2k 单调递增 所以()()()min 23f x f k f =<=不符合题意
综上所述：实数k 取值范围为2k ≥ 24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵抛物线x 2
=4y 的焦点为F 1（0，1），
∴c=1，又b 2
=1，∴
∴椭圆方程为：+x2=1．…
（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，
设直线l1：y=kx﹣1
由消去y并化简得x2﹣4kx+4=0
∵直线l1与抛物线C2相切于点A．
∴△=（﹣4k）2﹣4×4=0，得k=±1．…
∵切点A在第一象限．
∴k=1…
∵l∥l1
∴设直线l的方程为y=x+m
由，消去y整理得3x2+2mx+m2﹣2=0，…
△=（2m）2﹣12（m2﹣2）＞0，
解得．
设B（x1，y1），C（x2，y2），则，
．…又直线l交y轴于D（0，m）
∴…
=
当，即时，．…
所以，所求直线l的方程为．…
【点评】本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想．。