2021-2022学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》解答题优生辅导训练(附答案)

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》解答题优生辅导训练（附答案）
1．如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∠AOB的平分线OC 交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO ﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．
（1）求OC、BC的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．
2．课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD＝AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．
（1）特殊情况入手添加条件：“∠B＝∠D”，如图2，可证AB+AD＝AC；（请你完成此证明）
（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）
3．如图1，Rt△ABC中AB＝AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD＝EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF 的形状，并加以证明．
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、
②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．
1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；
2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC∥KN，如图2）．
附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF的形状，并说明理由．
4．如图是一个三角形金属轨道ABC，其周长99cm，AB＝AC，甲、乙、丙三个小球分别从
A、B、C出发以相同的速度向B、C、A运动，当运动了6s时，分别到达P、Q、R三点
处，AP＝AB，BQ＝BC．
求：（1）三角形三条边的长度；
（2）小球的运动速度；
（3）出发多少秒后，哪两个球首次同时在同一条边上运动它们在同一条边上运动多长时间？
5．数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题（1）．
（1）已知：如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△ABD与△DBC都是等腰三角形；
（2）在证明了该命题后，小乔发现：下面两个等腰三角形如图②、③也具有这种特性．请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；
（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形．请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数．（说明：要求画出的两个三角形不相似，且不是等腰三角形．）
（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征．
6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A →B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
7．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．
（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
8．如图1，在△ABC与△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，BC＝DE，AB＝BD，M、M′分别为AB、BD中点．
（1）探索CM与EM′有怎样的数量关系？请证明你的结论；
（2）如图2，连接MM′并延长交CE于点K，试判断CK与EK之间的数量关系．
9．已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM．
（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；
（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；
（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM 及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．
10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，
①请你判断并写出FE与FD之间的数量关系．
②如果∠ACB不是直角，其他条件不变，①中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；
若不成立，请说明理由．
11．（1）已知：如图RT△ABC中，∠ACB＝90°，ED垂直平分AC交AB与D，求证：DA ＝DB＝DC．
（2）利用上面小题的结论，继续研究：如图，点P是△FHG的边HG上的一个动点，PM⊥FH于M，PN⊥FG于N，FP与MN交于点K．当P运动到某处时，MN与FP正好互相垂直，请问此时FP平分∠HFG吗？请说明理由．
12．如图，△ABC中，AC＝5，BC＝10，BC上的高为4，动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，设运动的时间为t秒；
（1）是否存在某一时刻使得MN垂直平分AC？若存在，请求出t；若不存在，说明理由．（2）直接写出t为何值时，△MNC为等腰三角形？
13．已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离OE、OF相等，且OB＝OC．（1）如图，若点O在边BC上，求证：AB＝AC；
（2）如图，若点O在△ABC的内部，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由；
（3）若点O在△ABC的外部，则（1）的结论还成立吗？请画图表示．
14．如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．
（1）直接写出∠ABC的度数；
（2）如图（2），BD是△ABC中∠ABC的平分线．
①找出图中所有等腰三角形（等腰三角形ABC除外），并选其中一个写出推理过程；
②在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形？如果存在，请
在图（3）中画出满足条件的所有的点P，并直接写出相应的∠CPD的度数；如果不存在，请说明理由．
15．在△ABC中，AB＝AC，AC⊥BA，M为BC边中点，一等腰直角三角尺的直角顶点P 在BC边上移动，两直角边分别与AB，AC交于E，F两点且斜边与BC平行．
（1）在图1中，当三角尺的直角顶点P恰好移动到M点时，请你通过观察、测量，猜想并写出ME与MF满足的数量关系及位置关系，然后证明你的猜想；
（2）当三角尺的直角顶点P沿BC方向移动到图2所示的位置时，请你通过观察、测量、
猜想并写出ME与MF满足的数量关系及位置关系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在（2）的基础上沿BC方向继续向右平移到图3所示的位置（点P在线段BC的延长线上，三角尺两直角边所在直线与△ABC的两边BA，AC的延长线分别交于点E，F，且点P与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）
16．在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D（D在BC边上），BE⊥AC，垂足为点E，M为AB 的中点，联结ME、MD、ED．
（1）当点AC边上时（如图），容易证明∠EMD＝2∠DAC；当点E在CA的延长线上，请在图中画出相应的图形，并说明“∠EMD＝2∠DAC”是否还成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由；
（2）如果△MDE为正三角形，BD＝4，且AE＝1，求△MDE的周长．
17．如图①，在等腰△ABC中，底边BC上有任意一点，过点P作PE⊥AC，PD⊥AB，垂足为D、E，再过C作CF⊥AB于点F；
（1）求证：PD+PE＝CF；
（2）若点P在BC的延长线上，如图②，则PE、PD、CF之间存在什么样的等量关系，请写出你的猜想，并证明．
18．运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．
（1）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．请用面积法证明：h1+h2＝h；
（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间的等量关系式是；（直接写出结论不必证明）
（3）如图2在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+3、l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用（1）、（2）的结论求出点M的坐标．
19．（1）已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，CD平分∠ACB，点E 为AB中点，PE⊥AB交CD的延长线于P，猜想：∠P AC+∠PBC＝°（直接写出结论，不需证明）．
（2）已知：如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC≠45°，CD平分∠ACB，点E 为AB中点，PE⊥AB交CD的延长线于P，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．
20．如果定义：“到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．”例如：如图1所示，若PC＝PB，则称点P为△ABC的准外心．
（1）观察并思考，△ABC的准外心有个．
（2）如图2，△ABC是等边三角形，CD⊥AB，准外心点P在高CD上，且PD＝，在图中画出点P点，求∠APB的度数．
（3）已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心点P在AC边上，在图中画出P点，并求P A的长．
21．如图1，在平面直角坐标系中，已知等腰△AOB顶点A的坐标是（2，1），AO＝AB．（1）求点B的坐标．
（2）过点B作BC⊥OA，交OA的延长线于点C，一等腰直角三角尺如图2摆放，它的直角顶点为D，一条直角边与AB边重合，另一条直角边恰好过点O．
①请你通过观察，猜想OD与BC满足的数量关系，并证明你的猜想．
②当三角尺沿AB方向平移到图3所示的位置时，一条直角边仍与AB重合，另一条直角
边交OB于点E，过E点作EF⊥OA于点F．请你猜想并证明EF，ED与BC之间满足的数量关系．
22．已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．
（1）如图1，若∠DAC＝2∠ABC，△ACB≌△DAC，则∠ABC＝°；
（2）如图2，若∠ABC＝30°，△ACD是等边三角形，AB＝3，BC＝4．求BD的长．
参考答案
1．（1）解：∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∴∠B＝30°，
∴OA＝OB＝，
由勾股定理得：AB＝3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，
∴OC＝BC，
在△AOC中，AO2+AC2＝CO2，
∴+（3﹣OC）2＝OC2，
∴OC＝2＝BC，
答：OC＝2，BC＝2．
（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，
则CP＝2﹣t，CQ＝t，
过P作PH⊥OC于H，
∠HCP＝60°，
∠HPC＝30°，
∴CH＝CP＝（2﹣t），HP＝（2﹣t），
∴S△CPQ＝CQ×PH＝×t×（2﹣t），
即S＝﹣t2+t；
②当t＝2时，P和C重合，Q和O重合，此时△CPQ不存在；
③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，
过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，
∵CO＝2，∠NOC＝60°，
∴CZ＝，
CP＝t﹣2，OQ＝t﹣2，
∠NOC＝60°，
∴∠GPO＝30°，
∴OG＝OP＝（4﹣t），PG＝（4﹣t），
∴S△CPQ＝S△COQ﹣S△OPQ＝×（t﹣2）×﹣×（t﹣2）×（4﹣t），即S＝t2﹣t+；
④当t＝4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）
过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，
∵∠B＝30°，由（1）知BC＝2，
∴CM＝BC＝1，
有勾股定理得：BM＝，
∵OB＝2，
∴OM＝2﹣＝＝CK，
∴S＝PQ×CK＝×2×＝；
综合上述：S与t的函数关系式是：S＝；
．
（3）解：如图（2），∵ON⊥OB，
∴∠NOB＝90°，
∵∠B＝30°，∠A＝90°，
∴∠AOB＝60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°，
∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°，
①OM＝PM时，
∠MOP＝∠MPO＝30°，
∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°，
∴OP＝2OQ，
∴2（t﹣2）＝4﹣t，
解得：t＝，
②PM＝OP时，
此时∠PMO＝∠MOP＝30°，
∴∠MPO＝120°，
∵∠QOP＝60°，
∴此时不存在；
③OM＝OP时，
过P作PG⊥ON于G，
OP＝4﹣t，∠QOP＝60°，
∴∠OPG＝30°，
∴GO＝（4﹣t），PG＝（4﹣t），
∵∠AOC＝30°，OM＝OP，
∴∠OPM＝∠OMP＝75°，
∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45°，
∴PG＝QG＝（4﹣t），
∵OG+QG＝OQ，
∴（4﹣t）+（4﹣t）＝t﹣2，
解得：t＝
综合上述：当t为或时，△OPM是等腰三角形．2．证明：（1）∵∠B与∠D互补，∠B＝∠D，
∴∠B＝∠D＝90°，
∠CAD＝∠CAB＝∠DAB＝30°，
∴AB＝AC，AD＝．
∴AB+AD＝．
（2）由（1）知，AE+AF＝AC，
∵AC为角平分线，CF⊥AD，CE⊥AB，
∴CE＝CF．
而∠ABC与∠D互补，
∠ABC与∠CBE也互补，
∴∠D＝∠CBE．
∵在Rt△CDF与Rt△CBE中，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE．
∴DF＝BE．
∴AB+AD＝AB+（AF+FD）＝（AB+BE）+AF＝AE+AF＝AC．3．解：△DEF是等腰三角形．
证明：如图，过点C作CP⊥AC，交AN延长线于点P，
∵Rt△ABC中AB＝AC，
∴∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠PCN＝∠ACB，∠BAD＝∠ACP，
∵AM⊥BD，
∴∠ABD+∠BAM＝∠BAM+∠CAP＝90°，
∴∠ABD＝∠CAP，
∴△BAD≌△ACP（AAS），
∴AD＝CP，∠ADB＝∠P，
∵AD＝CE，
∴CE＝CP，
∵CN＝CN，
∴△CPN≌△CEN（ASA），
∴∠P＝∠CEN，
∴∠CEN＝∠ADB，
∴∠FDE＝∠FED，
∴△DEF是等腰三角形．
附加题：△DEF为等腰三角形，
证明：过点C作CP⊥AC，交AM的延长线于点P，
∵Rt△ABC中AB＝AC，
∴∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠PCN＝∠ACB＝∠ECN，
∵AM⊥BD，
∴∠ABD+∠BAM＝∠BAM+∠CAP＝90°，
∴∠ABD＝∠CAP，
∴△BAD≌△ACP（AAS），
∴AD＝CP，∠D＝∠P，
∵AD＝EC，CE＝CP，
又∵CN＝CN，
∴△CPN≌△CEN（SAS），
∴∠P＝∠E，
∴∠D＝∠E，
∴△DEF为等腰三角形．
4．解：（1）设AP＝xcm，则AB＝4xcm，BC＝3xcm，
据题意得：4x+4x+3x＝99，x＝9，
所以AB＝AC＝36cm，BC＝27cm；
（2）∵AP＝9cm，∴运动速度为9÷6＝1.5cm/s；
（3）出发后3×6＝18s后，乙丙两球首次同时在同一条边上运动．它们在同一条边上运动的时间为（36﹣27）÷1.5＝6（s）．5．（1）证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝72°，（1分）
∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝36°
∴∠3＝∠1+∠A＝72°，
∴∠1＝∠A，∠3＝∠C，
∴AD＝BD，BD＝BC，
∴△ABD与△BDC都是等腰三角形．
（2）解：如下图所示：
（3）解：如图所示：
（4）解：
特征一：直角三角形（直角边不等）；
特征二：2倍内角关系，在△ABC中，∠A＝2∠B，0°＜∠B＜45°，其中，∠B≠30°；
6．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴有勾股定理得AC＝8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm
∴出发2秒后，则CP＝2cm，那么AP＝6cm．
∵∠C＝90°，
∴有勾股定理得PB＝2cm
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝6+10+2＝（16+2）cm；
（2）若P在边AC上时，BC＝CP＝6cm，
此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
若P在AB边上时，有两种情况：
①若使BP＝CB＝6cm，此时AP＝4cm，P运动的路程为12cm，
所以用的时间为12s，故t＝12s时△BCP为等腰三角形；
②若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，
根据勾股定理求得BP＝7.2cm，
所以P运动的路程为18﹣7.2＝10.8cm，
∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；
③若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴P A＝PC ∴P A＝PB＝5cm
∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．
∴t＝6s或13s或12s或10.8s时△BCP为等腰三角形；
（3）当P点在AC上，Q在AB上，则AP＝8﹣t，AQ＝16﹣2t，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴8﹣t+16﹣2t＝12，
∴t＝4；
当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t﹣8，AQ＝2t﹣16，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t﹣8+2t﹣16＝12，
∴t＝12，
∴当t为4或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
7．解：（1）∵∠B＝∠C＝35°，
∴∠BAC＝110°，
∵∠BAD＝80°，
∴∠DAE＝30°，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°；
（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，
∴∠E＝75°﹣18°＝57°，
∴∠ADE＝∠AED＝57°，
∴∠ADC＝39°，
∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，
∴∠BAD＝36°；
（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β
①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，
∴，
（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，
∴2α＝β；
②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，
∴，
（2）﹣（1）得α＝β﹣α，
∴2α＝β；
③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，
∴，
（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，
∴2α＝β．
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．
8．解：（1）CM＝EM′．
证明：根据线段中点的概念和已知的AB＝BD，得BM＝DM′；
在△BCM与△DEM′中，
∴Rt△BCM≌Rt△DEM′（SAS），
∴CM＝EM′；
（2）CK＝KE．理由如下：
如图2，延长MK至L，使KL＝MM'，连接LE，
则KL+KM′＝MM'+KM′，即KM＝LM′，
由（1）可知CM＝EM′，
∵BD＝AB，M是AB的中点，M'是BD的中点，
∴BM＝BM′，
∴∠BMM′＝∠BM′M，
由（1）知Rt△BCM≌Rt△DEM′，
∴∠BMC＝∠EM′D，
∴∠CMK＝∠KM′E，
在△CMK和△EM′L中
∴△CMK≌△EM′L（SAS），
∴CK＝EL，
又∵∠CKM＝∠LKE＝∠KLE，
∴KE＝LE，
∴CK＝KE．
9．解：（1）结论：BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD．
理由：∵BM、DM分别是Rt△DEC、Rt△EBC的斜边上的中线，
∴BM＝DM＝CE；
又∵BM＝MC，∴∠MCB＝∠MBC，即∠BME＝2∠BCM；
同理可得∠DME＝2∠DCM；
∴∠BME+∠DME＝2（∠BCM+∠DCM），即∠BMD＝2∠BCD．
（2）在（1）中得到的结论仍然成立．即BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD
证法一：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM＝EC＝MC，
又点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴DM＝EC＝MC，
∴BM＝DM；
∵BM＝MC，DM＝MC，
∴∠CBM＝∠BCM，∠DCM＝∠CDM，
∴∠BMD＝∠EMB﹣∠EMD＝2∠BCM﹣2∠DCM
＝2（∠BCM﹣∠DCM）＝2∠BCD，
即∠BMD＝2∠BCD．
证法二：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM＝EC＝ME；
又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，
∴DM＝EC＝MC，
∴BM＝DM；
∵BM＝ME，DM＝MC，
∴∠BEC＝∠EBM，∠MCD＝∠MDC，
∴∠BEM+∠MCD＝∠BAC＝90°﹣∠BCD，
∴∠BMD＝180°﹣（∠BMC+∠DME），
＝180°﹣2（∠BEM+∠MCD）＝180°﹣2（90°﹣∠BCD）＝2∠BCD，即∠BMD＝2∠BCD．
（3）所画图形如图所示：
图1中有BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD；
图2中∠BCD不存在，有BM＝DM；
图3中有BM＝DM，∠BMD＝360°﹣2∠BCD．
解法同（2）．
10．解：①相等，
过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠BAC＝15°，
∴∠CDA＝75°，
∵∠MFC＝45°，∠MFN＝120°，
∴∠NFE＝15°，
∴∠NEF＝75°＝∠MDF，
在△DMF和△ENF中，
，
∴△DMF≌△ENF（AAS），
∴FE＝FD；
②成立．
过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°，
∴四边形BNFM是圆内接四边形，
∵∠ABC＝60°，
∴∠MFN＝180°﹣∠ABC＝120°，
∵∠CF A＝180°﹣（∠F AC+∠FCA）＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣（180°
﹣∠ABC）＝180°﹣（180°﹣60°）＝120°，
∴∠DFE＝∠CF A＝∠MFN＝120°．
又∵∠MFN＝∠MFD+∠DFN，∠DFE＝∠DFN+∠NFE，∴∠DFM＝∠NFE，
在△DMF和△ENF中，
∴△DMF≌△ENF（ASA），
∴FE＝FD．
11．解：（1）∵ED垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠BCD，
∴BD＝CD，
∴DA＝DB＝DC；
（2）如图，作线段MF的垂直平分线交FP于点O，
∵PM⊥FH，PN⊥FG，
∴△MPF和△NPF都是直角三角形；
作线段MF的垂直平分线交FP于点O，
由（1）中所证可知OF＝OP＝OM；
作线段FN的垂直平分线也必与FP交于点O；
∴OM＝OP＝OF＝ON，
又∵MN⊥FP，
∴∠OKM＝∠OKN＝90°，
∵OK＝OK；
∴Rt△OKM≌Rt△OKN；
∴MK＝NK；
∴△FKM≌△FKN；
∴∠MFK＝∠NFK，
即FP平分∠HFG．
12．解：（1）不存在．
过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝4，
∵AC＝5，
∴CD＝＝3，
∵∠C是公共角，∠ADC＝∠MNC，
∵BM＝2t，CN＝t，
∴MC＝BC﹣BM＝10﹣2t，
∴，
解得：t＝，
∴当t＝时，MN垂直AC但不平分；
（2）若①CM＝CN，则10﹣2t＝t，
解得：t＝；
②若CN＝MN，过点N作NE⊥BC于点E，
则CE＝CM＝（10﹣2t）＝5﹣t，
∵t＝；
③若MN＝CM，同理可得：t＝．
综上可得：t＝或或．
13．（1）证明：∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠BEO＝∠CFO＝90°．
∵在Rt△OBE和Rt△OCF中
，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC．
（2）解：成立．
证明：过O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E、F，则∠BEO＝∠CFO＝90°，
∵在Rt△OBE和Rt△OCF中
，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．
∴∠EBO＝∠FCO．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB．
∴∠EBO+∠OBC＝∠FCO+∠OCB．
即∠ABC＝∠ACB．
∴AB＝AC．
（3）解：不一定成立，如右图．
14．解：（1）∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝＝＝72°；
（2）①如图（2），△ADB、△BCD是等腰三角形．
说明△ADB是等腰三角形，理由：
由（1）得：∠ABC＝72°，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠ABC＝36°，
又∵∠A＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，即△ADB是等腰三角形．
说明△BCD是等腰三角形，理由：
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣36°）＝72°
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC＝∠ABC＝36°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠C＝∠BDC，
∴BD＝BC，即△BCD是等腰三角形．
②存在3个点P，使得△CDP是等腰三角形．
当以∠CDP为顶角，CD为一腰时，∠CPD＝72°；
当以∠DCP为顶角，CD为一腰时，存在两点P：
一点在线段BC延长线上，此时∠CPD＝36°；
一点在线段BC上，此时∠CPD＝＝54°．
15．解：（1）ME＝MF，ME⊥MF．
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C
∵BM＝CM，∠BME＝CMF
∴△BEM≌△CFM
∴ME＝MF
∵∠EMA+∠AMF＝∠FMC+∠AMF＝∠AMC＝90°
∴ME⊥MF
（2）ME＝MF，ME⊥MF；
证明：连接AM
∵△ABC是等腰直角三角形，M为斜边BC的中点
∴AM＝BC＝CM，AM⊥BC，∠EAM＝∠C＝45°
∴∠AMC＝90°
∵两个三角形是等腰直角三角形，且斜边平行，直角顶点P在斜边BC上移动∴四边形AEPF为长方形，
∴AE＝PF，
∵∠C＝45°，∠PFC＝90°，
∴∠FPC＝∠C＝45°，
∴AE＝PF＝CF，
∴△AEM≌△CFM
∴ME＝MF，∠AME＝∠CMF
∴∠EMA+∠AMF＝∠FMC+∠AMF＝∠AMC＝90°
∴ME⊥MF
（3）ME＝MF，ME⊥MF仍然成立．
16．（1）解：如图，“∠EMD＝2∠DAC”成立．
理由：∵BE⊥CA，AD⊥BC，
∴∠BEA＝∠ADB＝90°，
∵BM＝AM，
∴EM＝BM＝AM＝DM，
∴B、D、A、E四点共圆，
∴∠DAC＝∠EBD，
∵∠EMD＝2∠EBD，
∴∠EMD＝2∠DAC．
（2）解：①当点E在CA的延长线上，
∵△EMD是等边三角形，
∴∠EMD＝60°，
∴∠DAC＝∠EBC＝30°，设DC＝a，则AC＝2a，AD＝a，在Rt△BEC中，BC＝2EC，
∴4+a＝2（1+2a），
∴a＝，
∴AD＝，
在Rt△ADB中，AB＝＝，
∴DM＝AB＝，
∴△EDM的周长为．
②如图当点E在线段AC上时，
∵△EMD是等边三角形，
∴∠EMD＝60°，
∴∠DAC＝∠EBC＝30°，设DC＝a，则AC＝2a，AD＝a，在Rt△BEC中，BC＝2EC，
∴4+a＝2（2a﹣1），
∴a＝2
∴AD＝2，
在Rt△ADB中，AB＝＝2，
∴DM＝AB＝，
∴△EDM的周长为3．
综上所述，△EDM的周长为或3．
17．（1）证明：作PM⊥CF，
∵PD⊥AB，CF⊥AB，
∴∠FDP＝∠DFM＝∠FMP＝90°，
∴四边形PDFM是矩形，
∴PD＝FM．
∵PE⊥AC，且PM⊥CF，
∴∠PMC＝∠CEP＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AB⊥FC，PM⊥FC，
∴AB∥PM，
∴∠MPC＝∠B，
∴∠MPC＝∠ECP，
在△PCM和△CPE中，
∵，
∴△PCM≌△CPE（AAS），
∴CM＝PE，
∴PD+PE＝FM+MC＝CF；
（2）PD﹣PE＝CF；
证明如下：
作CM⊥PD于M，同（1）得四边形CMDF是矩形，则CF＝DM，∴CM∥AB，∴∠MCP＝∠B，
又∠ACB＝∠ECP（对顶角相等），
且AB＝AC得到∠B＝∠ACB，
∴∠MCP＝∠ECP，
又PE⊥AC，CM⊥PD，∴∠PMC＝∠PEC＝90°，
在△PCM和△PCE中，
∵，
∴△PCM≌△PCE（AAS），
∴PM＝PE，
∴PD﹣PE＝PD﹣PM＝DM＝CF．
18．解：（1）∵S△ABC＝S△ABM+S△AMC，S△ABM＝×AB×ME＝×AB×h1，S△AMC＝×AC×MF＝×AC×h2，
又∵S△ABC＝×AC×BD＝×AC×h，
∴×AC×h＝×AB×h1+×AC×h2，
∴h1+h2＝h．
（2）h1﹣h2＝h．
（3）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3；令y＝0得x＝﹣4，则：
A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0），
AB＝＝5，AC＝5，
所以AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．
①当点M在BC边上时，由h1+h2＝h得：
1+M y＝OB，M y＝3﹣1＝2，把它代入y＝﹣3x+3中求得：M x＝，
∴M（，2）；
②当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2＝h得：M y﹣1＝OB，M y＝3+1＝4，
把它代入y＝﹣3x+3中求得：M x＝﹣，
∴M（﹣，4），
∴点M的坐标为（，2）或（，4）．
19．解：（1）猜想：∠P AC+∠PBC＝180°；
（2）结论：依然成立．
证明：连接CE．
∵E为AB中点，
∴AE＝EB＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠DCE＝∠ECA﹣∠DCA＝∠EAC﹣45°，
又∵∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣45°＝135°﹣∠PDE，
∴∠DCE＝135°﹣∠PDE﹣45°＝90°﹣∠PDE＝∠DPE，
∴PE＝EC＝AE，
∴△P AE与△PBE为等腰直角三角形，∠APB＝90°，
∴∠P AC+∠PBC＝360°﹣∠APB﹣∠ACB＝360°﹣90°﹣90°＝180°．
20．解：（1）∵到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心，∴△ABC的准外心是：AB，BC，AC的垂直平分线上的点．
∴△ABC的准外心有无数个．
故答案为：无数；
（2）①若PB＝PC，连接PB，则∠PCB＝∠PBC，
∵CD为等边三角形的高，
∴AD＝BD，∠PCB＝30°，
∴∠PBD＝∠PBC＝30°，
∴PD＝DB＝AB，
与已知PD＝AB矛盾，∴PB≠PC，
②若P A＝PC，连接P A，同理可得P A≠PC，
③若P A＝PB，由PD＝AB，得PD＝BD，
∴∠APD＝45°，
∴∠APB＝90°；
（3）∵BC＝5，AB＝3，
∴AC＝＝4，
①若PB＝PC，设P A＝x，则x2+32＝（4﹣x）2，
∴x＝，即P A＝，
②若P A＝PC，则P A＝2，
③若P A＝PB，由图知，在Rt△P AB中，不可能．
故P A＝2或．
21．解：（1）过A作AM⊥OB于M．
∵A的坐标是（2，1），
∴OM＝2．
又∵AO＝AB，
∴OB＝4．（2分）
∴B的坐标是（4，0）．（3分）
（2）①OD＝BC．（4分）
证明：在△ODA与△BCA中，
，
∴△ODA≌△BCA．（AAS）
∴OD＝BC．（7分）
②DE+EF＝BC．（8分）
方法一：连接AE．
S△ABO＝OA．BC，
S△ABO＝S△ABE+S△AEO
＝AB．DE+OA．EF，
＝OA（DE+EF），
∴DE+EF＝BC．（10分）
方法二：过点E作EG⊥BC，G为垂足，交AB于点H．
再利用△DEH≌△GBH得到DE＝BG．
22．解：（1）∵AC＝AD，
∴∠D＝∠ACD，
∵△ACB≌△DAC，
∴∠DAC＝∠ACB，∠B＝∠BAC，
∵∠DAC＝2∠ABC，
∴∠ACB＝2∠ABC，
∴∠ABC＝45°；
（2）如图，以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE＝60°，并在AE上取AE＝AB，连接BE和CE．
∵△ACD是等边三角形，
∴AD＝AC，∠DAC＝60°．
∵∠BAE＝60°，
∴∠DAC+∠BAC＝∠BAE+∠BAC．即∠EAC＝∠BAD．
∴△EAC≌△BAD．
∴EC＝BD．
∵∠BAE＝60°，AE＝AB＝3，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠EBA＝60°，EB＝3．
∵∠ABC＝30°，
∴∠EBC＝90°．
∵∠EBC＝90°，EB＝3，BC＝4，
∴EC＝5∴BD＝5．。