湖北省名校2019-2020学年数学高二下期末教学质量检测试题含解析

湖北省名校2019-2020学年数学高二下期末教学质量检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．将函数()sin 3f x x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()cos2g x x =的图象，则ϕ的最小值为（ ）
A ．
3
π B ．
6
π C ．
12
π
D ．
24
π
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意得到变换后的函数解析式，利用诱导公式求得结果 【详解】
由题，向左平移(0)ϕϕ>不改变周期，故2ω=，
∴平移得到()sin 2sin 22cos 233x x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫++
=++= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎝⎭⎣
⎦ 2+
=
+23
2
k π
π
ϕπ∴，12
k π
ϕπ∴=
+
0ϕ>Q ，∴当0k =时，min 12
π
ϕ=
，故选C
【点睛】
本题考查函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，利用诱导公式完成正、余弦型函数的转化 2．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
试题分析：运用两直线平行的充要条件得出l 1与l 2平行时a 的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．
解：∵当a=1时，直线l 1：x+2y ﹣1=0与直线l 2：x+2y+4=0， 两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行， 故前者是后者的充分条件， ∵当两条直线平行时，得到，
解得a=﹣2，a=1， ∴后者不能推出前者，
∴前者是后者的充分不必要条件． 故选A ．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．
3．函数22()x x
f x e e -=+，()2cos 2
g x x ax =+，若[0)x ∀∈+∞,，()()f x g x ≥，则a 的取值范围为（ ）
A ．(,0)-∞
B ．(,1)-∞
C ．(,0]-∞
D ．(,1]-∞
【答案】C 【解析】 分析：()22x
x f x e
e -=+利用均值定理可得≥2，()2cos2g x x ax =+中的2cos2?x 有界，即≤2，所以a≤0 详解：()[)22 0,x
x f x e
e x -=+∈+∞，
由均值不等式得()22x
x f x e
e -=+≥2，当且仅当x=0取得
2cos2x ≤2，
[)0,x ∀∈+∞，当a≤0时，()22x x f x e e -=+≥2，()2cos2g x x ax =+≤2
故本题选C
点晴：本题是一道恒成立问题，恒成立问题即最值问题，本题结合均值，三角函数有界性等综合出题，也可以尝试特殊值方法进行解答
4．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD =，则DEF V 与ABC V 的面积之比为（ ）
A ．
1
2
B ．
13
C ．
15
D ．
17
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意得出点D 为AF 的中点，由余弦定理得出7AB AD =，结合三角形面积公式得出正确答案.
【详解】
2,BD AD AF BD ==Q ，2AF AD ∴=，即点D 为AF 的中点
由余弦定理得：2222cos120AB AD BD AD BD ︒⋅-=+
解得：AB=
)
2
2
ABC
1
()sin601
2
17
sin60
2
DEF
AD
S
S
︒
︒
∴==
V
V
故选：D
【点睛】
本题主要考查了余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题.
5．曲线cos
y x
=在
3
x
π
=处的切线斜率是( )
A．
1
2
-B．
1
2
C
．D
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知对cos
y x
=求导，将
3
x
π
=代入导函数即可.
【详解】
∵y′=(cosx)′=-sinx，
∴当
3
x
π
=
时，=
32
y sin
π
'=--.
故选C.
【点睛】
本题考查利用导数求切线斜率问题，已知切点求切线斜率问题，先求导再代入切点横坐标即可，属于基础题.
6．利用反证法证明“若|2||2|0
x y
-+-=，则2
x y
==”时，假设正确的是（）
A．,x y都不为2 B．x y
≠且,x y都不为2
C．,x y不都为2 D．x y
≠且,x y不都为2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据反证法的知识，选出假设正确的选项.
【详解】
原命题的结论是“,x y都为2”，反证时应假设为“,x y不都为2”．
故选：C
【点睛】
本小题主要考查反证法的知识，属于基础题.
7．如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题：
①点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与直线1A D 所成角的大小不变 ②点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变 ③点P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变 ④点P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变 其中的真命题是 （ ） A ．①③ B ．③④
C ．①②④
D ．①③④
【答案】D 【解析】 【分析】
①由1A D 与平面11ABC D 的位置关系判断直线AP 与直线1A D 所成角的大小变化情况；
②考虑1,AB AC 与平面1ACD 所成角的大小，然后判断直线AP 与平面1ACD 所成角的大小是否不变； ③根据11//BC AD 以及二面角的定义判断二面角1P AD C --的大小是否不变；
④根据线面平行的性质以及三棱锥的体积计算公式判断三棱锥1A D PC -的体积是否不变. 【详解】
①如下图，连接11,A D BC ，
因为111111111,,A D AD A D D C AD D C D ⊥⊥=I ，所以1A D ⊥平面11ABC D ， 所以1A D AP ⊥，所以直线AP 与直线1A D 所成角的大小不变； ②如下图，连接1BC ，记1,B C 到平面的距离为12,h h ，
设正方体棱长为1，所以2AC =
12
332
4
2
ACD S =
=
V ， 又因为111111326
D ABC V -⨯=⋅⋅=，所以1136
13h ==⨯ 所以AB 与平面1ACD 所成角的正弦值为：13
33sin 1θ==
，
又因为1111111326
A D C C
V -⨯=⋅⋅=，所以2136
313h ==⨯， 所以所以1AC 与平面1ACD 所成角的正弦值为：
23
13sin 3
3θ==
， 显然12θθ≠，所以直线AP 与平面1ACD 所成角的大小在变化；
③因为11//BC AD ，所以11,,,A B C D 四点共面，又P 在直线1AD 上，所以二面角1P AD C --的大小不变；
④因为11//BC AD ，1BC ⊂平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，所以1//BC 平面1ACD ， 所以当P 在1BC 上运动时，点P 到平面1ACD 的距离不变，所以三棱锥1A D PC -的体积不变. 所以真命题有：①③④. 故选：D. 【点睛】
本题考查空间中点、线、面的位置关系的判断，难度一般.(1)已知直线平行平面，则该直线上任意一点到平面的距离都相等；(2)线面角的计算方法：<1>作出线段的射影，计算出射影长度，利用比值关系即可求解线面角的大小；<2>计算线段在平面外的一个端点到平面的距离，该距离比上线段长度即为线面角的正弦.
8．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
试题分析：模拟法：
不大于
不大于
，输出，故选A．
考点：程序框图．
95π,则该圆锥的体积为
A．1
3
πB．
2
3
πC．2πD．16
3
π
【答案】B 【解析】【分析】
先设底面半径，然后根据侧面积计算出半径，即可求解圆锥体积. 【详解】
设圆锥的底面半径为R ，则高为2R ，母线长l =
=；又侧面积
2S Rl R π=== ，所以1R =，所以()2
12233
V R R ππ=⨯⨯=，
故选：B. 【点睛】
本题考查圆锥的侧面积公式应用以及体积的求解，难度一般.圆锥的侧面积公式：S rl π=，其中r 是底面圆的半径，l 是圆锥的母线长.
10．若{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆则满足条件的集合A 的个数是( ) A ．6 B ．7
C ．8
D ．9
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意A 中必须有1，2这两个元素，因此A 的个数应为集合{3,4，5}的子集的个数． 【详解】
解：{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆Q ，∴集合A 中必须含有1，2两个元素，
因此满足条件的集合A 为{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，{}1,2,4,5，
{}1,2,3,4,5共8个．
故选C ． 【点睛】
本题考查了子集的概念，熟练掌握由集合间的关系得到元素关系是解题的关键.有n 个元素的集合其子集共有2n 个.
11．已知函数()()f x x R ∈满足()4(2)f x f x -=-+，函数21
()1
x g x x -=
-.若函数()f x 与()g x 的图象共有214个交点，记作(,)(1,2,,214)i i i P x y i =L ，则214
1
()i
i
x x y =+∑的值为
A ．642
B ．1284
C ．214
D ．321
【答案】A 【解析】
分析：根据题意求解()f x ，()g x 的对称中心点坐标的关系，即两个图象的交点的关系，即可解得答案 详解：Q 函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -=-+，
()()24f x f x ∴-++= 即函数()f x 关于点()1
2，对称 函数()()211211
2111
x x g x x x x -+-=
==+
--- 即函数()g x 关于点()1
2，对称 ∴函数()f x 与()g x 的图象共有214个交点即在()12，两边各有107个交点
121224x x y y +=+=，，则共有107组，故
()()()()214
1
1
2
22142141
6107642i
i
x x y x y x
y x y =+=++++++=⨯=∑L ，
故选A
点睛：本题结合函数的对称性考查了函数交点问题，在解答此类题目时先通过化简求得函数的对称中心，再由交点个数结合图像左右各一半，然后求和，本题有一定难度，解题方法需要掌握。

12．幂函数
的图象过点(1
4,2
) ，那么(8)f 的值为（ ）
A 2
B ．64
C ．22
D ．
164
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
设幂函数的解析式为f x x α=（）， ∵幂函数f x （）的图象过点1
(4)2
，，
1
2112
4882248
f α
α-∴=∴=-∴===
，．（）. 选A
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．参数方程()24sin cos x R y θ
θθ
⎧=-∈⎨=⎩所表示的曲线与x 轴的交点坐标是______．
【答案】()3,0 【解析】 【分析】
根据22sin cos 1θθ+=消参,将()2
4sin cos x R y θ
θθ
⎧=-∈⎨=⎩化为直角坐标系下曲线方程,即可求x 轴的交点坐
标. 【详解】
Q 24sin cos x y θθ⎧=-⎨=⎩ 可化为222
sin 4cos x y
θθ⎧=-⎨=⎩ 可得:222sin cos 4x y θθ+=-+ ∴ 23y x =-
当0y =时,3x =
∴曲线与x 轴的交点坐标是()3,0.
故答案为:()3,0. 【点睛】
本题考查圆锥曲线的参数方程和普通方程的转化,消去参数方程中的参数,就可把参数方程化为普通方程,消去参数的常用方法有:①代入消元法;②加减消元法;③乘除消元法;④三角恒等式消元法.本题采用了三角恒等式消元法.
14．若"2x >"是"x m >"的必要不充分条件,则m 的取值范围是____． 【答案】2m > 【解析】 【分析】
根据充分条件和必要条件的定义,结合不等式的关系进行求解,即可求得答案. 【详解】
若"2x >"是"x m >"的必要不充分条件 则{|}x x m > {|2}x x > 即2m >
即m 的取值范围是:2m >. 故答案为:2m >. 【点睛】
本题考查利用必要不充分条件求参数的取值范围,利用“小范围能推出大范围”即可得出参数的范围,考查了分析能力,属于基础题.
15．二项展开式012233(1),
N n n n n n n n n x C C x C x C x C x n ++=+++++∈L ，两边对x 求导，得
112321(1)23n n n n n n n n x C C x C x nC x --+=++++L ，令1x =，可得1231232n
n n n n n C C C nC n -++++=⋅L ，类比上述方法，则2122232123n
n n n n C C C n C ⋅+⋅+⋅++⋅=L ______．
【答案】2
(1)2
n n n -+⋅
【解析】 【分析】
依据类比推理观察式子的特点，可得1
12233(1)23n n n
n n n n nx x C x C x C x nC x -+=++++L ，然后进行求导并
对x 取特殊值，可得结果. 【详解】
112233(1)23n n n
n n n n nx x C x C x C x nC x -+=++++Q L ，
两边对x 求导，左边1
2(1)
(1)(1)n n n x n x x --⎡⎤=++-+⎣⎦
右边212223221
123n n n n n n C C x C x n C x -=⋅+⋅+⋅++⋅L
令1x =，
21222322123(1)2n
n n n n n C C C n C n n -⋅+⋅+⋅++⋅=+⋅L ．
故答案为：2
(1)2n n n -+⋅
【点睛】
本题考查类比推理以及二项式定理与导数的结合，难点在于找到式子
112233(1)23n n n n n n n nx x C x C x C x nC x -+=++++L ，属中档题.
16．将一个总体分为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5：3：2，若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取_________个个体． 【答案】1． 【解析】
解：∵A 、B 、C 三层，个体数之比为5：3：2．又有总体中每个个体被抽到的概率相等，∴分层抽样应从C 中抽取100×
2
10
=1．故答案为1． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．小王每天自己开车上班，他在路上所用的时间X （分钟）与道路的拥堵情况有关.小王在一年中随机记录了200次上班在路上所用的时间，其频数统计如下表，用频率近似代替概率.
（Ⅰ）求小王上班在路上所用时间的数学期望()E X ；
（Ⅱ）若小王一周上班5天，每天的道路拥堵情况彼此独立，设一周内上班在路上所用时间不超过()E X 的天数为Y ，求Y 的分布列及数学期望. 【答案】 (Ⅰ)
89
4
；(Ⅱ)答案见解析.
【解析】
分析：（Ⅰ）先由题得到x=15,20,25,30，再求出其对应的概率，最后得到X 的分布列和期望. （Ⅱ）利用二项分布求Y 的分布列及数学期望. 详解：（Ⅰ）()1154P X ==
，()1204P X ==，()32510P X ==，()1
305
P X ==， X 的分布列为
所以()1520254410E X =⨯
+⨯+⨯ 3054
+⨯=. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，每天上班在路上所用时间不超过()894E X =
的概率为111
442
+=， 依题意，15,2Y B ⎛⎫
~ ⎪⎝⎭
，
分布列为()555
112232
k k
k k C P Y k C -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，0,1,2,3,4,5k =，
()522
E Y =⨯
=. 点睛：（1）本题主要考查随机变量的分布列和数学期望，考查二项分布，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)若ξ～(,),B n p 则.E np ξ=利用该公式可以提高计算效率. 18．假设某士兵远程射击一个易爆目标，射击一次击中目标的概率为
2
3
，三次射中目标或连续两次射中目标，该目标爆炸，停止射击，否则就一直独立地射击至子弹用完．现有5发子弹，设耗用子弹数为随机变量X ．
（1）若该士兵射击两次，求至少射中一次目标的概率； （2）求随机变量X 的概率分布与数学期望E(X)． 【答案】 (1) 89
P =
. (2)分布列见解析，29()9
E X =. 【解析】
分析：（1）利用对立事件即可求出答案；
（2）耗用子弹数X 的所有可能取值为2，3，4，5，分别求出相应的概率即可.
详解：（1）该士兵射击两次，至少射中一次目标的概率为
2
18139
P ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.
（2）耗用子弹数X 的所有可能取值为2，3，4，5. 当2X =时，表示射击两次，且连续击中目标，()2242339
P X ==
⨯=； 当3X =时，表示射击三次，第一次未击中目标，且第二次和第三次连续击中目标，
()2224
3133327
P X ⎛⎫==-⨯⨯= ⎪⎝⎭；
当4X =时，表示射击四次，第二次未击中目标，且第三次和第四次连续击中目标，
()2224
4133327P X ⎛⎫==-⨯⨯= ⎪⎝⎭
；
当5X =时，表示射击五次，均未击中目标，或只击中一次目标，或击中两次目标前四次击中不连续两次或前四次击中一次且第五次击中，或击中三次第五次击中且前四次无连续击中。

()542322
1
522222222751171313333333327
P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-⨯=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 随机变量X 的数学期望
()444729
234592727279
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.
点睛：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题.
19．已知().
（1）当
时,判断
在定义域上的单调性；
（2）若在上的最小值为,求的值；
（3）若
在
上恒成立，试求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【解析】
分析：（1）f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋＝，由此利用导数性质能求出f(x)在(0，＋∞)上是单
调递增函数；
（2）由（1）根据a 的取值范围分类讨论，由此利用导数性质能求出a ； （3）由
，得
，令
，由此利用导数性质能求
出a的取值范围.
详解：(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝.
∵a>0，∴f′(x)>0，
故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．
(2)由(1)可知，f′(x)＝.
①若a≥－1，则x＋a≥0，
即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，
此时f(x)在[1，e]上为增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，
∴a＝－(舍去)．
②若a≤－e，则x＋a≤0，
即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，
此时f(x)在[1，e]上为减函数，
∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，
∴a＝－(舍去)．
③若－e<a<－1，令f′(x)＝0得x＝－a，
当1<x<－a时，f′(x)<0，
∴f(x)在(1，－a)上为减函数；
当－a<x<e时，f′(x)>0，
∴f(x)在(－a，e)上为增函数，
∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，
∴a＝－.
综上所述，a＝－.
(3)∵f(x)<x2，∴ln x－<x2.
又x>0，∴a>xln x－x3.
令g(x)＝xln x－x3，
h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x2，
h′(x)＝－6x＝.
∵x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，
∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数． ∴h(x)<h(1)＝－2<0，即g′(x)<0， ∴g(x)在(1，＋∞)上也是减函数． g(x)<g(1)＝－1，
∴当a≥－1时，f(x)<x 2在(1，＋∞)上恒成立．故a 的取值范围是[－1，＋∞)．
点睛：本题考查函数的单调区间和实数取值范围的求法，解题时认真审题，注意分类讨论思想和导数性质的合理应用.
20．函数()2
ln f x x a x =+(a 为实数).
(1)若2a =-，求证：函数()f x 在()1,+∞上是增函数； (2)求函数()f x 在[]1,e 上的最小值及相应的x 的值；
(3)若存在[]
1,x e ∈，使得()()2f x a x ≤+成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）函数()f x 在()1,+∞上是增函数；（2）见解析；（3）(]1,-+∞. 【解析】
试题分析：（1）当2a =-时，()'0f x >在（0，+∞）上恒成立，故函数在（1，+∞）上是增函数；
（2）求导)()()22'20a x a f x x x x x
+=+=>，当x∈[1，e]时，22
22,2x a a a e ⎡⎤+∈++⎣⎦．
分①2a ≥-，②222e a -<<-，③22a e ≤-，三种情况得到函数f （x ）在[1，e]上是单调性，进而得到[f （x ）]min ；
（3）由题意可化简得到[]()221,ln x x a x e x x -≥∈-，令()[]()221,ln x x
g x x e x x
-=∈-，利用导数判断其单调性求出最小值为()11g =-． 试题解析：
(1)当2a =-时，()2
2ln f x x x =-，其定义域为()0,+∞，
()()
2
212'2x f x x x x
-=-=
，
当()1,x ∈+∞时，()'0f x >恒成立， 故函数()f x 在()1,+∞上是增函数.
(2)()()22'20a x a
f x x x x x
+=+=>，
当[]
1,x e ∈时，22
22,2x a a a e ⎡⎤+∈++⎣⎦，
①若2a ≥-，()'f x 在[]
1,e 上有()'0f x ≥(仅当2a =-，1x =时，()'0f x =)， 故函数()f x 在[]
1,e 上是增函数，此时()()min 11f x f ==；
②若222e a -<<-，由()'0f x =，得x =
当1x ≤<
时，有()'0f x <，此时()f x 在区间⎡⎢⎣上是减函数；
x e ≤时，有()'0f x >，此时，()f x 在区间e ⎤⎥⎦
上是增函数，
故()min ln 222
a a a
f x f ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭； ③若22a e ≤-，()'f x 在[]
1,e 上有()'0f x ≤(仅当22a e =-，x e =时，()'0f x =)， 故函数()f x 在[]
1,e 上是减函数，此时()()2
min f x f e a e ==+
综上可知，当2a ≥-时，()f x 的最小值为1，相应的x 的值为1；
当222e a -<<-时，()f x 的最小值为
ln 222a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，相应的x 当22a e ≤-时，()f x 的最小值为2a e +，相应的x 的值为e . (3)不等式()()2f x a x ≤+可化为()2
ln 2a x x x x -≥-，
因为[]
1,x e ∈，所以ln 1x x ≤≤，且等号不能同时取， 所以ln x x <，即ln 0x x ->，
所以[]()221,ln x x
a x e x x -≥∈-， 令()[]()221,ln x x g x x e x x
-=∈-， 则()()()()
2
122ln 'ln x x x g x x x -+-=-， 当[]
1,x e ∈时，10x -≥，22ln 0x x +->， 从而()'0g x ≥(仅当1x =时取等号)，
所以()g x 在[]
1,e 上为增函数，所以()g x 的最小值为()11g =-， 所以实数a 的取值范围为(]
1,-+∞.
点睛：不等式的存在问题即为不等式的有解问题，常用的方法有两个：
一是，分离变量法，将变量和参数移到不等式的两边，要就函数的图像，找参数范围即可；
二是，含参讨论法，此法是一般方法，也是高考的热点问题，需要求导，讨论参数的范围，结合单调性处理.
21．（1）当 0x >时，求证：1
2ln x x x
-≥； （2）当0x >时，21
2ln x a x x
+
-≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）(],1-∞ 【解析】 【分析】
（1）根据不等式12ln x x x -≥的特征，分 1x =， 1x >，01x <<，构造1
()2n f x x l x x
=--，研究其单调性即可.
（2）将当0x >时，212ln x a x x +-≥恒成立，转化为0x >
时，2
2
ln a x ≥恒成立，当1x =时，显然成立，当0x >且1x ≠
时，转化为，2
a ≤⎝⎭
，利用（1）的结论求解. 【详解】
（1）当 1x =时，原不等式左边与右边相等， 当 1x >时，原不等式12ln x x x -≥，等价于1
2n x l x x
-≥， 令1
()2n f x x l x x
=-
-， 所以()2
2
22211221()10x x x f x x x x x
--+'=+-==>， 所以()f x 在()1,+∞上递增，()()10f x f >=， 所以1
2n x l x x
-
>， 当 01x <<时，原不等式12ln x x x -
≥，等价于1
2n x l x x
-≤， 令1
()2n f x x l x x
=-
-，
所以
()2
2
222
1
1221
()10
x
x x
f x
x x x x
-
-+
'=+-==>，
所以()
f x在()
0,1上递增，()
()10
f x f
<=，
所以
1
2n0
x l x
x
-<<，
综上：当0
x>时，
1
2ln
x x
x
-≥；
（2）因为当0
x>时，2
1
2ln
x a x
x
+-≥恒成立，
所以当0
x>时，
2
2
ln
x a x
x
⎛
-≥
⎪
⎭
恒成立，
当1
x=时，显然成立，
当0
x>且1
x≠时，
2
1
2ln
x
x
a
x
⎛⎫
-
⎪
≤ ⎪
⎪
⎪
⎝⎭
恒成立，
由（1）知当0
x>且1
x≠时，
1
2ln
x x
x
->，所以
2
1
1
2ln
x
x
x
⎛⎫
-
⎪
>
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
，
所以1
a≤.
实数a的取值范围是(],1
-∞.
【点睛】
本题主要考查导数于函数的单调性研究不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
22．如图所示，椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>，1A、2A，为椭圆C的左、右顶点．
()1设1F为椭圆C的左焦点，证明:当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时，
1
PF取得最小值与最大值．
()2若椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆C的标准方程．
()3若直线:l y kx m =+与()2中所述椭圆C 相交于A 、B 两点（A 、B 不是左、右顶点）
，且满足22AA BA ⊥，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】()1见解析；()222
143
x y +=；()3见解析，2(,0)7.
【解析】 【分析】
()1设点P 的坐标为(),x y ，令()2
f x PF =，由点P 在椭圆C 上，得22
221x y a b
+=，
则22
2
2
2b y b x a
=-，代入式子，利用二次函数的性质和x 的取值范围，求出函数的最值以及对应的x 的取
值，即可求证；
()2由已知与()1，得3a c +=，1a c -= ，解得2a =，1c =，再由222b a c =-求出b ，进而求出椭
圆的标准方程；
()3假设存在满足条件的直线，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程进行整理，化简出一
元二次方程，再利用韦达定理列出方程组，根据题意得221AA BA k k ⋅=-,代入列出关于m 的方程，进行化简求解. 【详解】
()1设点P 的坐标为(),x y ，令()()222f x PF x c y ==++．
由点P 在椭圆C 上，得22
221x y a b +=，
则22
2
2
2b y b x a
=-，代入()f x ，
得222
2
22
222()()2b c f x x c b x x cx a a a
=++-=++，
其对称轴方程为2
a x c =-，
由题意，知2
a a c -<-恒成立，
∴()f x 在区间[],a a -上单调递增．
当且仅当椭圆C 上的点P 在椭圆的左、右顶点时，PF 取得最小值与最大值．
()2由已知与()1，得3a c +=，1a c -= ，
∴2a =，1c =．∴2223b a c =-=．
∴椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=．
()3如图所示，设()11,A x y ，()22,B x y ，
联立22143y kx mn
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222
(34)84(3)1k x mkx m +++-=，
22226416(34)(3)0m x k m ∆=-+->
则()
12
22
1228344334mk x x k m x x k ⎧
+=-⎪+⎪
⎨-⎪=⎪+⎩
则1212()()y y kx m kx m =++
221212()k x x mk x x m =+++
222
3(4)
34m k k -=
+ Q 椭圆的右顶点为()22,0A ，22AA BA ⊥，221AA BA k k ⋅=-，
∴()()1212220x x y y --+=，
即()121212240y y x x x x +-++=．
222222
3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --∴+++=+++． ∴2271640m km k ++=，
解得12m k =-，227
k
m =-
，且均满足22340k m +->． 当2m k =-时，l 的方程为()2y k x =-直线过定点()2,0，与已知矛盾． 当27k
m =-
时，l 的方程为2()7
y k x =-直线过定点2(,0)7，满足题意， ∴直线l 过定点，定点坐标为2
(,0)7
．
【点睛】
本题考查椭圆的方程和简单几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了利用构造函数的方法处理最值问题，属于难题.。