高三数学复习课件【数系的扩充与复数的引入】

所以|z|＝ 2.
答案：C
返回
3．已知 a∈R，i 为虚数单位，若a2－ ＋ii为实数，则 a 的值为 ________． 解析：由a2－ ＋ii＝a2－ ＋ii22－ －ii＝2a5－1－2＋5 ai 是实数，得－2＋5 a ＝0，所以 a＝－2. 答案：－2
返回
4．已知 a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则 a2＋b2＝ ________，ab＝________.
解得 x＝12，所以 y＝2x＋1＝2. 答案：D
返回
4．若复数 z＝(a－1)＋3i(a∈R )在复平面内对应的点在直线 y＝x
＋2 上，则 a 的值等于
()
A．1
B．2
C．5
D．6
解析：因为复数 z＝(a－1)＋3i(a∈R )在复平面内对应的点为
(a－1,3)，由题意得点在直线 y＝x＋2 上，所以 3＝a－1＋2， 解得 a＝2. 答案：B
返回
1．已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi＝1＋i，则 z2＝ ( )
A．－2i
B．2i
C．－2
D．2
解析：∵zi＝1＋i，∴z＝1＋i i＝1i ＋1＝1－i. ∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i. 答案：A
返回
2．若复数 z 满足(2－i)z＝|1＋2i|，则 z 的虚部为
则zz12＝(
)
A．1＋i
B.35＋45i
C．1＋45i
D．1＋43i
解析：因为复数 z1，z2 在复平面内对应的点关于实轴对称，z1
＝2＋i，所以 z2＝2－i，所以zz12＝22－＋ii＝2＋5 i2＝35＋45i，故选 B. 答案：B
返回 3．已知复数 z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内
数系的扩充与复数的引入
返回
过基 础知 识
返回
1．复数的有关概念 (1)复数的概念：
形如a＋bi(a，b∈R )的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和 _虚__部__．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若 _a_＝__0_且__b_≠__0_，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d (a，b，c，d∈R )．
返回
考点二 复数的几何意义 [考什么·怎么考]
复数的几何意义是高考重点考查的内容之一，一般 以选择题、填空题的形式出现，难度不大.,在复习中理清 复数与复平面内的点以及复平面内以原点为起点的向量 的一一对应关系.
返回
1．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是 ( )
对应的点分别为 A，B，C，若―O→C ＝λ―O→A ＋μ―O→B (λ，μ∈R )，
则 λ＋μ 的值是________． 解析：由条件得―O→C ＝(3，－4)，―O→A ＝(－1,2)，―O→B ＝(1，－1)， 根据―O→C ＝λ―O→A ＋μ―O→B 得 (3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，
()
(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R )中，虚部为 bi.
()
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )
(4)原点是实轴与虚轴的交点．
()
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距
离，也就是复数对应的向量的模．
()
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
答案：C
返回
4．已知复数
z＝i＋i2＋i31＋＋…i ＋i2
018
，则复数
z
在复平面内对应
点的坐标为________．
解析：因为 i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0， 而 2018＝4×504＋2， 所以 z＝i＋i2＋i31＋＋…i ＋i2 018＝i1＋＋i2i＝－1＋1＋i i＝－1＋1＋ii1－1－ii＝ 22i＝i，对应的点为(0,1)． 答案：(0,1)
返回
(2)复数加法的运算定律 设 z1，z2，z3∈C ，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z1＋z2＝ z2＋z1 ； ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) ．
返回
过基础小题
返回
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程 x2＋x＋1＝0 没有解．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔_a_＝__c_，__b_＝__－___d_(a，b，c，d∈R )．
返回
(4)复数的模： 向量―O→Z 的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R )的模，记作|z|或
|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝__a_2_＋__b_2_. 2．复数的几何意义
返回
2．与复数几何意义相关的问题的一般解法 第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数 形式； 第二步，把复数问题转化为复平面内的点之间的关系， 依据是复数 a＋bi 与复平面上的点(a，b)一一对应．
返回
考点三 复数的四则运算 [考什么·怎么考]
复数的四则运算是高考的热点，多以选择题、填空题 的形式出现，难度多为中低档题.
解析：∵(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i， ∴a22a－b＝b24＝，3， ∴ab＝ ＝21， 或ab＝＝－－21，， ∴a2＋b2＝5，ab＝2. 答案：5 2
返回Байду номын сангаас
[怎样快解·准解] 紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题 (1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形 式 z＝a＋bi(a，b∈R )，则该复数的实部为 a，虚部为 b. (2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数 形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复 数 z1＝a＋bi 与 z2＝c＋di 共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R )．
返回
课 堂 考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
返回
考点一 复数的有关概念 [考什么·怎么考]
复数的基本问题主要有复数的分类、相等、模、 共轭复数等，单独考查较少，多与复数运算结合，以 选择题、填空题的形式出现，属于低档题.
返回
1．已知 i 为虚数单位，则11＋－2ii的共轭复数为(
)
A．－12＋32i
A．(－∞，1) C．(1，＋∞)
B．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)
解析：因为 z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，
又此点在第二象限，所以a1＋－1a＜＞00，， 解得 a＜－1. 答案：B
返回
2．设复数 z1，z2 在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，
返回
2．记住以下结论，可提高运算速度
(1)(1±i)2＝±2i；
(2)11＋ －ii＝i；
(3)11＋－ii＝－i;
(4)a＋i bi＝b－ai；
(5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
B.12＋32i
C．－12－32i
D.12－32i
解析：因为11＋－2ii＝11＋－2ii11＋＋ii＝－12＋32i，所以其共轭复数
为－12－32i. 答案：C
返回
2．设复数 z 满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝ ( )
1
2
A.2
B. 2
C. 2
D．2
解析：因为 z＝12＋i i＝12＋ii1－1－i i＝i(1－i)＝1＋i，
返回
5．若复数 z 满足 zi＝1＋i(i 是虚数单位)，则 z 的共轭复数是 ________． 解析：由 zi＝1＋i 可得 z＝1＋i i＝1＋i－ii－ i＝1－i，所以 z 的 共轭复数是 1＋i. 答案：1＋i
返回
6．设复数 z1＝2－i，z2＝a＋2i(i 是虚数单位，a∈R )， 若 z1z2∈R ，则 a＝________. 解析：依题意，复数 z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i 是 实数，因此 4－a＝0，a＝4. 答案：4
∴－2λ－λ＋μμ＝＝－3，4， 解得λμ＝＝－2. 1， ∴λ＋μ＝1. 答案：1
返回
[怎样快解·准解]
1．对复数几何意义的再理解
(1)复数 z、复平面上的点 Z 及向量―O→Z 相互联系，即 z＝a
＋bi(a，b∈R )⇔Z(a，b)⇔
―→ OZ .
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此 可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结 合的方法，使问题的解决更加直观．
2．31＋ ＋ii＝ (
)
A．1＋2i
B．1－2i
C．2＋i
D．2－i
解析： 31＋ ＋ii＝31＋ ＋ii11－ －ii＝4－2 2i＝2－i.
答案：D
返回
返回
3．已知 x，y∈R ，i 是虚数单位，且(2x＋i)(1－i)＝y，则 y
的值为
()
A．－1
B．1
C．－2
D．2
解析： (2x＋i)(1－i)＝(2x＋1)＋(1－2x)i＝y，所以 1－2x＝0，
()
5 A. 5
5 B. 5 i
C．1
D．i
解析：由题意可知 z＝|12＋－2ii|＝2－5i2＋2＋ii＝ 525＋i＝255＋
55i，故其虚部为
5 5.
答案：A
返回
3．设复数 z 满足1＋z i2＝1－i，则 z＝(
)
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
解析：由题意得 z＝11＋－ii2＝12－i i＝12－ii1＋1＋i i＝－1＋i.
返回 [怎样快解·准解] 1．复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的加减法 在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则 (实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可． (2)复数的乘法 复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可． (3)复数的除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注 意把 i 的幂写成最简形式．
(1)复数 z＝a＋bi
复平面内的点 Z(a，b) (a，b∈R )．
(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R )
_平__面__向__量__―O_→_Z_ .
3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则
返回
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R )，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i ； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ； ④除法：zz12＝ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝acc2＋＋bd2d＋bcc2－ ＋ad2di (c＋di≠0)．