最新沪教版(上海)六年级数学第二学期第六章一次方程(组)和一次不等式(组)重点解析试题(名师精选)

第六章一次方程（组）和一次不等式（组）重点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列各式：①1﹣x ：②4x +5>0；③x <3；④x 2+x ﹣1＝0，不等式有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2、英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物——纸草书，这是古代埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作，它于公元前1700年左右写成．这部书中，记载着这样一个数学问题：“一个数，它的全部，加上它的七分之一，其和等于19”．若设这个数是x ，则可以列一元一次方程表示为（ ）
A ．719x +=
B ．719x x +=
C ．1197x +=
D ．1917x x +=
3、若关于x 的一元一次方程
351923x m x m ---=的解，比关于x 的一元一次方程﹣2（3x ﹣4m ）＝1﹣5（x ﹣m ）的解大15，则m ＝（ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．﹣1
4、《孙子算经》记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”大致意思是：今有若干人乘车，若每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？有多少辆车？若设有x 人，有y 辆车，根据题意，所列方程组正确的是（ ）
A ．()229x x y x y ⎧-=⎨+=⎩
B ．()3229y x y x ⎧-=⎨+=⎩
C ．()3229x y y x ⎧-=⎨+=⎩
D ．()3229y x x y ⎧-=⎨+=⎩
5、文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖1200元，以成本计算，其中一台盈利20％，另一台亏本20％，则这次出售中商场（ ）．
A ．赚100元
B ．赔了100元
C ．不赚不赔
D ．无法确定
6、《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．若设共有x 人，该物品价值y 元，则根据题意可列方程组为（ ）
A ．8374x y x y -=⎧⎨+=⎩
B ．8374x y x y +=⎧⎨+=⎩
C ．8374x y x y +=⎧⎨-=⎩
D ．8374x y x y -=⎧⎨-=⎩
7、3388
Y X ⨯>，那么（ ） A ．X Y < B ．X Y > C ．X Y = D ．无法确定
8、《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x 钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ）
A ．3487x x -+=
B ．3487x x +-=
C ．4387x x -+=
D ．4387
x x +-=
9、若关于x 的方程3x ﹣a ＝﹣7+x 的解是x ＝﹣2，则a 的值是（ ）
A ．﹣3
B ．﹣2
C ．2
D ．3
10、我国古代名著《九章算术》中有一题：“今有凫起南海，七日至北海，雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是：野鸭从南海起飞到北海需要7天；大雁从北海飞到南海需要9天．野鸭和大雁同时分别从南海和北海出发，多少天相遇？设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过x 天相遇，可列方程为（ ）
A ．9x -7x =1
B ．9x +7x =1
C ．1
1x x 179+= D ．1
1x x 179
-= 第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、不等式353x x -<+的非负整数解有______．
2、植树期间，某志愿者小组植树，如果每个人植10棵，则还剩6棵；如每个人植12棵，则缺6棵，设该小组共有x 人植树，则可列方程为_________．
3、不等式组2012
x x x -≤⎧⎪⎨-<⎪⎩ 的解集是________． 4、若987a b c +=+=+，则222()()()a b b c c a -+---=__________．
5、三元一次方程：含有___未知数，并且含有未知数的项的___都是____，这样的方程叫做三元一次方程．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知一个长方体合金底面长为80，宽为40，高为60．
（1）现要锻压成新的长方体，其底面是边长为40的正方形，则新长方体的高为多少？
（2）若将长方体合金锻压成圆柱体，其底面是直径为80的圆，则新圆柱体合金的高为多少？（π取3）
2、解关于x 的方程：631524x x -=+
3、在数学课上，老师展示了下列向题，请同学们分组讨论解决的方法．
中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车．若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车．则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人？
某小组选择用一元一次方程解决问题，请补全他们的分析过程：
第一步，设共有x辆车；
第二步，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为（用含x的式子表示）；
第三步，由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”．可得人数为（用含x的式子表示）；
第四步，根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为．
4、2021年是中国历史上的超级航天年，渝飞航模专卖店看准商机，8月初推出了“天问一号”和“嫦娥五号”两款模型．每个“天问一号”模型的售价是90元，每个“嫦娥五号”模型的售价是100元．
（1）若8月份销售“天问一号”模型的数量比“嫦娥五号”模型数量多200个，销售两种模型的总销售额为56000元，求销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各是多少？
（2）该店决定从9月1日起推出“逐梦航天、仰望星空”优惠活动，9月份，每个“天问一号”模
型的售价与8月份相同，销量比8月份增加5
4
a%；每个“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降
价a%，销量比8月份增加3
2 a%．
①用含有a的代数式填表（不需化简）：
②据统计，该店在9月份的销售总额比8月份的销售总额增加13
14
a%，求a的值．
5、已知点P是图形M上的任意点，点Q是图形N上的任意点．
给出规定：如果P，Q两点的距离有最小值，那么我们称这个最小值为图形M—N的亲和距离；记作：d（图形M，图形N）．特别地，当P，Q两点重合时，d（图形M，图形N）＝0
举例说明：如图，数轴上的点A表示的数是1，点B，C表示的数分别是2与3，那么d（点A，线段BC）＝1
根据以上定义完成下列问题：数轴上的点D，点E表示的数分别是x，x＋1，点O为原点，
（1）当x＝1时，d（原点O，线段DE）＝；
（2）如果d（原点O，线段DE）＝3，那么x=；
-（3）数轴上的点F，点G表示的数分别是y，y＋4，如果d（线段DE，线段FG）＝2，直接写出x y 的值．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
主要依据不等式的定义：用“>”、“≥”、“<”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【详解】
解：根据不等式的定义可知，所有式子中是不等式的是②4x+5>0；③x<3，有2个．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了不等式的定义，用“>”、“≥”、“<”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系
的式子叫作不等式．
2、D
【分析】
设这个数是x ，根据“它的全部，加上它的七分之一，其和等于19”即可列出方程．
【详解】
解：设这个数是x ， 根据题意得：1917x x +=．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
3、A
【分析】 分别求出方程351923x m x m ---=的解为114137
m x +=，方程()()23415x m x m --=--的解为31x m =-，然后根据题意得到
1141331157m m +=-+，由此求解即可． 【详解】 解：351923
x m x m ---= 去分母得：()()3352114x m x m ---=，
去括号得：91522114x m x m --+=，
移项得：92114152x x m m -=+-，
合并得：711413x m =+，
系数化为1得：114137
m x +=； ()()23415x m x m --=--
去括号得：68155x m x m -+=-+，
移项得：65158x x m m -+=+-，
合并得：13x m -=-，
系数化为1得：31x m =-；
∵关于x 的一元一次方程351923
x m x m ---=的解，比关于x 的一元一次方程()()23415x m x m --=--的解大15， ∴
1141331157m m +=-+， ∴114132198m m +=+，
解得2m =，
故选A ．
【点睛】
本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法．
4、B
【分析】
根据“每3人乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．
【详解】
依题意，得：()3229y x
y x ⎨-+⎧⎩＝＝
故选：B
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5、B
【分析】
设盈利20%的电子琴的成本为x元，设亏本20%的电子琴的成本为y元，再根据(1+利润率)×成本=售价，列出方程，解方程计算出x、y的值，进而可得答案．
【详解】
设盈利20%的电子琴的成本为x元，根据题意得：
x(1+20%)=1200，
解得x=1000；
设亏本20%的电子琴的成本为y元，根据题意得：
y(1−20%)=1200，
解得y=1500；
∵1200×2−(1000+1500)=−100，
∴赔100元．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
6、A
【分析】
根据题意可得等量关系：人数×8−3＝物品价值；人数×7＋4＝物品价值，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】
解：设有x 人，物品价值y 元，由题意得：8374x y x y
-=⎧⎨+=⎩ 故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
7、D
【分析】 先两边除以38
，然后根据X 的范围分类讨论即可
【详解】 解：把不等式3388Y X ⨯>两边同时除以38， 得：1Y X
>， ∵当X >0时，Y >X ；
当X <0时，Y <X ；
∴无法判断X 、Y 的大小关系，
故选D ．
【点睛】
本题考查了不等式的性质的应用，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．
8、B
【分析】
设物价是x 钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案．
【详解】
解：设物价是x 钱，则根据可得：
3487
x x +-= 故选B ．
【点睛】
本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键．
9、D
【分析】
把x ＝﹣2，代入原方程，再解方程求出a 的值即可．
【详解】
解：把x ＝﹣2，代入原方程得，-6﹣a ＝﹣7-2，
解得，a ＝3，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解和解方程，解题关键是明确方程解的意义，代入后正确解方程．
10、C
【分析】
野鸭从南海起飞到北海需要7天；大雁从北海飞到南海需要9天．可得野鸭和大雁每天飞行南海到北海路程的17，19，设经过x 天相遇，根据野鸭的路程+大雁的路程=1列出方程即可．
【详解】
解：由题意可得，
17
x +1
9x ＝1， 故选：C ． 【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 二、填空题 1、0，1，2，3 【分析】
先求出不等式的解集，再根据非负整数的定义得到答案． 【详解】
解：353x x -<+， 2x <8，
x <4，
∴不等式353x x -<+的非负整数解有0，1，2，3， 故答案为：0，1，2，3． 【点睛】
此题考查了解不等式，求不等式的非负整数解，正确解不等式是解题的关键． 2、10+6126x x =- 【分析】
首先理解题意找出题中存在的等量关系：每人种10棵时的树的总数＝每人种12棵时的树的总数，根据此等式列方程即可． 【详解】
解：设该小组共有x 人种树，则每个人种10棵时的共有（10x ＋6）棵树；每个人种12棵时共有（12x −6）棵树，
根据等量关系列方程得：10x ＋6＝12x −6， 故答案为：10+6126x x =- 【点睛】
本题考查了列一元一次方程，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐藏，要注意仔细审题，耐心寻找． 3、－1＜x ≤2 【分析】
先求出每个一元一次不等式的解集，再求出它们公共部分的解集即可． 【详解】
解：2012
x x x -≤⎧⎪⎨-<⎪⎩①
②，
解①得：x ≤2， 解②得：x ＞－1，
∴该不等式组的解集为－1＜x ≤2， 故答案为：－1＜x ≤2． 【点睛】
本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法，正确得出公共部分的解集是解答的关键． 4、-2 【分析】
根据给出的等式，求出()()()a b b c c a ---、
、的值，代入计算即可． 【详解】
解：由98a b +=+得，1a b -=-；
由78c b +=+得，1b c -=-； 由97a c +=+得，2c a -=；
222222()()()(1)(1)22a b b c c a -+---=-+--=-；
故答案为：-2． 【点睛】
本题考查了等式的性质和有理数的计算，解题关键是根据等式的性质得出()()()a b b c c a ---、
、的值． 5、三个 次数 1 【分析】
由题意直接利用三元一次方程的定义进行填空即可. 【详解】
解：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程． 故答案为：三个，次数，1. 【点睛】
本题考查三元一次方程的定义，注意掌握含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程． 三、解答题 1、
（1）新长方体的高为120. （2）新圆柱体合金的高为40. 【分析】
（1）根据题意设新长方体的高为x ，利用合金的体积不变列方程，然后解一元一次方程即可； （2）根据题意设新圆柱体合金的高为y ，利用合金的体积不变列方程，然后解一元一次方程即可.
（1）
解：设新长方体的高为x ，
根据题意得：40×40•x =80×40×60， 解得:x =120．
答：新长方体的高为120． （2）
解：设新圆柱体合金的高为y ，
根据题意得：23(802)804060y ⨯÷⋅=⨯⨯， 解得：40y =.
答：新圆柱体合金的高为40. 【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，解题前首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x ，然后用含x 的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 2、x =-3 【分析】
根据题意先移项和合并同类项，进而化系数为1即可得解. 【详解】
解：631524x x -=+ 移项：6x -15x =24+3 合并同类项：-9x =27 化系数为1：x =-3 【点睛】
本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键. 3、()32x -，29x +，()3229x x -=+ 【分析】
根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可． 【详解】
解：某小组选择用一元一次方程解决问题，请补全他们的分析过程： 第一步，设共有x 辆车；
第二步，由“若每3人乘一辆车，则余2 辆空车”，可得人数为()32x -（用含x 的式子表示）； 第三步，由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得人数为29x +（用含x 的式子表示）； 第四步，根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为()3229x x -=+．
故答案为：()32x -，29x +，()3229x x -=+ 【点睛】
此题考查了根据题意列一元一次方程，弄清题意正确找出数量关系是解本题的关键． 4、
（1）销售天问一号模型和嫦娥五号模型的数量各是400个与200个
（2）①100(1- a %)；400（1+5
4a %）；200（1+32
a %）；②10
【分析】
（1）首先设销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各x 个，y 个，根据销售“天问一号”模型的数量比“嫦娥五号”模型数量多200个可列出方程200x y =+，由销售两种模型的总销售额为56000元可列出方程9010056000x y +=，把这两个方程组成一个二元一次方程组，解这个方程组即可得到本题答案；
（2）①由9月份，每个“天问一号”模型的售价与8月份相同，销量比8月份增加54
a %，可得9月份“天问一号”模型的销量为400（1+54
a %）个；“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价
a %，，销量比8月份增加32a %，可得“嫦娥五号”模型的销量为200（1+32
a %）个，可得“嫦娥五
号”模型的售价为100(1- a %)；②根据该店在9月份的销售总额比8月份的销售总额增加
13
14
a %，可得90×400（1+5
4a %）+100（1﹣a %）×200（1+32a %）＝（90×400+100×200）（1+1314
a %），计算即可
得出a 的值． （1）
解：设销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各x 个，y 个，根据题得：
2009010056000
x y x y =+⎧
⎨
+=⎩ 解得：
400
200
x y =⎧⎨
=⎩ 答：销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各是400个与200个。

（2）
解：①∵9月份，“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价a % ,“天问一号”模型的销量
比8月份增加5
4a %，“嫦娥五号”模型的销量比8月份增加32
a %，
∴9月份，“天问一号”模型的销量为400（1+5
4a %）个，“嫦娥五号”模型的销量为200（1+
32
a %）个．
故答案为：100(1- a %)；400（1+5
4a %）；200（1+32
a %）．
②依题意得：90×400（1+5
4a %）+100（1﹣a %）×200（1+32a %）＝（90×400+100×200）（1+
1314
a %），
整理得：3a 2﹣30a ＝0，解得：a 1＝10，a 2＝0（不合题意，舍去）． 答：a 的值为10． 【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用等知识． 5、 （1）1 （2）3或-4 （3）3-或6 【分析】
（1）根据当x =1时，点D 表示的数是1，点E 表示的数是x +1=2,点O 到线段DE 的最短距离为OD =1即可；
（2）根据d （原点O ，线段DE ）＝3，可得OD =3或OE =3，分类考虑当OD =3时，点D 在点O 的右侧，可得x -0=3，当OE =3时，点E 在点O 的左侧，0-（x +1）=3，解方程即可；
（3）线段DE 与FG 的位置有两种，DE 在FG 的左侧，或DE 在FG 的右侧，当DE 在FG 的左侧时，d （线段DE ，线段FG ）＝2，即EF =2，利用两点距离公式得出()12y x -+=，当DE 在FG 的右侧时，d （线段DE ，线段FG ）＝2，即GD =2，根据两点距离公式得出()42x y -+=即可． （1）
解：当x =1时，点D 表示的数是1，点E 表示的数是x +1=2, ∴点O 到线段DE 的最短距离为1，
d （原点O ，线段DE ）=1；
故答案为1； （2）
解：∵d （原点O ，线段DE ）＝3，
∴OD =3或OE =3
当OD =3时，x -0=3，x =3， 当OE =3时，0-（x +1）=3 ∴x =-4， 故答案为-4或3；
（3）
解：线段DE 与FG 的位置有两种，DE 在FG 的左侧，或DE 在FG 的右侧， 当DE 在FG 的左侧时，
∵d （线段DE ，线段FG ）＝2，即EF =2， ∴()12y x -+=， ∴3y x -=， ∴3x y -=-；
当DE 在FG 的右侧时，
∵d （线段DE ，线段FG ）＝2，即GD =2， ∴()42x y -+=， ∴6-=x y ，
∴d （线段DE ，线段FG ）＝2，x y -=-3或6．
【点睛】
本题考查新定义图形的距离，数轴上表示数，数轴上两点距离，一元一次方程的应用，分类思想的应用等，掌握相关知识是解题关键．。