【高考领航】高考数学总复习 65 合情推理与演绎推理课件 北师大

由已知得
y＝－ax＋a
， a
则－1－y＝－1＋ax＋a a＝－ax＋ax a
f(1－x)＝a1－－x＋a a＝－aax＋a a
＝－a＋a·aax·ax
＝－ax＋ax
， a
所以－1－y＝f(1－x)，
所以函数 y＝f(x)的图像关于点21，－12对称．
（2)由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)， 即 f(x)＋f(1－x)＝－1， ∴f(－2)＋f(3)＝－1， f(－1)＋f(2)＝－1， f(0)＋f(1)＝－1. 则 f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.
球
三角形
三棱锥
角
二面角
面积
体积
周长
表面积
……
……
2．(2012 年郑州市二模)二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr， 二维测度(面积)S＝πr2，观察发现 S′＝l；三维空间中球的二维测度 (表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝43πr3，观察发现 V′＝S.则由四 维空间中“超球”的三维测度 V＝ 8πr3，猜想其四维测度 W＝ ________.
f2(x)＝f1[f1(x)]＝1－1－1－xx x＝1－x2x，
x f3(x)＝f2[f2(x)]＝1－1－1－22xx2x＝1－x22x，…，
由此猜想 fn(x)＝1－2xn－1x(n∈N＋)．
答案：f3(x)＝1－x22x fn(x)＝1－2xn－1x(n∈N＋)
考点二 类比推理
Rt△ABC 中，AB⊥AC，AD⊥BC 于 D，求证： A1D2＝A1B2＋A1C2，那么在四面体 A－BCD 中，类比上述结论， 你能得到怎样的猜想，并说明理由． 【思路点拨】 首先利用综合法证明结论正确，然后依据直角 三角形与四面体之间形状的对比猜想结论，并予以证明．
【自主试解】 (1)证明：法一：任取 x1，x2∈(－∞，1]，x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝(x2－x1)(x2＋x1－2)， ∵x1<x2≤1，∴x2＋x1－2<0， ∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)， 于是，根据“三段论”可知， f(x)＝－x2＋2x 在(－∞，1]上是增函数． 法二：∵f′(x)＝－2x＋2＝－2(x－1)， 当 x∈(－∞，1)时，x－1<0， ∴－2(x－1)>0，∴f′(x)>0 在 x∈(－∞，1)上恒成立． 故 f(x)在(－∞，1]上是增函数．
①(ab)n＝anbn 与(a＋b)n 类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；
②loga(xy)＝logax＋logay 与 sin(α＋β)类比，则有 sin(α＋β)＝sin αsin β；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 与(a＋b)2 类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b ＋b2.
其中结论正确的个数是( )
3．已知函数 f(x)＝－ax＋a a(a>0 且 a≠1)．
(1)证明：函数 y＝f(x)的图像关于点21，－12对称； (2)求 f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．
解析：(1)证明：函数 f(x)的定义域为 R，任取一点(x，y)，它关
于点21，－12的对称点坐标为(1－x，－1－y)．
【自主试解】 如图①所示，由射影定理知 AD2＝BD·DC， AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC， ∴A1D2＝BD1·DC ＝BD·BBCC·D2C·BC＝ABB2C·A2C2. 又 BC2＝AB2＋AC2， ∴A1D2＝AABB2＋2·AACC22＝A1B2＋A1C2.
所以A1D2＝A1B2＋A1C2. 类比 AB⊥AC，AD⊥BC 猜想： 四面体 A－BCD 中，AB、AC、AD 两两垂直，AE⊥平面 BCD， 则A1E2＝A1B2＋A1C2＋A1D2. 如图②，连接 BE 交 CD 于 F， 连接 AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面 ACD. 而 AF 平面 ACD，∴AB⊥AF 在 Rt△ABF 中，AE⊥BF，
59＝1 953 125,510＝9 765 625，…
∴5n(n∈Z，且 n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周
期为 4，
记 5n(n∈Z，且 n≥5)的末四位数字为 f(n)，则 f(2 011)＝f(501×4
＋7)＝f(7)，
∴52011 与 57 的末四位数字相同，均为 8 125.故选 D.
5．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°，
归纳出所有三角形的内角和都是 180°；
③某次考试张军成绩是 100 分，由此推出全班同学成绩都是 100
分；
④三角形的内角和是 180°，四边形的内角和是 360°，五边形的
解析：依题意猜想其四个维测度的导数 W′＝V＝8πr3，故可得 W ＝2πr4.
答案：2πr4
考点三 演绎推理
(1)证明：函数 f(x)＝－x2＋2x 在(－∞，1]上是增函数； (2)当 x∈[－5，－2]时，f(x)是增函数还是减函数？ 【思路点拨】 (1)证明本题的大前提是增函数的定义，即增函 数 f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值 x1，x2，且 x1<x2， f(x1)<f(x2)，小前提是函数 f(x)＝－x2＋2x，x∈(－∞，1]，结论是满 足增函数定义． (2)关键是看[－5，－2]与 f(x)的增区间或减区间的关系．
内角和是 540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°.
A．①②
B．①③
C．①②④
D．②④
解析：①是类比推理，②④是归纳推理，③是非合情推理．
答案：，集体的表情，集体的信念。
•2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。
•3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。
考点一 归纳推理
已知数列{an}的首项 a1＝1，且 an＋1＝1＋anan(n＝1,2，…)， 试归纳出这个数列的通项公式．
【思路点拨】 数列的通项公式表示的是数列{an}的第 n 项 an 与序号 n 之间的对应关系，为此，先根据已知的递推公式计算出数 列的前几项．
【自主试解】 因为 a1＝1，故由 an＋1＝1＋anan知，
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：③正确．
答案：B
3．(2011 年江西)观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78
125，…则 52 011 的末四位数字为( )
A．3125
B．5625
C．0625
D．8125
解析：∵55＝ 3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，
•4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。
•5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。
•6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/112022/1/112022/1/111/11/2022
当 n＝1 时，a2＝1＋1 1＝12；
1 当 n＝2 时，a3＝1＋2 21＝13；
1 当 n＝3 时，a4＝1＋3 31＝14， 观察上面结果可得，数列的前 4 项都等于相应序号的倒数，由
此猜想，这个数列的通项公式为 an＝n1(n＝1,2，…)．
\\\\\\方法规律\\\\\ 归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得到的结 论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功 能，对科学的发展是十分有用的，“实验、观察、归纳、猜想”乃 是科学研究最基本的方法之一．
∴A1E2＝A1B2＋A1F2. 在 Rt△ACD 中，AF⊥CD， ∴A1F2＝A1C2＋A1D2. ∴A1E2＝A1B2＋A1C2＋A1D2，故猜想正确．
\\\\\\方法规律\\\\\
类比推理的关键是找到合适的类比对象，一般平面中的一些元
素与空间中的一些元素的类比列表如下：
平面
空间
点
线
线
面
圆
进行一些简单推理．
3.题目难度不大，多以中
3.了解合情推理和演绎推理之间的 低档题为主.
联系和差异.
一、合情推理 1．归纳推理：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该 类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳 推理．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理． 2．类比推理：由于两类不同对象具有某些类似特征，在此基础 上，根据一类对象的其他特征，推出另一类对象也具有这些特征的 推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 3．合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察，分析，比较，联想，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推 理，我们把它们统称为合情推理．
答案：B
二、数学证明 1．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结 论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到 特殊的推理． 2．演绎推理的一般模式——“三段论”： (1)大前提——已知的一般原理； (2)小前提——所研究的特殊情况； (3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
1．数列 0,1,3,7,15,31 的一个通项公式是( )
A．an＝2n－1
B．an＝2n－1
C．an＝2n－1－1
D．an＝2n－1＋1
解析：∵0＝20－1,1＝21－1,2＝22－1，
7＝23－1,15＝24－1,31＝25－1，
∴猜想 an＝2n－1－1.
答案：C
2．给出下列三个类比结论：
课 后 演 练 知 能 检 测
6．一切奇数都不能被 2 整除，2100＋1 是奇数，所以 2100＋1 不能 被 2 整除，其演绎“三段论”的形式为：
大前提：一切奇数都不能被 2 整除 小前提：________________________________________， 结论：__________________________________________. 解析：由“三段论”的形式可知：2100＋1 是奇数为小前提，2100 ＋1 不能被 2 整除是结论． 答案：2100＋1 是奇数 2100＋1 不能被 2 整除
(2)∵f(x)在(－∞，1]上是增函数， 而[－5，－2]是区间(－∞，1]的子区间， ∴f(x)在[－5，－2]上是增函数． \\\\\\方法规律\\\\\ 合情推理提供给人们思想的方向和方法，是对经验事实的概括， 把握个性中的共性，抽象出一般的结论；而演绎推理是从一般结论 中得出个别结论，从而不断深化对事物的认识．它们的思维方向是 相反的．
1．已知：f(x)＝1－x x，设 f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n>1 且 n∈N＋)，则 f3(x)的表达式为________，猜想 fn(x)(n∈N＋)的表达式为 ________．
解析：由 f1(x)＝f(x)和 fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n>1 且 n∈N＋)，得 x
•7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/112022/1/11January 11, 2022
课 前
•8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/112022/1/112022/1/112022/1/11
学
案
基
础 盘 点
课 堂 探 究 考 点 突 破
答案：D
4．(2012 年南阳模拟)定义 A*B，B*C，C*D，D*A 的运算分别对 应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的(5)、(6)所对应的运算结 果可能是( )
A．B*D，A*D C．B*C，A*D
B．B*D，A*C D．C*D，A*D
解析：由 A*B 对应图(1)可设 A 对应|，B 对应□，由 B*C 对应 图(2)可知当 B 对应□时，C 对应—，由 C*D 对应图(3)可知当 C 对 应—时，D 对应○，由 D*A 对应图(4)可知，必有 D 对应○，A 对应 |，由图(5)可知满足 B*D，由图(6)可知满足 A*C，故选 B.
第五节 合情推理与演绎推理
目标定位
学习指向
1.了解合情推理的含义，能利用归
纳和类比等进行简单的推理，了解 1.以选择题、填空题的形
合情推理在数学发现中的作用． 式考查合情推理．
2.了解演绎推理的重要性，掌握演 2. 以 选 择 题 或 解 答 题 的
绎推理的基本模式，并能运用它们
形式考查演绎推理．