山东省德州市跃华学校高二数学上学期期中试卷 理(含解析)

2014-2015学年山东省德州市跃华学校高二（上）期中数学试卷（理
科）
一、选择题（10个题目，每小题5分，共50分）
1．数列1，4，9，16，25，…的一个通项公式a n=（）
A．n2﹣1 B．n2C．2n2﹣1 D．2n﹣1
2．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（）
A． B．﹣2 C．2 D．
3．下列命题错误的是（）
A．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为“若方程x2+x﹣m=0无实数根，则m≤0”
B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
C．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0
D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
4．在△ABC中，已知a2+b2=c2+，则∠C=（）
A．30° B．45° C．150°D．135°
5．函数y=x++5（x＞1）的最小值为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．两个等差数列{a n}和{b n}，其前n项和分别为S n，T n，且，则等于（）A．B．C．D．
7．设变量x，y满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D． 23
8．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）
A．10 B．10C．10D．10
9．已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，
log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=（）
A．n（2n﹣1）B．（n+1）2C．n2D．（n﹣1）2
10．已知数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2014的值为（）A．B．C．D．
二、填空题（5个题，每小题5分，共25分）
11．数列{a n}中，a1=1，对于所有n≥2，n∈N，都有，则
a3+a5= ．
12．关于x的不等式﹣+2x＞mx的解集是（0，2），则m的值是．
13．已知x＞0，y＞0且满足+=1，则x+y的最小值为．
14．已知等比数列{a n}的通项公式是a n=2n，设数列b n=，则
= ．
15．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是．
三、解答题
16．（Ⅰ）已知等差数列{a n}中，a1+a3+a5=21，求该数列的前5项的和S5的值；
（Ⅱ）已知等比数列{a n}中，a1=2，a n=64，q=2，求S n．
17．已知命题p：“当x∈[1，2]时，不等式x2﹣a≥0恒成立”．命题q：“存在实数a，使得方程x2+2ax+2﹣a=0有解”，若命题“p∧q”是真命题．求实数a的取值范围．
18．在△ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA．
（Ⅰ）求AB的值；
（Ⅱ）求sin（2A﹣）的值．
19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=6，S=9，求b和c的值．
20．已知等差数列{a n}中，公差d＞0，又a2•a3=45，a1+a4=14
（I）求数列{a n}的通项公式；
（II）记数列b n=，数列{b n}的前n项和记为S n，求S n．
21．等比数列{a n}中．a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数．且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列．
第一列第二列第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）如数列{b n}满足b n=a n+（﹣1）n lna n，求数列b n的前n项和s n．
2014-2015学年山东省德州市跃华学校高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（10个题目，每小题5分，共50分）
1．数列1，4，9，16，25，…的一个通项公式a n=（）
A．n2﹣1 B．n2C．2n2﹣1 D．2n﹣1
考点：数列的概念及简单表示法．
专题：等差数列与等比数列．
分析：数列1，4，9，16，25，…，即12，22，32，42，52，…．即可得出通项公式．
解答：解：数列1，4，9，16，25，…，
即12，22，32，42，52，…．
∴数列一个通项公式a n=n2．
故选：B．
点评：本题考查了数列通项公式的求法，属于基础题．
2．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（）
A． B．﹣2 C．2 D．
考点：等比数列．
专题：等差数列与等比数列．
分析：根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项等于第二项与公比的三次方的乘积，代入数字，求出公比的三次方，开方即可得到结果．
解答：解：∵{a n}是等比数列，a2=2，a5=，
设出等比数列的公比是q，
∴a5=a2•q3，
∴==，
∴q=，
故选：D．
点评：本题考查等比数列的基本量之间的关系，若已知等比数列的两项，则等比数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．
3．下列命题错误的是（）
A．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为“若方程x2+x﹣m=0无实数根，则m≤0”
B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
C．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0
D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析： A，写出命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题，再判断其真假；B，利用充分必要条件的概念从“充分性”与“必要性”两个方面可判断B；
C，写出命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0的否定，可判断C；
D，利用复合命题的真值表可判断D．
解答：解：对于A，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为“若方程x2+x﹣m=0无实数根，则m≤0”，故A正确；
对于B，x=1⇒x2﹣3x+2=0，充分性成立；反之，x2﹣3x+2=0⇒x=1或x=2，必要性不成立，所以“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，故B正确；
对于C，对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，故C正确；对于D，若p∧q为假命题，则p，q中至少一个为假命题，不一定均为假命题，故D错误．故选：D．
点评：本题考查命题的真假判断，着重考查四种命题之间的关系及真假判断，考查命题的否定、充分必要条件的概念及应用，考查转化思想．
4．在△ABC中，已知a2+b2=c2+，则∠C=（）
A．30° B．45° C．150°D．135°
考点：余弦定理．
专题：解三角形．
分析：由余弦定理求得cos∠C=的值，可得∠C的值．
解答：解：在△ABC中，由于已知a2+b2=c2+，则由余弦定理可得
cos∠C===，
∴∠C=45°，
故选B．
点评：本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．
5．函数y=x++5（x＞1）的最小值为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：由题意可得y=x﹣1++6≥2+6=8，注意等号成立的条件即可．解答：解：∵x＞1，∴x﹣1＞0，
∴y=x﹣1++6≥2+6=8
当且仅当x﹣1=即x=2时取等号，
故函数y=x++5（x＞1）的最小值为：8
点评：本题考查基本不等式求最值，属基础题．
6．两个等差数列{a n}和{b n}，其前n项和分别为S n，T n，且，则等于（）A．B．C．D．
考点：等差数列的性质．
专题：计算题．
分析：由已知，根据等差数列的性质，把转化为求解．
解答：解：因为：=
=
===．
故选：D．
点评：本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，以及计算能力．
7．设变量x，y满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y的最小值为（）
A．6 B．7 C．8 D．23
考点：简单线性规划．
专题：计算题；不等式的解法及应用．
分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x+3y 对应的直线进行平移，可得当x=2，y=1时，z=2x+3y取得最小值为7．
解答：解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，1），B（1，2），C（4，5）
设z=F（x，y）=2x+3y，将直线l：z=2x+3y进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最小值
∴z最小值=F（2，1）=7
点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x+3y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
8．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）
A．10 B．10C．10D．10
考点：解三角形的实际应用．
专题：计算题；解三角形．
分析：先在△ABC中求出BC，再△BCD中利用正弦定理，即可求得结论．
解答：解：设塔高AB为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=x，AC=x
在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°
由正弦定理可得，=
∴BC==10
∴x=10
∴x=
故塔高AB=
点评：本题考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，属于中档题．
9．已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，
log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=（）
A．n（2n﹣1）B．（n+1）2C．n2D．（n﹣1）2
考点：等比数列的性质．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：先根据a5•a2n﹣5=22n，求得数列{a n}的通项公式，再利用对数的性质求得答案．
解答：解：∵a5•a2n﹣5=22n=a n2，a n＞0，
∴a n=2n，
∴log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=log2（a1a3…a2n﹣1）=log221+3+…+（2n﹣1）=log2=n2．
故选：C．
点评：本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及对数的运算，属基础题．
10．已知数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2014的值为（）
A．B．C．D．
考点：数列递推式．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：根据首项的值和递推公式依次求出a2、a3、a4的值，即求出数列的周期，根据周期性求出a2014的值．
解答：解：∵a1=，a n+1=，
∴a2=2a1﹣1=，a3=2a1=，a4=2a3﹣1=，
∴此数列的周期是3，
∴a2014=a3×671+1=a1=，
故选：B．
点评：本题考查了数列的递推公式和周期性的应用，此题的递推公式看上去较难，只能逐一求值，知道出现相同的项即可，即求出数列的周期．
二、填空题（5个题，每小题5分，共25分）
11．数列{a n}中，a1=1，对于所有n≥2，n∈N，都有，则a3+a5= ．
考点：数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用已知：数列{a n}中，a1=1，对于所有n≥2，n∈N，都有，可得．因此．即可得出．
解答：解：∵数列{a n}中，a1=1，对于所有n≥2，n∈N，都有，∴．
∴．
∴=，，
∴a3+a5==．
故答案为．
点评：本题考查了递推式的意义、数列的通项公式，属于基础题．
12．关于x的不等式﹣+2x＞mx的解集是（0，2），则m的值是 1 ．
考点：一元二次不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：由不等式﹣+2x＞mx的解集是（0，2），得0和2是方程﹣+2x﹣mx=0的两个实根，由此利用韦达定理能求出m．
解答：解：∵不等式﹣+2x＞mx的解集是（0，2），
∴0和2是方程﹣+2x﹣mx=0的两个实根，
∴0+2=4﹣2m．
解得m=1
故答案为：1．
点评：本题考查一元二次不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意韦达定理的合理运用．
13．已知x＞0，y＞0且满足+=1，则x+y的最小值为18 ．
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．
解答：解：∵x＞0，y＞0且满足+=1，
∴x+y==10+=18，当且仅当y=2x=12时取等号．
∴x+y的最小值为18．
故答案为：18．
点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．
14．已知等比数列{a n}的通项公式是a n=2n，设数列b n=，则
= ．
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用已知条件求出b n，化简所求和的通项公式，利用裂项法求和即可．
解答：解：等比数列{a n}的通项公式是a n=2n，设数列b n==．
∴==．
=
=
=．
故答案为：．
点评：本题考查数列求和的方法，裂项法的应用，基本知识的考查．
15．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．
考点：函数单调性的性质；一元二次不等式的解法．
专题：压轴题；不等式的解法及应用．
分析：由偶函数性质得：f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可变为f（|x+2|）＜5，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x+2|的范围，再求x范围即可．
解答：解：因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2），
则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5，
即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，
所以|x+2|＜5，
解得﹣7＜x＜3，
所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．
故答案为：（﹣7，3）．
点评：本题考查函数的奇偶性、一元二次不等式的解法，借助偶函数性质把不等式具体化是解决本题的关键．
三、解答题
16．（Ⅰ）已知等差数列{a n}中，a1+a3+a5=21，求该数列的前5项的和S5的值；
（Ⅱ）已知等比数列{a n}中，a1=2，a n=64，q=2，求S n．
考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）由等差数列的性质可得a3=7，而S5=5a3，代值计算可得；
（Ⅱ）由等比数列的通项公式可得n=6，故S n=S6=，代值计算可得．
解答：解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}中，a1+a3+a5=21，
∴3a3=21，解得a3=7，
∴S5===5a3=35
∴该数列的前5项的和S5的值为35；
（Ⅱ）∵等比数列{a n}中，a1=2，a n=64，q=2，
∴2×2n﹣1=64，解得n=6，
∴S n=S6===126
点评：本题考查等差数列和等比数列的求和公式，属基础题．
17．已知命题p：“当x∈[1，2]时，不等式x2﹣a≥0恒成立”．命题q：“存在实数a，使得方程x2+2ax+2﹣a=0有解”，若命题“p∧q”是真命题．求实数a的取值范围．
考点：复合命题的真假．
专题：集合．
分析：命题p：方程x2+2ax+2﹣a=0有实数解，可得△≥0，解得a的取值范围．命题q：当x∈[1，2]时，不等式x2﹣a≥0恒成立，解得a的取值范围．由于命题p∧q为真命题，可得命题p与q都为真命题，求其交集即可．
解答：解：命题p：方程x2+2ax+2﹣a=0有实数解，可得，△=4a2﹣8+4a≥0，解得a≤﹣2或a≥1，
命题q：当x∈[1，2]时，不等式x2﹣a≥0恒成立即∀x∈[1，2]，a≤x2，解得a≤x=1，
∵命题p∧q为真命题，∴命题p与q都为真命题，
则同时成立，取交集得实数a的取值范围是a≤﹣2，或a=1．
点评：本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、一元二次不等式的解法、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力和计算能力，属于基础题
18．（12分）（2014•红桥区一模）在△ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA．
（Ⅰ）求AB的值；
（Ⅱ）求sin（2A﹣）的值．
考点：解三角形．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）由BC，AC及sinC=2sinA，利用正弦定理即可求出AB的值；
（Ⅱ）由余弦定理表示出出cosA，把BC，AC及AB的值代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，从而利用二倍角的正弦、余弦函数公式分别求出sin2A和cos2A的值，把所求式子利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将sin2A和cos2A的值代入即可求出值．
解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，，
则根据正弦定理得：
；
（Ⅱ）在△ABC中，AB=2，BC=，AC=3，
∴根据余弦定理得：=，
又A为三角形的内角，则=，
从而，
则．
点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=6，S=9，求b和c的值．
考点：正弦定理；余弦定理．
专题：解三角形．
分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后求出tanA的值，即可确定出A的大小；（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，将sinA与S代入求出bc的值，再由a，bc及cosA 的值，利用余弦定理列出关系式，整理后求出b+c的值，与bc的值联立即可求出b与c的值．
解答：解：（Ⅰ）由条件结合正弦定理得==，
∴sinA=cosA，
即tanA=，
∵0＜A＜π，
∴A=；
（Ⅱ）∵S=bcsinA=bc•=bc=9，
∴bc=36，①
∵a=6，bc=36，cosA=，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，
即36=b2+c2﹣2abcos60°=（b+c）2﹣3ab=（b+c）2﹣108，
即（b+c）2=144，
∴b+c=12，②
联立①②得：b=c=6．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
20．已知等差数列{a n}中，公差d＞0，又a2•a3=45，a1+a4=14
（I）求数列{a n}的通项公式；
（II）记数列b n=，数列{b n}的前n项和记为S n，求S n．
考点：数列的求和；等差数列的性质．
专题：综合题；等差数列与等比数列．
分析：（I）等差数列{a n}中，由公差d＞0，a2•a3=45，a1+a4=14，利用等差数列的通项公式列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出数列{a n}的通项公式．
（II）由a n=4n﹣3，知b n==（﹣），由此利用裂项求和法能求出数列
{b n}的前n项和．
解答：解：（I）∵等差数列{a n}中，公差d＞0，a2•a3=45，a1+a4=14，
∴，
解得，或（舍），
∴a n=a1+（n﹣1）d=1+4（n﹣1）=4n﹣3．
（II）∵a n=4n﹣3，
∴b n===（﹣），
∴数列{b n}的前n项和：
S n=b1+b2+b3+…+b n
=+++…+
=
=．
点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．
21．等比数列{a n}中．a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数．且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列．
第一列第二列第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）如数列{b n}满足b n=a n+（﹣1）n lna n，求数列b n的前n项和s n．
考点：等比数列的通项公式；数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）由表格可看出a1，a2，a3分别是2，6，18，由此可求出{a n}的首项和公比，继而可求通项公式
（Ⅱ）先写出b n发现b n由一个等比数列、一个等差数列乘（﹣1）n的和构成，故可分组求和．
解答：解：（Ⅰ）当a1=3时，不合题意
当a1=2时，当且仅当a2=6，a3=18时符合题意
当a1=10时，不合题意
因此a1=2，a2=6，a3=18，所以q=3，
所以a n=2•3n﹣1．
（Ⅱ）b n=a n+（﹣1）n lna n
=2•3n﹣1+（﹣1）n[（n﹣1）ln3+ln2]
=2•3n﹣1+（﹣1）n（ln2﹣ln3）+（﹣1）n nln3
所以s n=2（1+3+…+3n﹣1）+[﹣1+1﹣1+1+…+（﹣1）n]（ln2﹣ln3）+[﹣1+2﹣3+4﹣…+（﹣1）n n]ln3
所以当n为偶数时，s n==
当n为奇数时，
s n==
综上所述s n=
点评：本题考查了等比数列的通项公式，以及数列求和的方法，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个中档题．。