欧几里得之窗--从平行线到超空间的几何学故事Euclid‘s

?埃及人擁有建造金字塔的專門技 術，卻不知道如何測量金字塔的 高度。泰利斯利用經驗事實推導 出初等幾何原理，運用相似三角 形的性質向埃及人示範金字塔高 度的測量與計算，也利用類似的 方法測量船隻在海上的距離。
?希臘人尊稱泰利斯為「七位聖 哲 」之一，認為他們是全世界 最有智慧的七個人。
?泰利斯為幾何學的系統化工作踏 出了第一步。他首先證明了幾世 紀之後歐幾里得在＜幾何原本＞ 中所收集的那一類幾何定理。泰 利斯了解，想要確知事情之間的 真實因果關係，必須建立規則， 所以他也創造了最早的邏輯推論 體系。
?採用六十進位制的巴比倫人計算 至第三位數，換算至十進位為 1.4142129 。
?畢達哥拉斯時代的希臘人明白此 數無法寫成整數或小數。
?出生約於西元前 640年的泰利斯， 幾乎是全世界公認最早的科學家 或數學家。
?他經商致富，對知識有著無限的 渴望，遊歷巴比倫，學習天文科 學與數學，將這些知識傳回希臘。 他成功地預測西元前 585年的日 蝕。
?可推斷: 巴比倫人至少具備初等數 論的能力。
?雖然，埃及人和巴比倫人都曉得 畢氏定理，郤都沒見到一般式 a2+b2=c 2。
?因此，對他們來說，斜邊邊長到 底是一個精確數目還是一個約略 的估計呢？
?古希臘人對下列問題頭痛不已： 假設一正方形邊長為一單位，對 角線有多長？
?埃及人和巴比倫人並不以為意。
這樣嗎？
?推論：地球表面應該是彎曲的。
?透過幾何之窗，人們可以觀察到 整顆地球的龐大結構。
?數個世紀以來，在許多天才人物與幾 何學的協助下，人類得以向邊際以外 的地方凝視。 Ｑ：如何證明空間中的任何事物？ Ｑ：我們怎麼曉得自己身在何處？ Ｑ：空間是彎曲的嗎？
Ｑ：這個世界有多少個維度 （dimensions ）？ Ｑ：幾何學該如何解釋宇宙的秩序 和一統性？ 上述疑問孕育出世界歷史中五次革 命性的幾何變革。
間，包括我們生存的物理空間中，
這種假設都不是正確的。
?泰利斯強調，透過觀察與推理， 人們理當能夠解釋自然界中所有 的現象。他推導出革命性的結論， 認為自然是遵循固定的法則運行。 在數學的領域中，有關這個世界 的結論應該透過規則來確認，而 非猜測與觀察。
?他是最早去思考空間圖形全等觀 念的人：平面上有兩個圖形，如 果能夠移動和旋轉其中一個，使 其與另一個重疊，則兩個圖形可 視為全等。
?把相等的觀念從數目延伸到空間 圖形，是空間數學化的一大躍進。
這牽涉到同質性 (homogeneity) 的 假設，即圖形在移動時既不會扭
曲也不會改變大小。但在任何空
歐幾里得之窗
-- 從平行線到超空間的幾何 學故事
Ｅｕｃｌｉｄ‘ｓ Ｗｉｎｄｏｗ： Ｔｈｅ Ｓｔｏｒｙ ｏｆ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ ｆｒｏｍ Ｐａｒａｌｌｅｌ Ｌｉｎｅｓ ｔｏ Ｈｙｐｅｒｓｐａｃｅ
?兩千四百年前，亞里斯多德站在 海濱，觀察到 : 好像所有的船隻 都是船身先消失，然後才是桅杆 和船帆。
?但是：在平坦的地表上，船隻應 該會先愈變愈小，最後才縮小成 一點消失在視線之外，難道不是
2=2? 2+2=4?
?抽象化觀念的演進，大約成形於 西元前6000年，每年六月，尼羅 河水開始暴漲，漫過河床，為四
周鄉野鋪上一層肥沃的泥土。十
月河水退卻乾涸，到次年雨季前， 連續八個月的乾季則可分成耕耘
季和收成季。農業生活成為埃及 曆法與埃及人生活的基礎。
?到了西元前 3500年，埃及的工藝 與鑄鐵等小型工業已經十分精通， 文字與書寫亦已發展出來。
?早在歷史記載以前，人類便已發 展出數數、計算、課稅。
?1960年中非薩伊Ishango 出土的 一根距今八千年的小骨頭，一端 嵌有一小片石英，骨頭另一端切 割出三道刻痕，這可能是最早出 現的一種數量記錄工具。
?運算概念的發展較慢，得植基於 一定程度的數字抽象觀念。
兩個蘋菓－＞ 2 兩個柳丁－＞ 2
?因為徵稅的緣故，發展出幾何學。
?理論上，法老王擁有全部的土地 和財產，政府根據每年河水氾濫 的高度和人民持有土地面積來計 算地稅。
?因此，埃及人發明了一種雖然麻煩， 但頗為精準的面積計算方式，適用於 正方形、長方形和梯形。 若要計算圓面積，埃及人利用邊長等 於直徑8/9 的正方形來估算。 換句話說，他們以256/81（或3.16 ） 代替π值。（誤差約為百分之 0.6 ）
?埃及數學 蘭德(Rhind) 紙莎草手卷與莫斯 科紙莎草手卷 (Moscow Papyrus) 年代約中國夏商之交。長各六公
尺，上頭記載了數十至上百道例
題，包括四則 、分數、比例、簡 單幾何體的面積和體積計算等。
?巴比倫數學 亞述地區出土的幾百座泥版，內容 有參考用的數表 、教科書，及其他 關於巴比倫數學思考的材料。
?金字塔的建造
想像在西元前 2580年，你要建造 一座，底部方形，各面呈三角， 高度約146公尺的金字塔。由每 塊重量超過兩公噸的巨石堆疊而 成，而可用的測量工具只有木頭 和繩子。
?「拉繩夫」
?直角三角形的斜邊 hypotenuse ， 希臘文為「用力拉緊」之意。
?西元前2000年到1700年間，波斯 灣以北的非閃族民族，併吞鄰族， 建立巴比倫帝國。其數學系統， 比埃及人複雜得多。
?第一部分
?空間是什麼？
?幾何學如何開始成為描述宇宙 的工具？引領人們進入現代文 明。
?空間觀念演進的第一次革命 ----抽象化觀念的誕生自埃及人與巴比倫人所稱的「大 地測量」，希臘文是 geometry 。
?希臘人首先從對石塊與砂礫的簡 單敍述開始發展幾何學，抽離出 點、線、面的觀念。
?巴比倫的工程師在挖掘運河前，計 算運河的梯形橫截面面積，計算需 移走的土壤量，需多少人力工時才 能完成整個工程。 巴比倫的金融借貸採用甚至是複利 制。
?巴比倫人未發明方程式，所有計算 都表述成文字敘述。 ＜目前已知最早使用加號的文件為 1481年的日耳曼手稿＞
?巴比倫人與埃及人應該都已經知道 畢達哥拉斯定理 (Pythagorean theorem) 。 巴比倫人記載的三數組有 「3、 4、 5 」、 「5、 12、 13」、… 「3456、 3367、 4825」、…