应力和应变 强度理论-4

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§7－8 四种常用强度理论 －
(3) 弯曲时一般位置处的应力状态
σ1 =
σ
+ ( ) +τ 2 2
2
σ
2
σ2 = 0
σ
σ3 =
σ
− ( )2 + τ 2 2 2
σ τ σ
σ
σ r1 = σ 1
=
σ
+ ( )2 + τ 2 2 2
σ r 2 = σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 )
σb
nb
= [σ ]
脆性材料受压； 脆性材料受压；拉—压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合 压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合 缺点 对脆性材料受拉的计算与试验吻合不好。 对脆性材料受拉的计算与试验吻合不好。
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§7－8 四种常用强度理论 －
三、最大切应力（第三强度）理论： 最大切应力（第三强度）理论：
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例1 对于图示各单元体，试按第四强度理论比较两者的危险程度。 对于图示各单元体，试按第四强度理论比较两者的危险程度。 解 1. 分析 由于各向同性材料， 由于各向同性材料，正应力仅产生 线应变，剪应力仅产生剪应变。 线应变，剪应力仅产生剪应变。而 两种情况下的正应力和剪应力分 别 相等，因此， 相等，因此，其形状改变比能也相 故两种情况下的危险程度相等。 等，故两种情况下的危险程度相等。 (1)两种情况下的主应力为 2. 计算 (1)两种情况下的主应力为 状态(a) 状态
基本观点 不论是什么应力状态，只要最大切应力达到材料的某一极限， 不论是什么应力状态，只要最大切应力达到材料的某一极限， 材料就发生屈服。 材料就发生屈服。 σ σ1 − σ 3 σ s 失效准则 τ max = τ u = s τ max = = 2 2 2 强度条件 σ −σ ≤ σs = σ
1 3
脆性材料
按某种强度理论进行强度校核时， 要保证满足如下两个条件: 按某种强度理论进行强度校核时， 要保证满足如下两个条件: 所用强度理论与在这种应力状态下发生的破坏形式相对应。 1. 所用强度理论与在这种应力状态下发生的破坏形式相对应。 2. 用以确定许用应力 [σ] 的,也必须是相应于该破坏形式的极 σ] 限应力。 限应力。
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§7－8 四种常用强度理论 －
强度理论的统一表达式
σ r ≤ [σ ]
σ r 称为相当应力
σ r1 = σ 1
σ r 2 = σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 )
σ r3 = σ1 − σ 3
σ r4
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1 (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 = 2
1、伽利略播下了第一强度理论的种子； 、伽利略播下了第一强度理论的种子； 2、马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的 、马里奥特关于变形过大引起破坏的论述， 萌芽； 萌芽； 3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大切应力理论； 、杜奎特（ 提出了最大切应力理论； 提出了最大切应力理论 4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论，这是后来人们在他 、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论， 的书信出版后才知道的。 的书信出版后才知道的。
σ r1 = σ 1 = τ
σ r 2 = σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 ) = (1 + µ )τ
σ r 3 = σ 1 − σ 3 = 2τ
1 σ r4 = [(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ] 2 1 = [(τ − 0) 2 + (0 + τ ) 2 + (−τ − τ ) 2 ] = 3τ 2
σ1 = σ
状态(a) 状态
σ2 =τ
σ 3 = −τ
σ τ σ
σ τ σ
3. 第四强度理论计算应力
σ r 4 = σ + 3τ
2
2
(a)
(b)
状态(b) 状态
σ r 4 = σ 2 + 3τ 2
两种情况下的危险程度相等。 两种情况下的危险程度相等。
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§7－9 莫尔强度理论 －
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§7－8 四种常用强度理论 －
一、最大拉应力（第一强度）理论： 最大拉应力（第一强度）理论：
基本观点 不论是什么应力状态，只要最大拉应力达到材料的某一极限， 不论是什么应力状态，只要最大拉应力达到材料的某一极限， 材料就发生脆性断裂。 材料就发生脆性断裂。 失效准则 强度条件 适用对象
1 = [(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ] = σ 2
11
即：在单向拉伸应力状态下，各相当应力相同。 在单向拉伸应力状态下，各相当应力相同。
§7－8 四种常用强度理论 －
(2) 纯剪切 τ
σ1 = τ
σ 2 = 0 σ 3 = −τ
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Байду номын сангаас
注意
§7－8 四种常用强度理论 －
塑性材料（如低碳钢）在三向拉伸应力状态下呈脆断破坏， 塑性材料（如低碳钢）在三向拉伸应力状态下呈脆断破坏， 应选用第一强度理论。 应选用第一强度理论。 一钢质球体防入沸腾的热油中,将引起爆裂 试分析原因。 将引起爆裂， 例如 一钢质球体防入沸腾的热油中 将引起爆裂，试分析原因。 受力分析： 钢球入热油中， 膨胀， 受力分析： 钢球入热油中，其外部因骤热而迅速 膨胀，内 芯受拉且处于三向受拉应力状态，而发生脆断破坏。 芯受拉且处于三向受拉应力状态，而发生脆断破坏。 脆性材料（如大理石） 脆性材料（如大理石）在三向压缩应力状态下呈塑性屈服失效 状态，应选用第三、第四强度理论。 状态，应选用第三、第四强度理论。 深海海底的石块，尽管受到很大的静水压力,并不破坏， 例如 深海海底的石块，尽管受到很大的静水压力,并不破坏， 试分析原因。 试分析原因。 受力分析：石块处于三向受压状态。 受力分析：石块处于三向受压状态。
二、莫尔强度理论： 莫尔强度理论：
任意一点的应力圆若与极限曲线相接触，则材料即将屈服或剪断。 任意一点的应力圆若与极限曲线相接触，则材料即将屈服或剪断。 M
F N [σ c] O2
τα
L
1、破坏判据： 破坏判据： T
[σ t ] σ = σ σ1 − [ t] 3 [σ c ]
σ 1 [σt] σα
二、最大伸长线应变（第二强度）理论： 最大伸长线应变（第二强度）理论：
基本观点 不论是什么应力状态， 不论是什么应力状态，只要最大伸长线应变达到材料的某一极 材料就发生脆性断裂。 限，材料就发生脆性断裂。 1 σb σb ε 1 = [σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 )] = 失效准则 ε 1 = ε u = E E E 强度条件 σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 ) ≤ 适用对象
= (1 − µ )
σ
+ (1 + µ ) ( ) 2 + τ 2 2 2
σ
σ r 3 = σ 1 − σ 3 = σ 2 + 4τ 2
σ r4
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1 2 2 2 2 2 = [(σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) ] = σ + 3τ 2
适用对象
ns
[ ]
塑性材料的屈服破坏； 塑性材料的屈服破坏；能解释三向均压不发生塑性变形或断裂 缺点 偏于安全； 的影响。 偏于安全；没有考虑 σ2 的影响。
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§7－8 四种常用强度理论 －
四、畸变能密度（第四强度）理论： 畸变能密度（第四强度）理论：
基本观点 不论是什么应力状态，只要畸变能密度达到材料的某一极限， 不论是什么应力状态，只要畸变能密度达到材料的某一极限， 材料就发生屈服。 材料就发生屈服。
第七章 应力和应变分析 强度理论
§7-8 四种常用强度理论
§7-9 莫尔强度理论
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§7－8 四种常用强度理论 －
脆性断裂─最大拉应力理论、 脆性断裂 最大拉应力理论、最大伸长线应变理论 最大拉应力理论 材料破坏 屈服失效─最大切应力理论、 屈服失效 最大切应力理论、畸变能密度理论 最大切应力理论
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作业： 作业：
5.13，5.19 ，5.21 ， 下周二（ 月 号交 号交） 下周二（12月21号交）
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σ1 = σ b
σ1 ≤ σb
nb = [σ ]
相近。 脆性材料受拉； 脆性材料受拉；塑性材料受三向拉伸且 σ1 、 σ2 、 σ3 相近。 缺点 没有考虑 σ2 和 σ3 的影响，且无法应用于没有拉应力的情况。 的影响，且无法应用于没有拉应力的情况。 没有拉应力的情况
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§7－8 四种常用强度理论 －
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§7－8 四种常用强度理论 －
塑性材料 可进行偏保守（安全）设计。 第三强度理论 可进行偏保守（安全）设计。 可用于更精确设计， 第四强度理论 可用于更精确设计，要求对材 载荷计算较有把握。 料强 度指标 、载荷计算较有把握。 第一强度理论 第二强度理论 用于脆性材料的拉伸、扭转。 用于脆性材料的拉伸、扭转。 仅用于石料、混凝土等少数材料。 仅用于石料、混凝土等少数材料。
莫尔认为： 莫尔认为：最大切应力是使 材料破坏的主要因素， 材料破坏的主要因素，但滑 移面上的所产生的阻碍滑移 的内摩擦力也不可忽略（ 的内摩擦力也不可忽略（莫 尔摩擦定律）， ），其取决于剪 尔摩擦定律），其取决于剪 切面上的正应力σ 的大小， 切面上的正应力σs的大小， 综合最大切应力及最大正应 力的因素， 力的因素，莫尔得出了他自 己的强度理论。 己的强度理论。
σ
σ σ = + +τ 2 1 2 2
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§7－8 四种常用强度理论 －
σ τ σ
σ τ σ
(a)
(b)
2
σ2 = 0
σ3 =
σ
− +τ 2 2 2
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σ
2
§7－8 四种常用强度理论 －
状态(b) 设 σ>τ，则 状态(b) σ>τ，
[ ]
适用对象 对塑性材料，比第三强度理论更符合试验结果， 对塑性材料，比第三强度理论更符合试验结果，工程应用广泛 缺点 计算相当麻烦。 计算相当麻烦。
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§7－8 四种常用强度理论 －
第三强度理论和第四强度理论图形 在二向应力状态下，第三强度理论和第四强度理论的图形为 在二向应力状态下，
1 1+ µ 2 [(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ] = σ s [2σ s ] 失效准则 υd = 2 6E σ 1 强度条件 [(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ] ≤ s = σ 2 ns
阿托•莫尔 阿托 莫尔(O.Mohr),1835～1918 莫尔 ～
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§7－9 莫尔强度理论 －
一、概念： 、极限应力圆。 概念： 极限应力圆。 1
2、极限曲线：极限应力圆的包络线。 极限曲线：极限应力圆的包络线。 τ
σ
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极限应力圆
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§7－9 莫尔强度理论 －
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§7－8 四种常用强度理论 －
6 几种常见应力状态的相当应力 (1) 单向拉伸
σ1 = σ σ 2 = 0 σ 3 = 0
σ
σ
σ r1 = σ 1 = σ
σ r 2 = σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 ) = σ
σ r 3 = σ1 − σ 3 = σ
σ r4
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σ3
o
O1
O3
2、强度条件： 强度条件：
σ rM
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[σ L ] = σ1 − σ 3 ≤ [σ ] [σ y ]
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莫尔理论危险条件的推导
§7－9 莫尔强度理论 －
二、莫尔强度适用范围： 莫尔强度适用范围：
莫尔强度理论是以实验为基础，精确度很高。 莫尔强度理论是以实验为基础，精确度很高。 适用于破坏形式为屈服的构件； 适用于破坏形式为屈服的构件；抗拉和抗压压强度不等的处 于复杂应力状态的脆性材料的破坏（岩石、混凝土等）。 于复杂应力状态的脆性材料的破坏（岩石、混凝土等）。 但 为考虑中间主应力σ2的影响是其不足之处。 的影响是其不足之处。