2015-2016年江苏省南通市如皋市高一(下)期中数学试卷和答案

2015-2016学年江苏省南通市如皋市高一（下）期中数学试卷一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡
相应位置上
1．（5分）在△ABC中，已知a=8，B=60°，A=45°，则b等于．
2．（5分）若点A（4，3），B（5，a），C（6，5）三点共线，则a的值为．3．（5分）已知数列{a n}为等比数列，且a7=1，a9=4，则a8=．
4．（5分）直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直，则直线l的方程是．5．（5分）若x＞0，y＞0，x+4y=40，则lgx+lgy的最大值为．
6．（5分）已知两直线l1：（3+m）x+4y+3m+5=0，l2：2x+（5+m）y+2=0，当l1∥l2时，m的值为．
7．（5分）若k，﹣1，b三个数成等差数列，则直线y=kx+b必经过定点．
8．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为．
9．（5分）函数y=（x＞1）的最小值是．
10．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，并且S10＞0，S11＜0，关于数列{a n}有下列命题：
（1）公差d＜0，首项a1＞0；
（2）S6最大；
（3）a3＞0；
（4）a6＞0
上述命题正确的是．
11．（5分）已知x，y满足，则z=2x﹣y的最小值．
12．（5分）已知实数a，b，c成等比数列，若a，x，b和b，y，c都成等差数列，则+=．
13．（5分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，a2＞a1，||=2n（n∈N*），若数列{a2n
}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{a n}的通项公式为a n=．﹣1
14．（5分）若钝角△ABC的三边a，b，c成等差数列且a＜b＜c，则的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定区域内作答，解答时
应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（15分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知asinA+csinC﹣
asinC=bsinB，
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．
16．（15分）过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：
x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．
17．（15分）过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点．
（1）|OA|•|OB|最小时，求直线l的方程；
（2）2|OA|+|OB|最小时，求直线l的方程．
18．（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边满足a＜b＜c，a2﹣c2=b2﹣，a=3，△ABC的面积为6．
（1）求角A的正弦值；
（2）求边b，c；
（2）设D为△ABC内任一点，点D到边BC、AC的距离分别为x，y，求|2x﹣y|的取值范围．
19．（15分）如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作．第一次操作：分
别连结这个三角形三边的中点，构成4个三角形，挖去中间一个三角形（如图①中阴影部分所示），并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作：连结剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形（如图②中阴影部分所示），同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作：连结剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；…，如此下去．记第n次操作中挖去的三角形个数为a n．如a1=1，a2=3．
（1）求a n；
（2）求第n次操作后，挖去的所有三角形面积之和P n？
（3）求第n次操作后，挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和Q n．20．（15分）在公差不为0的等差数列{a n}中，a2、a4、a8成公比为a2的等比数列，又数列{b n}满足b n=．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{b n}的前n项和为T n；
（3）令c n=（n∈N*），求使得c n＞10成立的n的取值范围．
2015-2016学年江苏省南通市如皋市高一（下）期中数学
试卷
参考答案与试题解析
一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡
相应位置上
1．（5分）在△ABC中，已知a=8，B=60°，A=45°，则b等于．
【解答】解：由正弦定理：，
可得==．
故答案为：4．
2．（5分）若点A（4，3），B（5，a），C（6，5）三点共线，则a的值为4．【解答】解：∵A（4，3），B（5，a），C（6，5）三点共线，∴k AB=k AC．
∴，化为a﹣3=1，解得a=4．
故答案为4．
3．（5分）已知数列{a n}为等比数列，且a7=1，a9=4，则a8=±2．
【解答】解：在等比数列{a n}中，由a7=1，a9=4，
得．
∴a8=±2．
故答案为：±2．
4．（5分）直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直，则直线l的方程是3x+2y﹣1=0．
【解答】解：∵所求直线方程与直线2x﹣3y+4=0垂直，∴设方程为3x+2y+c=0∵直线过点（﹣1，2），∴3×（﹣1）+2×2+c=0
∴c=﹣1
∴所求直线方程为3x+2y﹣1=0．
故答案为3x+2y﹣1=0．
5．（5分）若x＞0，y＞0，x+4y=40，则lgx+lgy的最大值为2．
【解答】解：x＞0，y＞0，x+4y=40
可得40，解得xy≤100，当且仅当x=4y=20时取等号．
lgx+lgy=lgxy≤lg100=2．
故答案为：2．
6．（5分）已知两直线l1：（3+m）x+4y+3m+5=0，l2：2x+（5+m）y+2=0，当l1∥l2时，m的值为﹣7．
【解答】解：当m=﹣5时，此时两条直线相不平行，因此≠﹣5，
∴﹣=﹣，
解得，m=﹣7
故答案为：﹣7．
7．（5分）若k，﹣1，b三个数成等差数列，则直线y=kx+b必经过定点（1，﹣2）．
【解答】解：若k，﹣1，b三个数成等差数列，则有k+b=﹣2，即﹣2=k×1+b，故直线y=kx+b必经过定点（1，﹣2），
故答案为（1，﹣2）．
8．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为[﹣3，
3] ．
【解答】解：由z=x﹣2y得y=，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=，
由图象可知当直线y=，过点A（3，0）时，
直线y=的截距最小，此时z最大为z=3﹣0=3，
由图象可知当直线y=，
过点B时，直线y=的截距最大，此时z最小，
由，解得，即B（1，2），
代入目标函数z=x﹣2y，得z=1﹣2×2=1﹣4=﹣3，
故﹣3≤z≤3，
故答案为：[﹣3，3]．
9．（5分）函数y=（x＞1）的最小值是2+2．
【解答】解：∵x＞1，
∴y=
=
=（x﹣1）++2
≥2+2
=2+2，
当且仅当x﹣1=即x=1+时“=”成立，
故答案为：2+2．
10．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，并且S10＞0，S11＜0，关于数列{a n}有下列命题：
（1）公差d＜0，首项a1＞0；
（2）S6最大；
（3）a3＞0；
（4）a6＞0
上述命题正确的是（1），（3）．
【解答】解：在等差数列{a n}中，由S10＞0，S11＜0，
得，，
∴a6＜0，a5＞0，且a5＞|a6|．
则数列{a n}为递减数列，且a1＞0，则（1）正确；
∵数列前5项为正，自第6项起为负，则S5最大，（2）错误；
a3＞0，（3）正确；a6＜0，（4）错误．
故答案为：（1），（3）．
11．（5分）已知x，y满足，则z=2x﹣y的最小值﹣1．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x﹣y得y=2x﹣z，
作出y=2x，的图象，平移函数y=2x，
由图象知当曲线经过点A时，
曲线在y轴上的截距最大，此时z最小，
由得，即A（1，3），
此时z=21﹣3=﹣1，
故答案为：﹣1．
12．（5分）已知实数a，b，c成等比数列，若a，x，b和b，y，c都成等差数列，则+=2．
【解答】解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，
又a，x，b和b，y，c都成等差数列，
∴，得，
则+===．
故答案为：2．
13．（5分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，a2＞a1，||=2n（n∈N*），若数列{a2n
}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{a n}的通项公式为a n=（﹣1）n ﹣1
．
【解答】解：∵数列{a n}满足a1=﹣1，a2＞a1，||=2n（n∈N*），
∴=2，解得a2=2．同理可得：a3=﹣8，a4=64．
∵数列{a2n
}单调递减，数列{a2n}单调递增，
﹣1
∴，
∴a n=•…
=（﹣1）n×2n﹣1×2n﹣2×…×22×2×1
=（﹣1）n×．
∴a n=（﹣1）n．
故答案为：（﹣1）n．
14．（5分）若钝角△ABC的三边a，b，c成等差数列且a＜b＜c，则的取值范围是（，）．
【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴b=．
∵△ABC是钝角三角形，∴c2＞a2+b2，即c2＞a2+，∴3c2﹣5a2﹣2ac ＞0．
即3（）2﹣2﹣5＞0，解得＞．
又a+b＞c，即a+＞c，∴＜3．
∴===．
令，则，f（t）=+=t+，
f′（t）=1﹣，∴当＜t＜3时，f（t）为增函数，
∴当t→时，→=，当t→3时，→，
∴＜＜．
故答案为：（，）．
三、解答题：本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定区域内作答，解答时
应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（15分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．
【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得a2+c2﹣ac=b2，
由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，
故cosB=，B=45°
（Ⅱ）sinA=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=
故a=b×==1+
∴c=b×=2×=
16．（15分）过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．
【解答】解：如图，设直线l夹在直线l1，l2之间的部分是AB，且AB被P（3，0）平分．
设点A，B的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则有，（4分）
又A，B两点分别在直线l1，l2上，所以．（8分）由上述四个式子得，即A点坐标是，B（，﹣）（11分）
所以由两点式的AB即l的方程为8x﹣y﹣24=0．（12分）
17．（15分）过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点．
（1）|OA|•|OB|最小时，求直线l的方程；
（2）2|OA|+|OB|最小时，求直线l的方程．
【解答】解：方法一：设|OA|=a，|OB|=b，则直线l的方程为：
+=1，（a＞2，b＞1），由已知可得：+=1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
（1）∵2≤+=1，∴ab≥8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
当且仅当==，即a=4，b=2时，ab取最小值4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
此时直线l的方程为+=1，即为x+2y﹣4=0．
故|OA|•|OB|最小时，所求直线l的方程为：x+2y﹣4=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
（2）由+=1得：2a+b=（2a+b）•（+）=5++≥5+2=9﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
当且仅当，即a=3，b=3时，2a+b取最小值9．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
此时直线l的方程为+=1，即x+y﹣3=0．
故@|OA|+|OB|最小时，所求直线l的方程为x+y﹣3=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
方法二：设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣2），（k＜0），
则l与x轴、y轴正半轴分别交于A（2﹣，0）、B（0，1﹣2k）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
（1）|OA|•|OB|=（2﹣）•（1﹣2k）=4+（﹣4k）+（﹣）≥4+2 =8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分），
当且仅当﹣4k=﹣，即k=﹣时取最小值8．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
故|OA|•|OB|最小时，所求直线l的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+2y﹣4=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
（2）2|OA|+|OB|=2（2﹣）+（1﹣2k）=5+（﹣）+（﹣2k）≥5+2 =9，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
当且仅当﹣=﹣2k，即k=﹣1时取得最小值9．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
故2|OA|+|OB|最小时，所求直线l的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
18．（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边满足a＜b＜c，a2﹣c2=b2﹣，a=3，△ABC的面积为6．
（1）求角A的正弦值；
（2）求边b，c；
（2）设D为△ABC内任一点，点D到边BC、AC的距离分别为x，y，求|2x﹣y|的取值范围．
【解答】（本题满分为16分）
解：（1）由a2﹣c2=b2﹣，得：=，即cosA=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
∵A∈（0，π），
∴sinA=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）=bcsinA=bc=6，
（2）∵S
△ABC
∴bc=20，①
由=及bc=20、a=3，得b2+c2=41，②
由①、②及b＜c解得b=4，c=5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
（3）以C点为坐标原点，边CA所在直线为x轴建立直角坐标系．
则x、y满足﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
画出不等式表示的平面区域（如图所示的阴影部分）．
设点D到直线2x﹣y=0的距离为d，则|2x﹣y|=d．
解得|2x﹣y|∈[0，6）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）
19．（15分）如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作．第一次操作：分别连结这个三角形三边的中点，构成4个三角形，挖去中间一个三角形（如图①中阴影部分所示），并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作：连结剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形（如图②中阴影部分所示），同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作：连结剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；…，如此下去．记第n次操作中挖去的三角形个数为a n．如a1=1，a2=3．
（1）求a n；
（2）求第n次操作后，挖去的所有三角形面积之和P n？
（3）求第n次操作后，挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和Q n．
【解答】解：（1）由题意知，数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，所以a n=3n﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
（2）记第n次操作中挖去的一个三角形面积为b n，
则{b n}是以为首项，以为公比的等比数列，所以b n=，
故第n次操作中挖去的所有三角形面积为3n﹣1﹣=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
从而第n次操作后挖去的所有三角形面积之和P n==．﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
（3）由题意知，第n次操作中挖去的所有三角形上所贴标签上的数字之和为n•3n ﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
所以所有三角形上所贴标签上的数字的和Q n=1×1+2×3+…+n•3n﹣1，①
则3Q n=1×3+2×32+…+n•3n，②
①﹣②得，﹣2Q n=1+3+32+…+3n﹣1﹣n•3n=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）
故Q n=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）
20．（15分）在公差不为0的等差数列{a n}中，a2、a4、a8成公比为a2的等比数
列，又数列{b n}满足b n=．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{b n}的前n项和为T n；
（3）令c n=（n∈N*），求使得c n＞10成立的n的取值范围．
【解答】解：（1）设数列{a n}公差为d，由题设得：，，
即，a1+3d=，
解得a1=d=1．
∴数列{a n}的通项公式为：a n=1+（n﹣1）=n．
（2）由（1）知：b n=，k∈N*．
①当n为偶数，即n=2k时，奇数项和偶数项各项，
∴T n=（4+8+…+2n）+（2+23+…+2n﹣1）
=+=++n﹣．
②当n为奇数，即n=2k﹣1时，n+1为偶数．
∴T n=T n+1﹣a n+1=++（n+1）﹣﹣2（n+1）=+﹣．
综上：T n=，k∈N*．
（3）由（2）知，c n==，
∵==＞1，
∴数列{c n}是递增数列．
∵c4=8，c5=＞10，
∴使得c n＞10成立的n的取值范围为n≥5，n∈N*．。