余弦定理及其应用

技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：BC2 | AB |2 | AC |2 2 | AB | AC | cos A
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工 程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A 到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚 BC（即线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚 的长度BC。
已知：AB、 AC、角Ａ (两条边、一个夹角)
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余弦定理及其应用
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看一看想一想
直角三角形中的边a、
b不变，角C进行变动
算一算试试！ 5
证明
解析法
y
证明：以CB所在的直线为x轴，过C点
垂直于CB的直线为y轴，建立如图所
示的坐标系，则A、B、C三点的坐标
分别为：
x
C(0, 0) B(a, 0) A(bcosC,bsin C)
AB 2 (b cosC a)2 (b sin C 0)2
b2 cos2 C 2abcosC a2 b2 sin 2 C
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提炼：设a是最长的边，则
△ABC是钝角三角形 a 2 b2 c 2
△ABC是锐角三角形 a 2 b2 c 2
△ABC是直角三角形 a 2 b2 c 2
例4、 △ABC中，a 3, b 7, c 2 求B，并判断 △ABC的形状。
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正弦定理可解决的几类问题 : (1)已知两角和任一边,解三角形; AAS,ASA (2)已知两边和其中一边对角, 解三角形.
AAA AA AA
A
ccccc cbc bbb bb c b
B a CB a C
c2 = a2+b2 c2 ＞ a2+b2 c2 ＜ a2+b2
勾股定理仍成立吗？ 4
联想 是寻找解题思路的最佳途径
A
c b
c=∣AB∣
B aC
c2=
AB= AC+ CB
=AB AB
AB AB= (AC+CB) (AC+CB)
SSA?
余弦定理可解决的几类问题 : (1)已知两边和它们的夹角,解三角形; SAS (2)已知三边,解三角形. SSS
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小结： 余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
cos A b 2 c 2 a 2 2bc
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由此可得：余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
三角形任一边的平方等于其他两边平方的和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
应用：已知两边和一个夹角，求第三边．
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隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程
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解：（1） a 2 = b 2 + c 2 －2 b c ·cos A=84
a= 2 21
（2）解：
cos
A

b2
c2 2bc
a2
=
1 2
cos B

a2
c2 b2 2ac
=
2 2
A= 600 ，B= 450
则 C=1800 A B 750
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作业：
1,P10 习题3(2),习题4(1) 2,补充:在三角形ABC中,已知
12 ( 3)2 21 3 1 7
2
22 4
BC 7 2
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剖析 剖 析 定 理
已知a、b、c（三边），可以求什么？
a2 = b2 +c2 - 2bccosA b2 = a2 +c2 - 2accosB
cos A b2 c2 a2 2bc
a2 c2 b2 cos B
（2）已知两边和它
cosA = b2 + c2 - a2 2bc
cosB = a2 + c2 - b2 2ac
cosC = a2 + b2 - c2 2ab
们的夹角，求第三 a2 = b2 +c2 - 2bccosA
边和其他两个角.
b2 = a2 +c2 - 2accosB
c2 = a2 + b2 - 2abcosC
2ac
c2 = a2 + b2 - 2abcosC
cosC a 2 b2 c 2
2ab
A 900 a2 b2 c2
A 900 a2 b2 c2 A 900 a2 b2 c2
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剖析 剖 析 定 理
能否把式子
a2 b2 c2 2bc cos A
a 3,b 2, B 45,求A、C及c
3,试卷半张
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例1、在△ABC中，已知 a 6, b 2, c 3 1
求角A、Ｂ、Ｃ。
例２、在△ABC中，已知 a 2 3, c 6 2, B 45O 求b及Ａ
例３、在△ABC中，a 2 b2 c2 ，那么Ａ是（ ）
Ａ、钝角 Ｃ、锐角
Ｂ、直角 Ｄ、不能确定
那a 2 b2 c 2呢?
复习回顾
正弦定理：
ab sin A sin B

c sin
C

2R
变型： a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2Rsin C
a : b : c sin A : sin B : sin C
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。 （2）已知两边和一边的对角。
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问题：
转化为角的关系式？
分析： 由 正 弦 定 理: a b c 2R sin A sin B sinC
得 : a 2Rsin A b 2RsinB c 2RsinC
代入a2 b2 c2 2bc cos A并化简得 :
sin2 A sin2 B sin2 C 2sinB sinC cos A
cos B c 2 a 2 b 2 2ac
cos C a 2 b 2 c 2 2ab
应用： １、已知两条边和一个夹角，求第三条边。 ２、已知三条边，求三个角。判断三角形的形状。
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练习；（1）在 ABC中，已知 b= 4 3 ，c= 2 3 ， A=1200 ，求 a.
（2）在 ABC中，已知 a= 2 6 ，b= 2 2 ， c= 6 2 ，求 A、B、C 的值。
a2 b2 2abcosC
∴c2 = a2 + b2 - 2abcosC
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C 证明
几何法
余弦定理作为勾股定理
b
a
的推广，考虑借助勾股定
理来证明余弦定理。
Ac
B
当角C为锐角时
A
b
c
C
aD
B
当角C为钝角时
A c
bDCaB来自7证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和 BC=a, 作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA
练习: 求sin2 700 sin2 500 sin 700 sin 500的值.
解 :原式 sin2 700 sin2 500 2sin700 sin500 cos600
sin2 600 3
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剖析 剖 析 定 理
余弦定理在解三角形中的作用是什么？
（1）已知三边求三个 角；
b A
C
a2 CD2 BD2
(bsin A)2(cbcos A)2
a b2sin2Ac2b2cos2A2bccos A
c
b2c22bccos A
D
B 同理有：b2 a2c22accos B
c2a2b22abcosC
当然，对于钝角三角形来说，证明 类似，课后 自己完成。