北京市九年级数学中考特色试题新题型整理含答案解析

北京九年级特色试题二
1．（2020密云期末）如图，矩形ABCD 是由三个全等矩形拼成的，AC 与DE 、EF 、FG 、HG 、HB 分别交于点P 、Q 、K 、M 、N ，设△EPQ 、△GKM 、△BNC 的面积依次为S 1、S 2、S 3．若S 1+S 3=30，则S 2的值为（ ）． A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 1．答案：D 2．（2020密云期末）已知：△BAC ． （1）如图，在平面内任取一点O ；
（2）以点O 为圆心，OA 为半径作圆，交射线AB 于点D ，交射线AC 于点E ； （3）连接DE ，过点O 作线段DE 的垂线交△O 于点P ； （4）连接AP ，DP 和PE ．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：
① △ADE 是△O 的内接三角形； △ AD=DP=PE ； △ DE=2PE ； △ AP 平分△BAC ． 所有正确结论的序号是 ． 2．答案：△△．
3．（2020密云期末）在平面直角坐标系中，直线 y = x 与反比例函数(0)k
y x x
=>的图象交
于点A （2，m ）.
（1）求m 和k 的值；
（2）点P （x P ，y P ）是函数(0)k
y x x
=>图象上的任意一点，过点P 作平行于x 轴的直线，
交直线y=x 于点B.
△ 当y P = 4时，求线段BP 的长；
△ 当3BP ≥时，结合函数图象，直接写出点P 的纵坐标y P 的取值范围．
3．（1）解：m=2，k=4 （2）△解：当y P = 4时 点P 和点B 的纵坐标都为4
△ 将y=4分别代入到
和y=x ， △P （1,4），B （4,4）
△BP=3
4
y x =
x y 112345–1–2–3–4–52345–1–2–34o
△ y P ≥4或0<y P ≤1 4．（2020密云期末）如图，点E 是矩形ABCD 对角线AC 上的一个动点（点E 可以与点A 和点C 重合），连
接BE ．已知AB=3cm ，BC=4cm ．设A 、E 两点间的距离为xcm ，BE 的长度为ycm ．
某同学根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行探究． 下面是该同学的探究过程，请补充完整：
1x y (cm)x 0 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5 (cm)y 2.53 2.42 2.41 2.68 2.94 3.26
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数．．．．．．
）（2）建立平面直角坐标系，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图 象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BE=2AE 时，
AE 的长度约为 cm ． （结果保留一位小数．．．．．．．．） 4．解：（1）2.5；
（2）画图象
（3）1.2（1.1—1.3均可
3.00
4.00y
x
123
44
5
3
2
1
O
5. （2020密云期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
258y ax ax a =-++(0a ≠)． （1）写出抛物线顶点的纵坐标 (用含a 的代数式表示)；
（2）若该抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 和点B ，且点A 在点B 的左侧，AB=4． △ 求a 的值；
△ 记二次函数图象在点 A ，B 之间的部分为W(含 点A 和点B)，若直线 y kx b =+ (0k ≠)经过（1，-1），且与 图形W 有公共点，结合函数图象，求 b 的取值范围．
5．（1）4a+8 △解：△抛物线的对称轴是x=1 又△ 抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 和点B ，AB=4
△ 点A 和点B 各距离对称轴2个单位
△ 点A 在点B 的左侧 △A （-1,0），B （3，0） △将B （3，0）代入2
258y ax ax a =-++ △9a-6a+5a+8=0
a=-1
△当 y kx b =+(0k ≠)经过（1，-1）和A （-1,0）时
， 当 y kx b =+(0k ≠)经过（1，-1）和B （3，0）时
， △
6.（2020密云期末）已知：在Rt△ABC 中，△BAC=90°，AB=AC ，点D 为BC 边中点．点M 为线段B C 上的一个动点（不与点C ，点D 重合），连接AM ，将线段AM 绕点M 顺时针
旋转90°，得到线段ME ，连接E C ． （1）如图1，若点M 在线段BD 上． △ 依据题意补全图1；
△ 求△MCE 的度数．
（2）如图2，若点M 在线段CD 上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC 、CE 、CM 之间的数量关系 ．
10k b k b +=-⎧⎨-+=⎩
12b =-130k b k b +=-⎧⎨+=⎩32b =-1322b b ≥-≤-
或x y
112
3
45
–1
–2
–3–4–52345–1–2–3–4–5o
6 . (1) △
补全图1：
△ 解：过点M 作BC 边的垂线交CA 延长线于点F △ △FMC =90°
△ △FMA+△AMC=90°
△将线段AM 绕点M 顺时针旋转90°，得到线段ME
△△AME=90°
△ △CME+△AMC=90° △△FMA= △CME 在Rt△FMC 中,△FCM=45° △△F=△FCM=45°
△FM=MC 在△FMA 和△CME 中
△
△ △MCE=△=45°
（2）2AC CE CM -=
7．（2020密云期末）
在平面直角坐标系xOy 中，△O 的半径为r （r ＞0）．给出如下定义：若平面上一点P 到圆心O 的距离d ，满足
13
22
r d r ≤≤，则称点P 为△O 的“随心点”． FM MC FMA CME AM ME =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
FAM CME ∆≅∆图1
图2
D C A B M F D C
A B M F
E
A
（1）当△O 的半径r=2时，A （3，0），B （0，4），C （32-
，2），D （12，1
2
-）中，△O 的“随心点”是 ；
（2）若点E （4，3）是△O 的“随心点”，求△O 的半径r 的取值范围；
（3）当△O 的半径r=2时，直线y=- x+b （b≠0）与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在△O 的“随心点”，直接写出b 的取值范围 ．
备用图 7．(1) A,C
（2）△点E （4，3）是△O 的“随心点” △OE=5，即d=5 若，
△r=10
若 ，
△
(3)
8．（2020平谷期末）我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值” ．若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，则这个等腰三角形底角的余弦值等于 ．
125
r =352r =103r =
10
3
10
r ≤≤321132b b -≤≤-≤≤或-1-2-3-4-1-2-3-4O 12344321x y -1-2-3-4-1-2-3-4O 1234432
1
x y
8．1455或
．
9．（2020平谷期末）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，曲线()0k
y x x
=>经过点A ．
（1）求曲线()0k
y x x
=
>的表达式； （2）直线y=ax+3(a≠0)与曲线()0k
y x x
=>围成的封闭区域为
图象G ．
①当1a =-时，直接写出图象G 上的整数点个数是 ；（注：横，纵坐标均为整数的点称为整点，图象G 包含边界．）
△当图象G 内只有3个整数点时，直接写出a 的取值范围．
9．解：（1）△A （1,1），
△k=1． ······························· 1 ∴()1
0y x x
=
>． ·
················ 2 （2）①3； ·································· 3 △2
13
a -≤<-． (5)
10．（2020平谷期末）如图，点P 是»
AB 上一动点，连接AP ，作△APC=45°，交弦AB 于点C ．AB=6cm ．
小元根据学习函数的经验，分别对线段AP ，PC ，AC 的长度进行了测量． 下面是小元的探究过程，请补充完整：
（1）下表是点P 是»
AB 上的不同位置，画图、测量，得到线段AP ，PC ，AC 长度的几组值，
△的值是 （保留一位小数）△在AP ，PC ，AC 的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度
和 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当△ACP为等腰三角形时，AP的长度约为cm（保留一位小数）．
10．解：（1）①3.0；
②AP的长度是自变量，PC的长度和AC的长度都是这个自变量的函数；（答
案不唯一）
（2）如图（答案不唯一，和（1）问相对应）；
（3）2.3或4.2
11．（2020平谷期末）如图，△ABC内接于△O，AB是△O的直径，过点A作AD平分△BAC，交△O于点D，过点D作DE△BC交AC的延长线于点E．
（1）依据题意，补全图形（尺规作图，保留痕迹）；
（2）判断并证明：直线DE与⊙O的位置关系；
（3）若AB=10，BC=8，求CE的长．
11．（1）如图． (1)
（2）判断：直线DE 是⊙O 的切线． ................................................................ 2 证明：连结OD ，交BC 于F ． ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD=∠CAD ． (3)
∴»»CD
BD ． ∴OD ⊥BC 于F ． ∵DE ∥BC ，
∴OD ⊥DE 于D ．
∴直线DE 是⊙O 的切线． ·············································································· 4 （3）∵AB 是△O 的直径， ∴∠ACB=90°． ∵AB=10，BC=8， △AC=6． ····························································································· 5 ∵∠BOF=∠ACB=90°， ∴OD ∥AC ．
∵O 是AB 中点，
∴OF=
1
2AC =3． ∵OD=1
2
AB =5，
∴DF=2．
∵DE ∥BC ，OD ∥AC ， ∴四边形CFDE 是平行四边形． ∵∠ODE=90°，
∴平行四边形CFDE 是矩形． ∴CE=DF=2． ······························································································· 12．（2020平谷期末） 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2
230y ax
ax a =--?与y 轴交于点A ．
（1）直接写出点A 的坐标；
（2）点A 、B 关于对称轴对称，求点B 的坐标；
A
A
（3）已知点(4,0)P ，1
(,0)Q a
-．若抛物线与线段PQ 恰有两个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．
12．解：（1）()0,3-； ·················································································· 1 （2）△212b a
x a a
-=-
=-=； △()2,3B -． ············································································ 2 （3）当抛物线过点P （4,0）时，3
8
a =， ················································ 3 △8,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭
．
此时，抛物线与线段PQ 有两个公共点． 当抛物线过点1
(,0)Q a
-
时，a=1， 此时，抛物线与线段PQ 有两个公共点． △抛物线与线段PQ 恰有两个公共点， △
3
18
a ≤≤． 当抛物线开口向下时，3a <-． 综上所述，当
3
18
a ≤≤或3a <-时，抛物线与线段PQ 恰有两个公共点． 13．（2020平谷期末）在平面直角坐标系xOy 中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半时，称这个三角形叫“和谐三角形”，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离”． （1）已知A （2,0），B （0,4），C （1,2），D （4,1），这个点中，能与点O 组成“和谐三角形”的点是 ，“和谐距离”是 ；
（2）连接BD ，点M ，N 是BD 上任意两个动点（点M ，N 不重合），点E 是平面内任意一点，△EMN 是以MN 为“和谐边”的“和谐三角形”，求点E 的横坐标t 的取值范围；
（3）已知△O 的半径为2，点P 是△O 上的一动点，点Q 是平面内任意一点，△OPQ 是“和谐三角形”，且“和谐距离”是2，请描述出点Q 所在位置．
13．解：（1）A,B （2）19
22
t -
≤≤； （3）点Q 在以点O 为圆心，4为半径的圆上；
或在以点O 为圆心，
14．（2020石景山期末）
《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中
国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题： “今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”
其意思是：“如右图，今有直角三角形，勾（短直角边）长 为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能 容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？” 根据题意，该内切圆的直径．．为 步.
14．6 1 5．（2020石景山期末）
如图，曲线AB 是抛物线2481y x x =-++的一部分（其中A 是抛物线与y 轴的交 点，B 是顶点），曲线BC 是双曲线(0)k
y k x
=
≠的一部分．曲线AB 与BC 组成图形W ．
由点C 开始不断重复图形W 形成一组“波浪线”．若点(2020,)P m ，(,)Q x n 在该“波浪线”上，
则m 的值为 ， n 的最大值为 ．
15．1；5 16．（2020石景山期末）在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)m
y x x
=
>的图象G 经过点(3,2)A ， 直线:1(0)l y kx k =-≠与y 轴交于点B ，与图象G 交于点C ． （1）求m 的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点A ，C 之间的部分与线 段BA ，BC 围成的区域（不含边界）为W ．
△当直线l 过点(2,0)时，直接写出区域W 内的整点个数； △若区域W 内的整点不少于．．．4个，结合函数图
象，求k 的取值范围． 16．解：（1）△函数(0)m
y x x
=
>的图象G 经过点(3,2)A ，
△6m =． （2）△ 1；
△△直线:1(0)l y kx k =-≠与y 轴交于点B ，
△点B 的坐标为(0,1)-，如图． （△）当直线1l 在BA 下方时， 若点(5,1)在直线1l 上，
O
D
x
y ...
O
...
C B
A 5
x
y
7
312
34
56
-1-1
654721
l 2
l 1
C 2
C 1
B
A
O
则511k -=，解得25k =． 结合图象，可得2
05
k <<．
（△）当直线2l 在BA 上方时， 若点(1,3)在直线2l 上， 则13k -=，解得4k =． 结合图象，可得4k >．
综上所述，k 的取值范围是2
05
k <<或4k >． ………………… 5分 17．（2020石景山期末）
如图，C 是¼
AmB 上的一定点，D 是弦AB 上的一定点，P 是弦CB 上的一动点，连 接DP ，将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PD '，射线PD '与¼
AmB 交于 点Q ．已知6cm BC =，设P ，C 两点间的距离为cm x ，P ，D 两点间的距离为
1cm y ，
P ，Q 两点间的距离为2cm y ．
小石根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行
了探究，下面是小石的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几
（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数据所对应的点1(,)x y ， 2(,)x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：连接DQ ，当△DPQ 为等腰三角形时，PC 的长度 约为 cm ．（结果保留一位小数）
17．解：本题答案不唯一，如： （1）2.44； （2）
（3）1.3或5.7． 18．（2020石景山期末）
在ABC △中，D 是边BC 上一点，以点A 为圆心，AD 长为半径作弧，如果与边BC
有交点E （不与点D 重合），那么称»DE 为ABC △的A -外截弧． 例如，右图中»DE
是ABC △的一条A -外截弧．
在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △存在A -外截弧，其中点A 的坐标为(5,0)， 点B 与坐标原点O 重合．
（1）在点1(0,2)C ，2(5,3)C -，3(6,4)C ，4(4,2)C 中，满足条件的点C 是 ； （2）若点C 在直线2y x =-上，
△求点C 的纵坐标的取值范围；
△直接写出ABC △的A -外截弧所在圆的半径r 的取值范围．
18．解：（1）2C ，3C ；
（2）△△点C 在直线2y x =-上， 设点C 的坐标为(,2)m m -．
当90BCA ∠=°时，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，如图．
E
D C
B
A
C B
A
△CDB △△ADC △． △2CD BD AD =⋅． △2(2)(5)m m m -=⋅-．
解得14m =，212m =
． △(4,2)C 或13
(,)22
C'-．
又△直线2y x =-与y 轴交于点(0,2)-，
结合图形，可得点C 的纵坐标的取值范围是3
22
C y -<<-或2C y >． △55r <≤．
19．（2020顺义期末）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在抛物线2
46y x x =-+上运动，过点A 作AC△x 轴于点C ，以AC 为对角线作正方形ABCD ．则正方形的边长A B 的最小值是 ．
19．2；
20《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是 步？” 20．6 ．
21．（2020顺义期末）如图，A 是»
BC 上一动点，D 是弦BC 上一定点，连接AB ，AC ，AD ．设
x
y
'
B D
C C A –1123456
–1–2–3
1
23
线段AB的长是xcm，线段AC的长是y1cm，线段AD的长是y2cm．
小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化的关系进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点A在»BC上的不同位置，画图、测量，得到了y1，y2的长度与x的几组值：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8
x/cm
0.00 0.99 2.01 3.46 4.98 5.84 7.07 8.00
y1/cm
8.00 7.46 6.81 5.69 4.26 3.29 1.62 0.00
y2/cm
2.50 2.08 1.88 2.15 2.99
3.61
4.62 m
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后表中各组数据所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
当AC=AD时，AB的长度约为______cm；
当AC=2AD时，AB的长度约为______cm．
21．解：（1）表中的m值是 5.5 ；
（2）
（3）结合函数图象，解决问题：
当AC=AD 时，AB 的长度约为 5.7 cm ； 当AC=2AD 时，AB 的长度约为 4.2 cm ．
22. （2020顺义期末）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0，2)，正方形OABC 的顶点B 在函数x k y =
(k ≠ 0，x<0) 的图象上，直线l ：y x b =-+与函数x
k y =(k ≠ 0，x<0) 的图象交于点D ，与x 轴交于点E ．
（1）求k 的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
△当一次函数y x b =-+的图象经过点A 时，直接写出△DCE 内的整点的
坐标；
△
22．解：（1）依题意知：B （-2，2）． △反比例函数解析式为4
y x
-=
． △k 的值为-4．
（2）△△DCE 内的整点的坐标为 （-1，1），（-1，2）， （0，1） ； △ 当b=2时，△DCE 内有3个整点，当b=3时，△DCE 内有6个整点， △b 的取值范围是2＜b≤3．
23．（2020顺义期末）
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =1
m x 2+nx −m 与y 轴交于点A ，将点A 向左平移3个
单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含m的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点P(-1,-m)，Q(-3,1)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．
23．解：（1）依题意得：A（0，-m）．………………………………………………… 1分△B（-3，-m）．………………………………………………………… 2分
（2）△点A，B关于抛物线的对称轴对称，
△抛物线的对称轴为x＝3
2
；
（3）当m＞0时，点A（0，-m）在y轴负半轴，
此时，点P，Q位于抛物线内部（如图1）．
所以，抛物线与线段PQ无交点．
……………………… 5分
当m＜0时，点A（0，-m）在y轴正半轴，
当AQ与x轴平行，即A（0，1）时（如图2），
抛物线与线段PQ恰有一个交点Q（-3，1）．
分
24．（2020顺义期末）
已知：如图，在正方形ABCD中，点E在AD边上运动，从点A出发向点D运动，到达D 点停止运动．作射线CE，并将射线CE绕着点C逆时针旋转45°，旋转后的射线与AB边交于点F，连接EF.
（1）依题意补全图形；
（2）猜想线段DE，EF，BF的数量关系并证明；
（3）过点C作CG△EF，垂足为点G，若正方形ABCD的边长是4，请直接写出点G运动的路线长．
F B C D E A H
F B
C
D E
A
（备用图）
24．解：（1）补全图形如图1． …………………………………………… 1分
图1 图2
（2）线段DE ，EF ，BF 的数量关系是 EF=DE+BF ．……… 2分 证明：延长AD 到点H ，使DH=BF ，连接CH （如图2）． 易证△CDH△△CBF ． △CH= CF ，△DCH=△BCF ． △△ECF=45°，
△△ECH=△ECD+△DCH= △ECD +△BCF =45°． △△ECH=△ECF=45°． 又△CE= CE ， △△ECH△△ECF ． △EH= EF ．
△EF=DE+BF ． …………………………………………… 6分
（3）点G 运动的路线长为 2π ． ……………………… 7分
C
B
C
B
图2
0)
25．（2020顺义期末）
在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点P1关于x 轴对称，点P1和点P2关于直线l 对称，则称点P2是点P 关于x 轴，直线l 的二次对称点．例如：点Q （0，1）关于x 轴，直线x=1的二次对称点是Q′（2，-1）． （1）如图1，点A(0，-1)．
①若点B 是点A 关于x 轴，直线l 1：x=2的二次对称点，则点B 的坐标为 ； ②点C (-4，1)是点A 关于x 轴，直线l 2：x=a 的二次对称点，则a 的值为 ；
③点D(-1，0)是点A 关于x 轴，直线l 3的二次对称点，则直线l3的表达式为 ；
（2）如图2，⨀O 的半径为2．若⨀O 上存在点M ，使得点M′是点M 关于x 轴，直线l 4：x = b 的二次对称点，且点M′在射线x y 3=
(x≥0)上，求b 的取值范围；
（3）E(△,t)是y 轴上的动点，⨀E 的半径为2，若⨀E 上存在点N ，使得点N′是点N 关于x 轴，直线l5:x y 3
3
=
的二次对称点，且点N′在x 轴上，求t 的取值范围．
图1 图2
25．解：（1）△ 点B 的坐标为 （4，1） ；………………………………… 1分 △ a 的值为 -2 ； ………………………………… 2分 △直线l3的表达式为 y =- x ； …………………………… 3分
（2）如图2，设△O 与x 轴的两个交点为1M （-2，0），3M （2
，0）， 与射线x y 3=
(x≥0)的交点为4M ，则4M 的坐标为（1．
4M 关于x 轴的对称点为2M ． 当点M 在1M 的位置时，b=-1， 当点M 在2M 的位置时，b=1， 当点M 在3M 的位置时，b=1，
图4
0)
图
3
0)
0)
当点M
在劣弧12M M 上时（如图3），-1≤b≤1，
当点M 在劣弧23M M 上时（如图4），b 的值比1大，当到劣弧23M M 的中点时，达到最大值（如图5）
综上，b 的取值范围是………………………………… 5分
（3）∵x 轴和直线x y 3=关于直线x y 3
3
=
对称，
直线x y 3=和直线y =关于x 轴对称，
△△E 只要与直线x y 3=和y =
∴t 的取值范围是：-4≤t≤4. ……………………………………… 7分
26．（2020通州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点M(4，3)为圆心画圆，与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，D 两点．当6＜CD ＜8时，sin ∠MAB 的取值范围是 ．
26. 3
8
<sin△MAB<
3
5
27. （2020通州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（-2，2），B（4，4）。

（1）尺规作图：求作过A、B、O三点的圆；
（2）设过A、B、O三点的圆的圆心为M，利用网格，求点M的坐标；
（3）若直线x=a与△M相交，直接写出a的取值范围。

27．答案：（1）画图准确
（2）OA的垂直平分线为y=x+2，OB的垂直平分线为y=-x+4，交点为M（1，3）
（3
）1
1
24. （2020通州期末）已知：点A（-1，4）和P是一次函数y=kx+b与反比例函数
m
y
x
=图
象的两个不同交点，点P关于y轴的对称点为P’，直线AP以及AP’分别与x轴交与点M 和点N。

（1）求反比例函数
m
y
x
=的表达式；
（2）若PP’≥3
2
MN，求k的取值范围。

24：（1）
4 y
x =
（2）过点A作AC△PP’于点C，交x轴于点B
（3）如图1，△MN//PP’，AC△MN，△△AMN△△APP’，△
2
'3
AB MN
AC PP
==，得P（2，2）直
线AP表达式为y=2x-2，当PP’≥3
2
MN时，k≥2，如图2，当PP’≥
3
2
MN时，k≤-10
25．（2020通州期末）如图，在钝角△ABC 中，点P 为BC 上一个动点，连接PA ．将射线PA 绕点P 逆时针旋转60°，交线段AB 于点D ．已知△C ＝30°，CA ＝
，BC ＝7cm ，设B ，P 两点间的距离为x cm ，A ，D 两点间的距离为y cm ．
小牧根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小牧探究的过程，请补充完整：
（1）根据图形，可以判断此函数自变量x 的取值范围是 ； （2）通过取点
、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：
的值为 ；（3）在平面直角坐标系xOy 中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）结合画出的函数图像，解决问题：．
当AD ＝3.5cm ，BP 的长度约为时 cm ． 25．（1）0≤x≤5 ．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 （2）1.74．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
B
C
（3）．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（4）0.78或者4.81
27．（2020通州期末）如图．MO△NO 于点O ，△OAB 为等腰直角三角形，△OAB ＝90°．当△OAB 绕点O 旋转时，记△MOA ＝α(0°≤α≤90°)，OA ＝5．
(1)过点B 作BC△ON 交射线ON 于点C ，作射线CA 交射线OM 于点D ． △依题意补全图形，求△ODC 的度数；
△当sin α＝
4
5
时．求OD 的长． (2)若ON 上存在一点P ，且OP ＝10，作射线PB 交射线OM 于点Q ．直接写出QP 长度的最大值．
（备用
图）
27．(1) △
过点A 作AH△OC 于点H ，AG△CB 交CB 的延长线于点G ．
△AHO△△AGB
四边形AHCG 为正方形 △ODC ＝45°
△延长GA 交OD 于点K ．
4
sin 5
AK AO α=
=，AK ＝4，OK ＝3，DK ＝4，OD ＝7
28．（2020通州期末）如图，在平面内，点Q 为线段AB 上任意一点，对于该平面内的任意的点P ，若满足PQ≤AB ，则称点P 为线段AB 的“限距点”．
（1）在平面直角坐标系xOy 中，若点A （1,0-），B （1,0）．
△在点C （0,2），D （2,2--），E （0，AB 的“限距点”的是 ； △点P 是直线y x 上一点，若点P 是线段AB 的“限距点”，请求出点P 横坐标x p
的取值范围．
（2）在平面直角坐标系xOy中，点A（t，1），B（t，1
-）．若直线
33 y x
=
+上存在AB 的“限距点”，请直接写出t的取值范围．
28．△E．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
△如图131
p
x
-≤≤-
．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）如图，3533
t
-≤≤-
．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
29．（2020西城期末）我国魏晋时期的数学家刘徽（263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率π
3.14
≈．
x
y
–1
–2
–3
1
2
3
–1
–2
–3
–41234
O
刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，…，割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．设圆的半径为R ，圆内接正六边形的周长66p R =，计算π6
32p R
≈=；
圆内接正十二边形的周长1224sin15p R =︒，计算π12
3.102p R
≈
=；
请写出圆内接正二十四边形的周长24p = ，计算π≈ . （参考数据：sin150.258︒≈，sin7.50.130︒≈）
29．答案：48Rsin7.5°，3.12
30．（2020西城期末）下面给出六个函数解析式：
21=2y x ，21y +，21
2y x x =--， 2=231y x x --，2=21y x x -++，234y x x =---．
小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图
象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：
（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如 y = ，其中x 为自变量；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，画出了函数2=21y x x -++的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；
（3△ 函数图象关于y 轴对称
△ △ 存在某个函数，当x ＞m （m 为正数）时， y 随x 的增大而增大，当x ＜-m 时，y 随
x 的增大而减小
△ 函数图象与x 轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个 所有正确结论的序号是 ； （4）结合函数图象，解决问题：
若关于x 的方程221x x x k -++=-+有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为 ．
30．解：（1）△ 2y ax b x c =++，（a ，b ，c 是常数，0a ≠）．
图1 图2 （3）△△．
（4）如图2，-1，0． ·············································································································· 6分
31．（2020西城期末） 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = x 2 – 2 m x – 2m – 2． （1）若该抛物线与直线y = 2交于A ，B 两点，点B 在y 轴上． 求该抛物线的表达式及点A 的坐标； （2）横坐标为整数的点称为横整点．
△ 将（1）中的抛物线在 A ，B 两点之间的部分记作G 1(不含A ，B 两点)，直接写出G 1上的横整点的坐标；
△ 抛物线y = x 2 – 2 m x – 2m – 2与直线y = –x – 2 交于C ，D 两点，将抛物线在C ，D 两点之间的部分记作G 2（不含C ，D 两点），若G 2上恰有两个横整点，结合函数的图象，求m 的取值范围．
31．解：（1）△ 抛物线y = x 2 - 2 m x - 2m - 2与直线y = 2交于A ，B 两点，点B 在y 轴上， ∴ 点B 的坐标为（0，2）． ∴ -2m - 2= 2． ∴ m = -2．
∴ 抛物线的表达式为 y = x 2 + 4 x + 2． △ A ，B 两点关于直线x = -2对称， ∴ 点A 的坐标为（-4，2）．
（2）△ y = x 2 + 4 x + 2的图象，如图1所示． G 1上的横整点分别是（-3，-1），（-2，-2），（-1，-1）．
△ 对于任意的实数m ，抛物线y = x 2 - 2 m x - 2m – 2与直线y = - x -2总有一个公共点（-1，-1），不妨记为点C ． 当m≤-1时，若G 2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为-3，-2，如图2. ∴ -2≤32
m <-
． 当m ＞-1时，若G 2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为0，1，如图3.
图1
∴1
2
m
<≤1．
综上，G2恰有两个横整点，m的取值范围是-2≤
3
2
m<-或
1
2
m
<≤1．
············································································································6分
32. （2020西城期末）△ABC是等边三角形，点P在BC的延长线上，以P为中心，
将线段PC逆时针旋转n°（0 ＜n＜180）得线段PQ，连接AP，BQ．
（1）如图1，若PC=AC，画出当BQ△AP时的图形，并写出此时n的值；
（2）M为线段BQ的中点，连接PM. 写出一个n的值，使得对于BC延长线上任意一点P，总有1
=
2
MP AP，并说明理由．
32．解：（1）如图．
当BQ△AP时，n = 60．
（2）n = 120．
证明：延长PM至N，使得MN=PM，
∵M为线段BQ的中点，
∴四边形BNQP是平行四边形．
∴ BN△PQ，BN=PQ．
∴△NBP=60°．
∵△ABC是等边三角形，
∴ AB=AC，△ABC =△ACB = 60°．
∴△ABN=△ACP =120°．
∵以P为中心，将线段PC逆时针旋转120°得到线段PQ，
∴ PQ =PC．
∴ BN =PC．
∴△ABN≌△ACP．
∴△BAN =△CAP，AN=AP．
∴△NAP =△BAC = 60°．
∴△ANP是等边三角形．
∴PN=AP．
又MP=PN，
∴MP=AP． ·······················································································7分
33．（2020西城期末）对于给定的△ABC，我们给出如下定义：
若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的半圆为BC边上的点M关于△ABC的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M关于△ABC的最大内半圆.
若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于△ABC的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC关于△ABC的内半圆.
（1）在Rt△ABC中，△BAC = 90°，AB = AC = 2，
△ 如图1，点D在边BC上，且CD=1，直接写出点D关于△ABC的最大内半圆
的半径长；
△ 如图2，画出BC关于△ABC的内半圆，并直接写出它的半径长；
图1 图2
（2）在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（3，0），点P在直线
3
=
y x上运
动（P不与O重合），将OE关于△OEP的内半圆半径记为R，当3
4
≤R≤1时，求点
P的横坐标t的取值范围.
33．解：（1）△ 2
．
1
2
1
2
图1
△ BC 关于△ABC 的内半圆，如图1， BC 关于△ABC 的内半圆半径为1．
（2）过点E 作EF△OE ，与直线y x 交于点F ，设点M 是OE 上的动点， i ）当点P 在线段OF 上运动时（P 不与O 重合），OE 关于△OEP 的内半圆是以M 为圆心，分别与OP ，PE 相切的半圆，如图2．
∴ 当
34≤R ≤1时，t 的取值范围是3
2
≤t≤3．
ii ）当点P 在关于点E 且与OP 相切的半圆，如图3．
∴ 当 R=1 时，t 的取值范围是 t ≥3．
iii)当点P 在OF 的反向延长上运动时（P 不与O 重合），OE 关于△OEP 的内半圆是以M 为圆心，经过点O 且与EP 相切的半圆，如图4.
∴ 当3
4
≤R ＜1时，t 的取值范围是t ≤．
图4
综上，点P 在直线y x 上运动时（P 不与O 重合），当3
4
≤R ≤1时，t 的取值范围
是 t ≤95+-
或t ≥ 32
． ············································································································ 7分
34．(2020燕山期末)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数k
y x
=(0x <)的图象经过点A(－1，6)． (1) 求k 的值；
(2) 已知点P(a ，－2a) (0a <)，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线22y x =--于点
M ，交函数k
y x
=
(0x <)的图象于点N ． △ 当a ＝－1时，求线段PM 和PN 的长；
△ 若PN≥2PM ，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．
34．解：(1) △函数k
y x
=
(0x <)的图象经过点A(－1，6)， △k ＝－1×6＝－6． ………………………1分
(2)△ 当a ＝－1时，点P 的坐标为(－1，2)． ………………………2分 △直线22y x =--，反比例函数的解析式为6
y x
=-
，PN△x 轴， △M(－2，2)，N(－3，2)，
△PM ＝1，PN ＝2． ………………………4分
△ a≤－3，或－1≤a ＜0． ………………… 34．阅读下面材料：
学习函数知识后，对于一些特殊的不等式，我们可以借助函数图象来求出它的解集，例
如求不等式4
3x x
->
的解集，我们可以在同一坐标系中，画出直线y 1＝x －3与函数24
y x
=
的图象（如图1），观察图象可知：它们交于点A(－1，－4)，B(4，1)．当－1＜x ＜0，或x ＞4时，y 1＞y 2，即不等式4
3x x ->的解集为－1＜x ＜0，或x ＞4．
y
1x
1
O A 234A O
B
y 2=
4x
y 1=x －3-3-1-2-4
-3-1-2-44321
x
y 1图1 -5-4-11y
x
1
234-5
-2-1-3-4-2-35O
54
3
2
图2
九年级数学期末试卷第5页（共8页）
小东根据学习以上知识的经验，对求不等式32330x x x +-->的解集进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整： (1) 将不等式按条件进行转化 当x ＝0时，原不等式不成立；
当x ＞0时，原不等式转化为2331x x x
+->
； 当x ＜0时，原不等式转化为 ； (2) 构造函数，画出图象
设2
331y x x =+-，43
y x
=
，在同一坐标系(图2)中分别画出这两个函数的图象． (3) 借助图象，写出解集
观察所画两个函数的图象，确定两个函数图象交点的横坐标，结合(1)的讨论结果，
可知：不等式3
2
330x x x +-->的解集为 ．
34．解：(1) 23
31x x x
+-<； ………………………1分 (2) 画出2
331y x x =+-，43y x
=的图象如图所示； ………………………4分
31x -<<-，或1x >． (3)
35．(2020燕山期末)
如图，Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是线段AB 上一点(0＜AD ＜
1
2
AB)．过点B 作BE△CD ，垂足为E ．将线段CE 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接AF ，EF ．设△BCE 的度数为α．
1
2345
-5
-55y 3=x 2+3x -1
1y x
O
234-4-2-1-3-4-2-1-3y 4=
3x αD C
E B
A
图1 备用图
A
C B
D
E α
(1) △依题意补全图形．
△若α＝60°，则△CAF ＝ °；
EF
AB
＝ ； (2) 用含α的式子表示EF 与AB 之间的数量关系，并证明．
35．解：(1) △依题意补全图1； ………………………1分
△△CAF ＝30°， EF AB ＝1
2
； ………………………3分
(2) EF ＝ABcosα． ………………………4分
证明：
△△FCA ＝90°－△ACE ，△ECB ＝90°－△ACE ， △△FCA ＝△ECB ＝α． 在△ACF 和△BCE 中， AC ＝BC ，△FCA ＝△ECB ，FC ＝EC ，
△△ACF△△BCE ，
△△AFC ＝△BEC ＝90°， △在Rt△AFC 中，cos△FCA ＝FC
AC
． △△ACB ＝90°，AC ＝BC ， △△CAB ＝△CBA ＝45°． △△ECF ＝90°，CE ＝CF ， △△CFE ＝△CEF ＝45°． 在△FCE 和△ACB 中， △FCE ＝△ACB ＝90°， △CFE ＝△CAB ＝45°， △△FCE△△ACB ， △
EF AB ＝FC
AC
＝cos△FCA ＝cosα， 即EF ＝ABcosα．
36．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：将点P 沿向右或向上的方向平移一次．．．．
，平移距离为d(0d >)个长度单位，平移后的点记为P′，若点P′在图形G 上，则称点P 为图形G 的“达成点”．特别地，当点P 在图形G 上时，点P 是图形G 的“达成点”．例如，点P(－1，0)是直线y x =的“达成点”．
九年级数学期末试卷第7页（共8页）
F
A B E C D α
F
αE D B
C A
已知△O 的半径为1，直线l ：y x b =-+．
(1) 当3b =-时，
△在O(0，0)，A(－4，1)，B(－4，－1)三点中，是直线l 的“达成点”的是： ； △若直线l 上的点M(m ，n)是△O 的“达成点”，求m 的取值范围；
(2) 点P 在直线l 上，且点P 是△O 的“达成点”．若所有满足条件的点P 构成一条长度不为0的线段，请直接写出b 的取值范围．
36．解：(1) △ A ，
B ；
△如图，设直线3y x =--分别与直线1y =1y =-，1x =-，1x =依次交于点M 1，M 3，M 4，
可求得点M 1，M 2，M 3，M 4的横坐标分别为 －4，2-，1-，1，
依题意，结合函数的图象可得m 的取值范围是
42m -≤≤-，或11m -≤≤． ………………………5分
(2) b 的取值范围为2b ≤<
－．。