2024届广西柳州市城中区龙城中学数学八年级第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2024届广西柳州市城中区龙城中学数学八年级第二学期期末学业质量监测模拟试题 注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知点A 的坐标为（3，﹣6），则点A 所在的象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．若一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）
A ．ab ＞0
B ．a ﹣b ＞0
C ．a 2+b ＞0
D ．a+b ＞0 3．如图，抛物线21043y ax x =-+与直线43
=+y x b 经过点()2,0A ，且相交于另一点B ，抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于另一点E ，过点N 的直线交抛物线于点M ，且MN
y 轴，连接,,,AM BM BC AC ，当点N 在线段AB 上移动时（不与A 、B 重合），下列结论正确的是（ ）
A ．MN BN A
B +<
B ．BA
C BAE ∠=∠ C ．12ACB ANM ABC ∠-∠=
∠ D ．四边形ACBM 的最大面积为13 4．下列计算：()
(()()(()222122;222;3312;423231=-=-==-，其中结果正确的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．放学后，小刚和同学边聊边往家走，突然想起今天是妈妈的生日，赶紧加快速度，跑步回家．小刚离家的距离()s m 和放学后的时间()t min 之间的关系如图所示，给出下列结论：①小刚家离学校的距离是1000m ；②小刚跑步阶段的速度为300/m min ；③小刚回到家时已放学10分钟；④小刚从学校回到家的平均速度是100/m min ．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（）
A．B．C．
D．
7．对于二次函数y=（x-1）2+2 的图象，下列说法正确的是（）
A．开口向下B．顶点坐标是（1，2）C．对称轴是 x=-1D．有最大值是 2
8．如图，直角坐标系中有两点A（5，0），B（0，4），A，B两点间的距离为（）
A．3 B．7 C．41D．9
9．如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）
A ．点M
B ．格点N
C ．格点P
D ．格点Q
10．四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ；②AB=CD ，AD=BC ；③AO=CO ，BO=DO ；④AB ∥CD ，AD=BC ．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有
A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组 11．当 x ＝－3 时，二次根式的值为（ ）
A ．3
B ．－3
C ．±3
D ． 12．如图是反比例函数1k y x
=和212()k y k k x =<在第一象限的图象，直线AB y ∥轴，并分别交两条曲线于A B 、两点，若4AOB S △＝，则21k k －的值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若等腰三角形中相等的两边长为10cm ，第三边长为16cm ，那么第三边上的高为______cm .
14．如图，小巷左右两侧是竖直的墙．一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m ，顶端距离地面2.4m ．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m ，则小巷的宽度为_____m ．
15．若代数式132
x -的值大于﹣1且小于等于2，则x 的取值范围是_____． 16．为了增强青少年的防毒拒毒意识，学校举办了一次“禁毒教育”演讲比赛，其中某位选手的演讲内容、语言表达、演讲技巧这三项得分分别为90分，80分，85分，若依次按50%，30%，20%的比例确定成绩，则该选手的最后得分是__________分．
17．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点0，过点O 作BD 的垂线分别交AD 、BC 于E.F 两点，若AC =2，
∠DAO =300，则FB 的长度为________ ．
18．一次函数y ax b =+图象经过一、三、四象限，则反比例函数()0ab y x x =
>的函数值随x 的增大而__________．（填增大或减小）
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，直角坐标系xOy 中，一次函数y=﹣
12
x+5的图象l 1分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象l 2与l 1交于点C （m ，4）．
（1）求m 的值及l 2的解析式；
（2）求S △AOC ﹣S △BOC 的值； （3）一次函数y=kx+1的图象为l 3，且11，l 2，l 3不能围成三角形，直接写出k 的值．
20．（8分）如图，将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，
，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动23
秒时，动点P 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）．
（1）OP =____________, OQ =____________；（用含t 的代数式表示）
（2）当1t =时，将△OPQ 沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处．
①求点D 的坐标；
②如果直线y = kx + b 与直线AD 平行，那么当直线y = kx + b 与四边形PABD 有交点时，求b 的取值范围．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若AB＝5，AC＝12，求EF的长．
22．（10分）益群精品店以转件21元的价格购进一批商品，该商品可以白行定价，若每件商B品位价a元，可卖出（350-10a）件，但物价局限定每件商品的利润率不得超过20%，商店计划要盈利400元，求每件商品应定价多少元？23．（10分）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：
（1）DE=BF；
（2）四边形DEBF是平行四边形．
24．（10分）如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，点E 在BC 的延长线上，且PE =PB . （1）求证：△BCP≌△DCP ；
（1）求证：∠DPE =∠ABC ；
（3）把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，且∠ABC = 60︒，其他条件不变，如图1．连接DE ，试探究线段BP 与线段DE 的数量关系，并说明理由．
25．（12分）如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F.
（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）△AEF与△BEA相似吗？请说明理由；
（3）BD 2=AD·
DF 吗？请说明理由．
26．如图，函数k y x =的图象与函数28y x =-+的图象交于点(1,)A a ，(,2)B b . (1)求函数k y x
=的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式
28k x x <-+的解集； (3)若点P 是y 轴上的动点，当ABP ∆周长最小时，求点P 的坐标.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解题分析】
在平面直角坐标系中要判定一个点所在的象限，通常只需要判断点的横坐标和纵坐标的符号是正还是负就可以确定它所在的象限了.点A 的横坐标为正数，纵坐标为负数，所以点A 在第四象限.
【题目详解】
横纵坐标同是正数在第一象限，横坐标负数纵坐标正数在第二象限，横纵坐标同是负数在第三象限，横坐标正数纵坐标负数在第四象限，点A 的横坐标为正数，纵坐标为负数，所以点A 在第四象限.
【题目点拨】
此题主要考查如何判断点所在的象限，熟练掌握每个象限内点的坐标的正负符号特征，即可轻松判断.
2、C
【解题分析】
解：∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，∴ab＜O，故A错误，a﹣b＜0，故B错误，20
a b
＞，故C正确，a+b不一定大于0，故D错误．故选C．
3、C
【解题分析】
】（1）当MN过对称轴的直线时，解得：BN=25
6
，而MN=
5
6
，BN+MN=5=AB；
（2）由BC∥x轴（B、C两点y坐标相同）推知∠BAE=∠CBA，而△ABC是等腰三角形，∠CBA≠∠BCA，故∠BAC=∠BAE错误；
（3）如上图，过点A作AD⊥BC、BE⊥AC，由△ABC是等腰三角形得到：EB是∠ABC的平分线，
∠ACB-∠ANM=∠CAD=1
2
∠ABC；
（4）S四边形ACBM=S△ABC+S△ABM，其最大值为9
4
．
【题目详解】
解：将点A（2，0）代入抛物线y=ax2-10
3
x+4与直线y=
4
3
x+b
解得：a=2
3
，b=-
8
3
，
设：M点横坐标为m，则M（m，2
3
m2-
10
3
m+4）、N（m，
4
3
m-
8
3
），
其它点坐标为A（2，0）、B（5，4）、C（0，4），则AB=BC=5，则∠CAB=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
A、当MN过对称轴的直线时，此时点M、N的坐标分别为（5
2
，-
1
6
）、（
5
2
，
2
3
），
由勾股定理得：BN=25
6
，而MN=
5
6
，
BN+MN=5=AB，
故本选项错误；
B、∵BC∥x轴（B、C两点y坐标相同），
∴∠BAE=∠CBA，而△ABC是等腰三角形不是等边三角形，∠CBA≠∠BCA，
∴∠BAC=∠BAE 不成立，
故本选项错误；
C 、如上图，过点A 作A
D ⊥BC 、B
E ⊥AC ，
∵△ABC 是等腰三角形，
∴EB 是∠ABC 的平分线，
易证：∠CAD=∠ABE=
12
∠ABC ， 而∠ACB-∠ANM=∠CAD=12∠ABC ， 故本选项正确；
D 、S 四边形ACBM =S △ABC +S △ABM ，
S △ABC =10，
S △ABM =
12
MN•（x B -x A ）=-m 2+7m-10，其最大值为94， 故S 四边形ACBM 的最大值为10+94=12.25，故本选项错误． 故选：C ．
【题目点拨】
本题考查的是二次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x 轴的交点，以及等腰三角形、平行线等几何知识，是一道难度较大的题目．
4、D
【解题分析】
根据二次根式的运算法则即可进行判断.
【题目详解】
()2122=,正确；(()2222-=正确；()(23312-=正确；()(423231=-，正确，故选D. 【题目点拨】 此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的性质：2a a =;
2a =a .
5、A
【解题分析】
由t=0时s=1000的实际意义可判断①；
由8≤t≤10所对应的图象表示小刚跑步阶段，根据速度=路程÷时间可判断②；根据t=10时s=0可判断③；
总路程除以所用总时间即可判断④．
【题目详解】
解：①当t=0时，s=1000，即小刚家离学校的距离是1000m，故①正确；
②小刚跑步阶段的速度是
600
108
=300（m/min），故②正确；
③当s=0时，t=10，即小刚回到家时已放学10min，故③正确；
④小刚从学校回到家的平均速度是1000
10
=100（m/min），故④正确；
故选：A．
【题目点拨】
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解题意、理解函数图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键.
6、C
【解题分析】
由草坪面积为100m2，可知x、y存在关系y=，然后根据两边长均不小于5m，可得x≥5、y≥5，则x≤20，
故选：C．
7、B
【解题分析】
根据二次函数的性质对各开口方向、顶点坐标、对称轴与最值进行判断即可．
【题目详解】
二次函数y=（x-1）1+1 的图象的开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，1），函数有最小值1．
故选B．
【题目点拨】
本题考查了二次函数的性质，掌握利用顶点式求抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴与最值是解决问题的关键．8、C
【解题分析】
根据勾股定理求解即可．
【题目详解】
∵A（5，0），B（0，4），
∴OA=5，OB=4，
∴AB=22
=22
OA OB
5+4=41，
故选：C．
【题目点拨】
本题考查了勾股定理，掌握知识点是解题关键．
9、B
【解题分析】
此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心．
【题目详解】
解：如图，连接N和两个三角形的对应点；
发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心；故选B．
【题目点拨】
熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在．
10、C
【解题分析】
如图，（1）∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
又∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）∵在四边形ABCD中，AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（4）∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD 可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；
综上所述，上述四组条件一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的有3组.
故选C.
11、A
【解题分析】
把x ＝－3代入二次根式进行化简即可求解.
【题目详解】
解：当x ＝－3时，
. 故选A.
【题目点拨】
本题考查了二次根式的计算，正确理解算术平方根的意义是关键.
12、D
【解题分析】
根据题意，由AB y ∥轴，设点B （a ，b ），点A 为（m ，n ），则2k ab =，1k mn =，由4AOB S △＝，根据反比例函数的几何意义，即可求出21k k －的值.
【题目详解】 解：如图是反比例函数1k y x
=和212()k y k k x =<在第一象限的图象，
∵直线AB y ∥轴，
设点B （a ，b ），点A 为（m ，n ），
∴2k ab =，1k mn =，
∵11422AOB S ab mn =
-=△， ∴2111422
k k -=， ∴218k k =－；
故选：D.
【题目点拨】
本题考查了反比例函数y=k x （k ≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y=k x
（k ≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【解题分析】
根据等腰三角形的性质先求出BD ，然后在Rt △ABD 中，可根据勾股定理进行求解．
【题目详解】
解：如图：
由题意得：AB=AC=10cm ，BC=11cm ，
作AD ⊥BC 于点D ，则有DB=12
BC=8cm ， 在Rt △ABD 中，22AB BD -．
故答案为1．
【题目点拨】
本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理的知识，关键是掌握等腰三角形底边上的高平分底边，及利用勾股定理求直角三角形的边长．
14、2.2
【解题分析】
作出图形,利用定理求出BD 长,即可解题.
【题目详解】
解：如图,
在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.4米,
∴AB2=0.72+2.42=6.25,
在Rt△A'BD中,∠A'DB=90°, A'D=2米,BD2+A'D2=A'B2,
∴BD2+22=6.25,
∴BD2=2.25,
∵BD>0,
∴BD=1.5米,
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.
【题目点拨】
本题考查了勾股定理的实际应用,属于简单题,利用勾股定理求出BD的长是解题关键.
15、﹣1≤x＜1．
【解题分析】
先根据题意得出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
【题目详解】
解：根据题意，得：
13
1
2
13
2
2
x
x
-
⎧
>-
⎪⎪
⎨
-
⎪
⎪⎩
①
②
解不等式①，得：x＜1，
解不等式②，得：x≥-1，
所以-1≤x＜1，
故答案为：-1≤x＜1．
【题目点拨】
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16、1
【解题分析】
根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
解：根据题意得：
90×50%+80×30%+85×20%
=45+24+17
=1（分）．
答：该选手的最后得分是1分．
故答案为：1．
【题目点拨】
本题考查了加权平均数的求法．本题易出现的错误是求90，80，85这三个数的平均数，对平均数的理解不正确．17、2
【解题分析】
先根据矩形的性质，推理得到∠OBF=30°，，再根据含30°角的性质可得OF=BF ，利用勾股定理即可得到BF的长．
【题目详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
∵EF⊥BD，
∴∠BOF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，，
∴∠OBF=∠ODA =30°，
∴OF=BF.
又∵Rt△BOF中，
BF2-OF2=OB2，
∴BF2-BF2=，
∴BF=2.
【题目点拨】
本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．
18、增大
根据一次函数y ax b =+图象经过一、三、四象限，可以得出a >0，b<0，则反比例函数的系数0ab <，结合x>0即可得到结论．
【题目详解】
∵一次函数y ax b =+图象经过一、三、四象限，
∴a >0，b<0，
∴0ab <，
∴又x>0，
∴反比例函数图象在第四象限，且y 随着x 的增大而增大，
故答案为：增大．
【题目点拨】
本题考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，掌握一次函数，反比例函数的图象和性质是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）m=2，l 2的解析式为y=2x ；（2）S △AOC ﹣S △BOC =15；（3）k 的值为
32或2或﹣12． 【解题分析】
【分析】（1）先求得点C 的坐标，再运用待定系数法即可得到l 2的解析式；
（2）过C 作CD ⊥AO 于D ，CE ⊥BO 于E ，则CD=4，CE=2，再根据A （10，0），B （0，5），可得
AO=10，BO=5，进而得出S △AOC ﹣S △BOC 的值；
（3）分三种情况：当l 3经过点C （2，4）时，k=
32；当l 2，l 3平行时，k=2；当11，l 3平行时，k=﹣12；故k 的值为32或2或﹣12
． 【题目详解】（1）把C （m ，4）代入一次函数y=﹣
12x+5，可得 4=﹣12
m+5， 解得m=2，
∴C （2，4），
设l 2的解析式为y=ax ，则4=2a ，
解得a=2，
∴l 2的解析式为y=2x ；
（2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，
y=﹣1
2
x+5，令x=0，则y=5；令y=0，则x=10，
∴A（10，0），B（0，5），∴AO=10，BO=5，
∴S△AOC﹣S△BOC=1
2
×10×4﹣
1
2
×5×2=20﹣5=15；
（3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，
∴当l3经过点C（2，4）时，k=3
2
；
当l2，l3平行时，k=2；
当11，l3平行时，k=﹣1
2
；
故k的值为3
2
或2或﹣
1
2
．
【题目点拨】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰直角三形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及分类讨论思想等．
20、（1）6-t； t+2
3
（2）①D(1，3) ②3≤b≤
33
5
【解题分析】
（1）根据OA的长以及点P运动的时间与速度可表示出OP的长，根据Q点的运动时间以及速度即可得OQ的长；（2）①根据翻折的性质结合勾股定理求得CD长即可得；
②先求出直线AD的解析式，然后根据直线y=kx+b与直线AD平行，确定出k=
3
5
-，从而得表达式为：
3
y x b
5
=-+，
根据直线
3
y x b
5
=-+与四边形PABD有交点，把点P、点B坐标分别代入求出b即可得b的取值范围.
【题目详解】
（1）由题意可知AP=t，所以OP=OA-AP=6-t，
根据Q点运动2
3
秒时，动点P出发，所以OQ＝t+
2
3
，
故答案为6-t， t+2
3
；
（2）①当t=1时，OQ=5
3
，
∵C(0，3)，∴OC=3，
∴CQ=OC-OQ=4
3
，
∵△OPQ沿PQ翻折得到△DPQ，
∴QD = OQ =5
3
，
在Rt△CQD中，有CD2=DQ2-CQ2，所以CD=1，∵四边形OABC是矩形，
∴D(1，3)；
②设直线AD的表达式为：y mx n
=+（m≠0），∵点A（6，0），点D（1，3），
∴
60
3
m n
m n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得
3
5
18
5
m
n
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴直线AD的表达式为：
318 y x
55
=-+，
∵直线y=kx+b与直线AD平行，
∴k=
3
5 -，
∴表达式为：
3
y x b
5
=-+，
∵直线
3
y x b
5
=-+与四边形PABD有交点，
∴当
3
y x b
5
=-+过点P（5，0）时，解得：b=3，
∴当
3
y x b
5
=-+过点B（6，3）时，解得：b=
33
5
，
∴3≤b≤33 5
.
【题目点拨】
本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、一次函数的应用等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关性
质与定理以及待定系数法是解题的关键.
21、（1）证明见解析；（2）
60
13 EF=.
【解题分析】
（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；
（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可．【题目详解】
证明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵∠BAC=90°，E是BC的中点，
∴AE=CE=1
2 BC，
∴四边形AECD是菱形
（2）过A作AH⊥BC于点H，∵∠BAC=90°，AB=5，AC=12，∴BC=13，
∵
11
22
ABC
S BC AH AB AC
=⋅=⋅，
∴
60
13 AH=，
∵点E是BC的中点，四边形AECD是菱形，∴CD=CE，
∵S▱AECD=CE•AH=CD•EF，
∴
60
13 EF AH
==．
【题目点拨】
本题考查了菱形的判定和性质，关键是根据平行四边形和菱形的判定和性质解答．
22、需要进货100件，每件商品应定价25元
【解题分析】
根据：每件盈利×销售件数=总盈利额；其中，每件盈利=每件售价-每件进价．建立等量关系．
【题目详解】
解：依题意（a-21）（350-10a）=400，
整理得：a2-56a+775=0，
解得a1=25，a2=1．
∵21×（1+20%）=25.2，
∴a2=1不合题意，舍去．
∴350-10a=350-10×25=100（件）．
答：需要进货100件，每件商品应定价25元．
【题目点拨】
本题考查了一元二次方程的应用，注意需要检验结果是否符合题意．
23、详见解析.
【解题分析】
（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△ADE≌△CBF，即可推得DE=BF．（2）首先判断出DE∥BF；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得四边形DEBF是平行四边形即可．
【题目详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD=CB，
∴∠DAE=∠BCF，
在△ADE和△CBF中，
{AD CB
DAE BCF AE CF
=
∠=∠
=
∴△ADE≌△CBF，
∴DE=BF．
（2）由（1），可得∴△ADE≌△CBF，
∴∠ADE=∠CBF，
∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF，∴∠DEF=∠BFE，
∴DE∥BF，
又∵DE=BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
24、（1）见解析；（1）见解析；（3）BP=DE，理由见解析.
【解题分析】
（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得∠BCP=∠DCP，然后利用“边角边”证明即可；
（1）根据（1）的结论可得∠CBP=∠CDP，根据PE PB可得∠CBP=∠E，于是∠CDP=∠E，再由∠1=∠1可进一步推得∠DPE=∠DCE，最后由AB∥CD，可得∠DCE=∠ABC，从而结论得证；
（3）BP =DE. 由（1）的结论可得PD=PB=PE，由（1）的结论可知∠DPE=∠ABC=60°，进一步可推得△PDE是等边三角形，则DE=PE=PB，即得结论．
【题目详解】
（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，
在△BCP和△DCP中，
∵，
∴△BCP≌△DCP（SAS）；
（1）证明：如图，由（1）知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∴∠CDP=∠E，
∵∠1=∠1，
∴180°﹣∠1﹣∠CDP=180°﹣∠1﹣∠E，
即∠DPE=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DPE=∠ABC；
（3）BP=DE，理由如下：
由（1）知，△BCP≌△DCP，所以PD=PB=PE，
由（1）知，∠DPE=∠ABC=60°，
∴△PDE是等边三角形，
∴DE=PE=PB，
∴DE=PB.
【题目点拨】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质、等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质，其中第（1）小题中的“蝴蝶型”三角形是证明两个角相等常用的模型，是解题的关键；而第（3）小题则充分利用了（1）（1）两个小题的结论，体现了整道题在方法和结论上的连续性.
25、 (1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；
【解题分析】
（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，
又∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE；
（2）△AEF与△BEA相似．
由（1）得：∠BAD＝∠CBE，
又∵∠ABC＝∠BAC，
∴∠ABE＝∠EAF，
又∵∠AEF＝∠BEA，
∴△AEF∽△BEA；
（3）BD2＝AD•DF．
由（1）得：∠BAD＝∠FBD，
又∵∠BDF＝∠ADB，
∴△BDF∽△ADB，
∴BD DF AD BD
， 即BD 2＝AD•DF ．
【题目点拨】
本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定和性质等知识点，解答本题的关键是要熟练掌握三角形全等的判定与性质定理．
26、 (1)6y x
=；(2)0x <或13x <<；(3)点P 的坐标为(0,5). 【解题分析】
（1）先把A （1，a ），B （b ，2）分别代入y=-2x+8中求出a 、b 的值得到A （1，6），B （3，2），然后把A 点坐标代入k y x
=中得到k 的值，从而得到反比例函数解析式； （2）写出一次函数图象在反比例函数图像上方所对应的自变量的范围即可；
（3）作点A 关于y 轴的对称点A′，连接BA′交y 轴于P ，如图，则A′（-1，6），根据两点之间线段最短判断此时PA+PB
的值最小，△ABP 周长最小，然后利用待定系数法求出直线A′B 的解析式，从而得到点P 的坐标．
【题目详解】
解：(1)把(1,)A a ，(,2)B b 分别代入28y x =-+得286a =-+=，
282b -+=，解得3b =，
∴(1,6)A ，(3,2)B ；
把(1,6)A 代入k y x
=得166k =⨯=， ∴反比例函数解析式为6y x =
； (2)不等式28k x x
<-+的解集为0x <或13x <<； (3)作点A 关于y 轴的对称点A '，连接BA '交y 轴于P ，如图，则(1,6)A '-，
∵PA PB PA PB A B ''+=+=，
∴此时PA PB +的值最小，ABP ∆周长最小，
设直线A B '的解析式为y mx n =+，
把(1,6)A '-，(3,2)B 代入得632m n m n -+=⎧⎨+=⎩，解得15m n =-⎧⎨=⎩
， ∴直线A B '的解析式为5y x =-+，
∴点P的坐标为(0,5).
【题目点拨】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．。