【广东省茂名市】2017届高考二模文科数学试卷

广东省茂名市2017届高考二模文科数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合0,1,2,4{}3,A =，2{}1
|B x x n n A ==+∈，，则A B I 等于（ ） A ．{1,3,5}
B ．{3}
C ．{5,7,9}
D ．{1,3}
2．已知复数z 满足z 2i 32i +=+（），则|z |=（ ） A ．3
B ．13
C
．
65
5
D ．15
3．毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知曲线22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)与椭圆22224x y m m +=1的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A ．3y x =±
B ．13y x =±
C ．3y x =±
D ．3
y x =±
5．已知曲线cos2f x ax x =+（
）在点ππ
(,())44
f 处的切线的斜率为1-，则实数a 的值为（ ） A ．0
B ．1-
C ．1
D ．3-
6．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项之积为n T ，且28a =，17•4a a =，则当n T 最大时，n 的值为（ ） A ．5或6
B ．6
C ．5
D ．4或5
7．已知x ，y 满足约束条件10
123
x y y x y --≥⎧⎪⎪
≥⎨⎪≤⎪⎩，当目标函数z ax by =+(0,0)a b ＞＞在该约束条件下取得最小值1
时，则
12
2a b
+的最小值为（ ） A ．22
B ．422+
C ．32+
D ．322+
8．在如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角π
6
α=，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（ ）
A ．31-
B ．
3 C ．
43
- D ．
3 9．已知函数()()f x x a x b =--（
）(其中a b ＞)的图像如图所示，则函数x g x a b =+（）的图象是（ ）
． ．
A ．
B ．
C ．
D ．
10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）(参考数据：sin22.50.3827︒=，sin11.250.1951︒=，sin5.6250.0980︒=）
A ．8
B ．16
C ．32
D ．64
11．已知某个几何体的三视图如图所示，图中每个小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）
A ．442+
B ．842+
C ．823+
D ．843+
12．已知函数()f x 对任意0)[x ∈+∞，
都有(1)f x +=1
()
f x -且当1)[0,x ∈时，()1f x x =+，若函数()()lo
g (1)a g x f x x =-+(01)a ＜＜在区间[0,4)上有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11
[,]54
B ．11
(,]54
C ．11[,]94
D ．11(,]94
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设数列{}n a 中1122n n a a a +==+，，S n 为{}n a 的前n 项和，若110n S =，则n =__________．
14．函数()sin()f x x ωϕ=+π
(00)2
ωϕ＞，＜＜的部分图象如图所示，则函数()f x 的单调递减区间为
__________．
15．已知三棱锥S ABC -的三条侧棱相等，体积为3
，AB =BC =3，30ACB ∠=︒，则三棱锥S ABC -外接球的体积为__________．
16．空间四点A ，B ，C ，D 满足||2AB =u u u r ，||3BC =u u u r ，||4CD =u u u r ，||7DA =u u u r ，则AC BD u u u r u u u r
g 的值为__________．
三、解答题（本大题共5小题，共70分）
17．（12分）在锐角ABC △中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos23sin()1A B C ++=． （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若ABC △的面积103S =，5c =，求sin sin B C 的值．
18．（12分）学校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），得到如下数学成绩的频率分布表：
分组
频数
频率
[40,50) 2 [50,60) 3 [60,70)
0.28 [70,80) 15 [80,90) 12 [90,100] 4
（Ⅰ）请在答题卡上完成频率分布表和作出频率分布直方图；
（Ⅱ）用样本估计总体，若高三年级共有2 000人，估计成绩不及格（60分以下）的人数；
（Ⅲ）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，现从成绩[90,100]的学生中选两位同学，共同帮助成绩在[40,50)中的某一位同学，即成立帮扶学习小组，样本中已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．
19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11AB BB C C ⊥侧面，1CC CA =，1BCC BCA ∠=∠． （Ⅰ）求证：1C B ABC ⊥平面； （Ⅱ）若BC =2，1π
3
BCC ∠=
，求点B 到平面11A B C 的距离．
20．（12分）已知椭圆的标准方程为22221y x a b +=(0)a b ＞＞，离心率为3
，且椭圆上的点到其中一个焦点
最大距离为23+，抛物线C 以原点为顶点，以椭圆与x 轴正半轴的交点为焦点． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）已知点(2,0)M ，问：x 轴上是否存在一定点P ，使得对于抛物线C 上的任意两点A 和B ，当AM MB λ=u u u u r u u u r
()λ∈R 时，恒有点M 到直线PA 与PB 的距离相等？若存在，则求点P 的坐标，否则说明理由． 21．（12分）已知函数ln ()(e 1)x a
f x x
+=+在点(1,(1))f 处的切线与直线3y =平行．
（Ⅰ）求函数的()f x 极值；
（Ⅱ）求证：当1x ＞时，1
2e ()(1)e 1
x x f x x x -++＞．
四、选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为
π(4,)3，点B 的极坐标为π
(22,)4
，曲线C 的直角坐标方程为：22(1)1x y
+=﹣． （Ⅰ）求曲线C 和直线AB 的极坐标方程；
（Ⅱ）过点O 的射线l 交曲线C 于M 点，交直线AB 于N 点，若||||4OM ON =g ，求射线l 所在直线的直
角坐标方程．
五、选修4-5：不等式选讲
23．设函数2|())|0(x a f x a -=＞，()221g x x x =+-+． （Ⅰ）当3a =时，求不等式()1f x ≥的解集；
（Ⅱ）若不等式()()f x g x ＜的解集为φ，求实数a 的取值范围．。