解答数列求和问题的三个途径

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数列求和问题侧重于考查同学们的观察能力和运算能力.数列求和问题主要包括等比数列求和问题、等差数列求和问题以及非等差、等比数列求和问题.对于常规数列和非常规数列问题，我们需要分情况来对待，结合解题的需求选择与之相应的方法进行求解.笔者总结了三种常见的求数列和方法，以供大家参考.
一、采用公式法
公式法主要用于求常规的等差、等比数列的和.当遇到等差数列时，我们可以直接利用等差数列的前n
项和公式S n =na 1+n ()n -1d
2或者S n =n ()a 1+a n 2
进行
求解.对于等比数列，一般用等比数列的前n 项和公式
S n =ìíîï
ï
a 1()1-q n 1-q ()q ≠1,na 1()q =1,
来求和.只要根据题意求得数列
的首项、公差、公比或第n 项，便可以利用等差、等比数列的通项公式进行求解.
例1.已知等差数列{a n }为递增数列，其前3项的和为-3，前3项的积为8.求数列{a n }的前n 项和S n .
解：设等差数列{}a n 的公差为d ,d >0，∵等差数列{}a n 的前3项的和为-3，前3项的积为8，
∴ìíî3a 1+3d =-3,a 1(a 1+d )(a 1+2d )=8,∴ìíîa 1=2,d =-3,或
a 1=-4,d =3.
∵d >0，
∴a 1＝－4，d ＝3，∴a n ＝3n －7，∴S n ＝n (-4+3n -7)2＝
n (3n -11)
2
.解答本题，需先根据题意和等差数列的通项公式建立方程组，求得首项a 1和公差d ，然后根据等差数列的前n 项和公式求得结果.
二、裂项相消
裂项相消法是指将一个数列的各个项拆分成为两项的差，通过前后项相互抵消，求得数列的和的方法.对
于形如()-1n 4n
()2n -1()2n +1或1()
n +1n +n n +1的
前n 项和问题，我们一般采用裂项相消法来求解.
例2.求数列221×3，42
3×5，625×7
，⋯，
()
2n 2
()2n -1×()
2n +1的前n 项和.
解：
S n =221×3+423×5+625×7+⋯+()2n 2
()2n -1×()
2n +1=1+12æèöø1-13+1+12æèöø13-15+⋯+1+12(
12n -1
-)
12n +1
=n +12éëêùû
úæèöø1-13+æèöø13-15+⋯+æèöø12n -1-12n +1=n +12æèöø1-12n +1=
2n ()
n +12n +1.观察这个数列可以发现，这个数列的分子是偶数的平方，而分母是两个相邻奇数的乘积，可将数列中的每一项裂为两项之差的形式，在求和时前后项相互抵消，便可快速得到结果.
三、并项求和
当遇到形如a n =()-1n
∙f ()n 类型的数列求和问题时，可使用并项求和法来求解.并项求和法是将一个数列中具有相同特征的项组合在一起进行求和的方法.在运用并项求和法求和时，需先观察数列中各项的特征，将其合理分为几个常规的数列，然后运用等差、等比数列的前n 项求和公式进行求解.
例3.求数列-1,4,-7,10,⋯，()-1n
()3n -2的前n 项和.
解：设数列的前n 项和为S n ，那么S n =-1+4-7
+⋯+()-1n
()3n -2.
当n =2k ，k ∈Z 时，
S n =()-1+4+()-7+10+⋯+{}
-[]3()n -1-2+3n -2
=3+3+⋯+3=32
n .
当n =2k +1，k ∈Z 时，
S n =-1+()4-7+()10-13+⋯+()-1n
()
3n -2=-1-3-3-⋯-3=-1-32
n .
因此数列的前n 项和为S n =ìíîïï32
n ，n 为偶数，-3
2
n -1，n 为奇数.通过观察可发现数列的相邻两项之和是一个定值，于是运用并项求和法来解题.采用并项求和法解题的本质是将数列中某些有共同特征的项合在一起，从而使运算更加简便.
解答数列求和问题的方法还有很多，如错位相减法、倒序求和法、分段求和法等.在解题时，我们需要根据数列的特点合理选择求和方法，尤其在遇到非等差、等比数列的求和问题时，要将数列的通项、各项进行合理转化，如通过裂项、合并等方式，来简化运算，以顺利求得数列的和.
赵秀华
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