第2节 两直线的位置关系山东新高考数学一轮复习资料

第2节 两直线的位置关系
1． A
2． B
3． D
4． C
5． D
6． B
7． ABCD
[解析] 当a =2时，重合；当a =-1时，平行；当23
a =
时，垂直；当a 不等于以上值时，相交，故选ABCD ．
8． BC
[解析] 两条直线的对称轴有两条且互相垂直，故选BC ．
或由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x －2y －1＝0，得交点(1，0)，不在2x ＋y ＋1＝0，所以排除A ． 再在l 1上选择一个点关于x ＋2y －1＝0对称对称后不在l 2上即可．
9． 3x ＋y ＝0
[解析] 联立2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0，得交点P (1，－3)．设过点P 且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为3x ＋y ＋m ＝0．把点P 代入即可得m ＝0．
10． (1，3)
[解析] 直线l 1：3x －3y ＋23＝0，直线l 2：3x ＋y －23＝0，联立方程组可求得x ＝1，y ＝3．
11． 4
[解析] 因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0．
欲求m 2＋n 2的最小值可先求（m －0）2＋（n －0）2的最小值，而（m －0）2＋（n －0）2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小为2．所以m 2＋n 2的最
小值为4．
12． (5，6)
[解析] 易知A (4，－1)，B (3，4)在直线l ：2x －y －4＝0的两侧．作A 关于直线l 的对称点A 1(0，1)，当A 1，B ，P 共线时距离之差最大．
13． 2
[解析] 因为ax y ae '=，所以在点(01)，处的切线斜率为k a =，又与直线210x y ++=垂直，所以112
a -=-，2a =． 14． －6或－2
[解析] 注意到可将式子y －3x －2
＝3变形为3x －y －3＝0，则M ∩N ＝Ø意味着直线3x －y －3＝0(去掉点(2，3))与直线ax ＋2y ＋a ＝0无公共点．若两直线平行，则3a ＝－12≠－3a
，即a ＝－6；若直线ax ＋2y ＋a ＝0恰过点(2，3)，则a ＝－2，故a 的值为－6或－2
15． D
[解析] 分别以AB 、AC 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，
则A (0，0)，B (4，0)，C (0，4)，得△ABC 的重心D 44()33
，， 设AP ＝x ，从而P (x ，0)，x ∈(0，4)，
由光的几何性质可知点P 关于直线BC 、AC 的对称点P 1(4，4－x )、P 2(－x ，0)与△ABC
的重心D 44()33，共线，所以43
43＋x ＝43－（4－x ）43
－4，求得x ＝43．故选D ． 16． （1）280x y +-=；（2）6．
[解析] （1）由27060x y x y -+=⎧⎨-+=⎩解得15x y =-⎧⎨=⎩，即(1,5)A -， 又(1,6)M ，所以6511(1)2
AM k -==--， 因为AM 为BC 边上的高，所以2BC k =-，
(1,6)M 为BC 边上一点，所以:BC l 62(1)y x -=--，
所以直线BC 的方程为280x y +-=．
（2）法一：设点B 的坐标为(,)a b ，由(1,6)M 为BC 的中点，得点C 的坐标为(2,12)a b --，
又点B 与点C 分别在直线AB 和AC 上，
所以270(2)(12)60a b a b -+=⎧⎨---+=⎩，解得31a b =-⎧⎨=⎩， 所以点B 的坐标为(3,1)-， 由（1）得(1,5)A -，又(1,6)M ， 所以直线AM 的方程为2110x y -+=，
所以点B 到直线AM 的距离d ==，
又AM ==
所以11322BAM S d AM ===△， 又M 为BC 的中点
所以2236ABC BAM S S ==⨯=△△．
法二：（上同法一）
点B 的坐标为(3,1)-， 又(1,6)M 为BC 上一点， 所以直线BC 的方程为54190x y -+=． 由（1）知(1,5)A -，所以点A 到直线BC 的距离
d ==， 又C 的坐标为(5,11)，
所以BC =
所以11622ABC S d BC ===△． 法三：若直线BC 的斜率不存在，即BC 的方程为10x -=，
由27010x y x -+=⎧⎨-=⎩解得19x y =⎧⎨=⎩
， 即B 的坐标为(1,9)，同理可得C 的坐标为(1,7)， 而7962
+≠， M 不是BC 的中点，所以直线BC 的斜率存在． 设直线BC 的方程为6(1)y k x -=-
由2706(1)x y y k x -+=⎧⎨-=-⎩解得129122k x k k y k +⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
，即B 的坐标为1912(,)22k k k k +--- 同理可得C 的坐标为76(,)11
k k k k ---，(1,6)M 为BC 的中点 所以1212191276262
1k k k k k k k k +⎧+=⨯⎪⎪--⎨--⎪+=⨯⎪--⎩解得54k =， 所以直线BC 的方程为56(1)4
y x -=-，即为54190x y -+=． （下同法二） 法四：求BAC ∠正弦值及AB ，AC 长用面积公式（略）．。