农妇卖蛋问题与倒推法

农妇卖蛋问题与倒推法
江苏省连云港市教育局 臧雷
一农妇卖鸡蛋，第一次卖去全部鸡蛋的一半又半个；第二次卖出剩下鸡蛋的一半又半个；第三次卖去所剩下鸡蛋的一半又半个，第四次又卖去所剩鸡蛋的一半又半个，这时鸡蛋恰好卖完，问农妇开始至少有鸡蛋多少个？
按常规思路来解答，过程较为繁琐，而数学大师欧拉独出心裁，给出了一个别具一格的解法，其解法大意是：
第三次卖完后所剩（第四次卖去）的鸡蛋为1个（一半又半个）；第二次卖完后所剩鸡蛋数为（3＋0.5）×2=7个，所以农妇原来至少有鸡蛋（7＋0.5）×2=15个．
把这个问题稍加改变，就是下面的题目：
把一堆西瓜的一半又半个分给第一人，再把剩下的一半又半个分给第二个人，…把每上一次所剩西瓜数的一半又半个分给下一个人，照此办理，分给第n 个人后恰好分完，问这堆西瓜至少有多少个？
假设这堆西瓜至少有S 0个，分给第i 个人后剩下的西瓜为S i 个，则
S n =0．于是可推知S n-1，S n －2，…，S 1，从而可推出S 0．当n=3时，就是农妇
卖蛋问题．
由此给我们的启示是：某些数学问题，如能从反面想一想，可能容易解决．
一般地，从结论开始、执果索因、逆向推导、逐步还原、解决问题的方法称为逆推法．
例1 100个人站成一横排，自1起报数，凡报奇数者离队，留下的再次自1起报数，凡报奇数者又离队，这样反复下去，最后留下一个人，问这人第一次报数为多少？
解：最后被留者在倒数第1轮必报2，在倒数第2轮必报4，在倒数第3轮必报8，…，于是容易得出，倒推过去此人报的是16，32，64．因为只有100个人，故这个人第一次报数是64．
例2 设有n 个球，甲乙两人按下法做游戏：两人轮流取球，每人一次，可随意拿一个或两个球，但不准不拿，谁取得最后一个球谁败．规定甲先拿，问甲是否一定取胜？
分析：反过来考虑：失败者最后只拿一只球，倒数第二次拿球时，球数必定是3个或2个这两种情况之一．这样，只要球数剩下4只，该谁拿谁失败．
当n=3k ＋1时，甲必败，因为乙可采取这样的策略：甲取一个（或2个）时，乙接着取2个（或1个），保证余下的球是3t+1，每一轮都如此，最后必然会出现剩下4个球的情形，这时轮到甲拿，甲必然输了．
当n=3k （或3k ＋2）时，甲只要先取2个（或1个）剩下的球数是“3t ＋1”形数，乙就代替了上述情况里的甲，乙就会输．
例3如图1，图中的一支箭头表示为一段有方向的路，E至I的两个“立交桥（图中弯曲处）表示EI与GF，HF的两个箭头不相交，试计算顺着箭头方向，从A到I有多少条不同的路线．
，分析：从A要到达I，无论怎么走，都必须经E，F，H之一，如果用S
I
S E，S F，S G，S H表示从A分别到达I，E，F，G，H的路线数（其余记号S B，S C……类似）．则有S I=S E＋S F＋S H．对E，F，G作类似的逆推，有S E=S B+S C+S D，S F=S B＋S E＋S G＋S H，如此倒推下去，最终归结为求S B，S C，S D．
=S D=1，S C=1＋S B＋S D=3，接着算得S E=S B+S C+S D＝5，解：首先有S
B
S G=S H=S E+S D=6，S F=S B+S E+S G＋S H=1＋5＋6＋6=18．最后得S I=S E＋S F＋
S H=5+18＋6=29．即从A到I共有29条不同的路线．
练习题：
上还留下10只桃子，树上原来至少有多少只桃子？（答案：100只）2．现对甲、乙、丙三个小组的人员作调整：第一次丙组不动，甲、乙两组中的一组调出7人给另一组；第二次乙组不动，甲、丙两组中的一组调出7人给另一组；第三次甲组不动，乙、丙两组中的一组调出7人给另一组，三次调整后，甲组有5人，乙组有13人，丙组有6人，问各组原有几人？（答；甲5人，乙13人，丙6人）。