2013宜城一中高二选修2-2测试题

宜城一中高二选修2测试
2013．5. 9
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数(2)z i i =+在复平面内的对应点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2.定积分
11
01dx x +⎰的值为（ ）
A ．1 B.ln2
C.1
22
- D.11ln 222-
3. 已知三角形的三边分别为c b a ,,，内切圆的半径为r ，则三角形的面积为a s (2
1
=
r c b )++；四面体的四个面的面积分别为4321,,,s s s s ，内切球的半径为R 。

类比三角形的
面积可得四面体的体积为（ ）
（A ）R s s s s V )(214321+++= （B ）R s s s s V )(3
1
4321+++= （C ）R s s s s V )(4
1
4321+++=
（D ）R s s s s V )(4321+++= 4. 在证明12)(+=x x f 为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数12)(+=x x f 满足增函数的定义是小前提；④函数
12)(+=x x f 满足增函数的定义是大前提；其中正确的命题是（ ）
（A ）①② （B ）②④ （C ）①③ （D ）②③
5.
曲线32y x =+上的任意一点P 处切线的斜率的取值范围是（ ）
A
．[
)3+∞
B. ()3
+∞
C. ()+∞
D. [)+∞ 6. 函数()ln f x x x =的大致图像为（ ）
7. ABCD-A 1B 1C 1D 1是单位正方体，黑白两只蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是AA 1→A 1D 1，…，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1，…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *），设黑白蚂蚁都爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，则此时黑白蚂蚁的距离是（ ）
A
B ．1
C ．0 D
8、方程)(04)4(2R a ai x i x ∈=++++有实根b ，且bi a z +=，则=z （ ）
（A ）i 22- （B ）i 22+
（C ）i 22+- （D ）i 22--
9、用数学归纳法证明不等式“
)2(24
13
212111>>+++++n n n n ”时的过程中，由k n =到1+=k n 时，不等式的左边（ ）
（A ）增加了一项
)
1(21+k （B ）增加了两项)1(21
121+++k k （C ）增加了两项
)
1(21
121+++k k ，又减少了11+k ；
（D ）增加了一项
)
1(21
+k ，又减少了一项11+k ；
10、如图是函数d cx bx x x f +++=2
3
)(的大致 图象，则2
22
1x x +等于（ ） （A ）
32 （B ）34 （C ）38 （D ）3
12
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

将正确答案填在题中横线上．将正确答案填在答题卷上对应题号的横线上。

11. 若在区间[-1, 1]上，函数3()10f x x ax =-+≥恒成立，则a 的取值范围是________ 12.函数13)(3
+-=x x x f 在闭区间]0,3[-上的最大值与最小值分别为： 13、若i z 311-=，i z 862-=，且
2
11
11z z z =
+，则z 的值为 ； 14、用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数n a 与所搭三角形的个数n
之间的关系式可以
A 1
是 . 15、物体A 的运动速度v 与时间t 之间的关系为12-=t v （v 的单位是s m /，t 的单位是s ），物体B 的运动速度v 与时间t 之间的关系为t v 81+=，两个物体在相距为405m 的同一直线上同时相向运动。

则它们相遇时，A 物体的运动路程为：
三．解答题：本大题共6小题，满分75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. 已知复数21,z z 满足212
2212510z z z z =+，且212z z +为纯虚数，求证：213z z -为实数
17. 已知,()2k k Z π
αβπ≠+∈且sin α是sin θ、cos θ的等差中项，sin β是sin θ、cos θ的等
比中项。

求证： 2222
1tan 1tan 1tan 2(1tan )
αβ
αβ--=++
18. 如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)111C B A ABC -,底面ABC ∆中 090,1=∠==BCA CB CA ，棱21=AA ，N M 、分别为A A B A 111、D 的中点. （I ）求 11,cos CB BA <>的值； （II ）求证：MN C BN 1平面⊥ （III ）求的距离到平面点MN C B 11.
A
B
C
A 1
B 1
N
M
C 1
19. 已知0≥a ，函数x e ax x x f )2()(2-=．
（Ⅰ）当x 为何值时，)(x f 取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设)(x f 在]1,1[-上是单调函数，求a 的取值范围
20. 若),,3,2,1(0n i x i =>，观察下列不等式：
4)11)(
(2121≥++x x x x ，9)111)((3
21321≥++++x x x x x x ，…，请你猜测)1
11)(
(2121n
n x x x x x x ++++++ 将满足的不等式，并用数学归纳法加以证明。

21. 已知各项为正的数列{}n a 的首项为12sin a θ=（θ为锐角）2
12n a +=，数列{}n b 满足12n n n b a +=. （1）求证：当x (0,
)2
π
∈时，sin x x <
（2）求n a ，并证明：若4
π
θ=
，则12n a a a π+++<
（3）是否存在最大正整数m ，使得sin n b m θ≥对任意正整数n 恒成立？若存在，求出m ；若不存在，请说明理由.。