2023-2024学年山东省济南市章丘区九年级上学期数学期中试题及答案

2023-
2024学年山东省济南市章丘区九年级上学期数学期中试题及答案
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 下列四个几何体中，主视图为圆的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何体的主视图是否为圆进行判断即可．
【详解】解：A．圆锥的主视图是三角形，不合题意；
B．球的主视图是圆，符合题意；
C．正方体的主视图是正方形，不合题意；
D．圆柱的主视图是长方形，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三视图，解题时注意：从正面看到的图形是主视图．
2. 若
3
4
y
x
=，则
x y
x
+
的值为（ ）
A. 1
B. 4
7
C.
5
4
D.
7
4
【答案】D 【解析】
【详解】∵
3
4 y
x
=，
∴x y x +=3114y x =+=+=74
，故选：D
3. 已知点(3,2)A -在双曲线k y x =
上，则下列各点也在此双曲线上的是（ ）A. (1,6)
B. (2,3)
C. (1,6)--
D. (2,3)-【答案】D
【解析】
【分析】将点(3,2)A -代入双曲线k y x =
，求得k 的值，然后由给点的横纵坐标相乘，结果是﹣6的，就在此函数图象上．
【详解】∵A（3，﹣2）在双曲线k y x
=上，∴()326k xy ==⨯-=-，
∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为﹣6的点在函数图象上．
A 、因为166⨯=≠k，所以该点不在双曲线k y x
=上．故A 选项错误；B 、因为236⨯＝≠k，所以该点在双曲线k y x
=上．故B 选项错误；C 、因为()()616-⨯-=≠k，所以该点不在双曲线k y x =
上．故C 选项错误；D 、因为()236-⨯=-＝k ，所以该点不在双曲线k y x
=上．故D 选项正确．故选D ．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
4. 顺次连结某四边形的中点所得的图形是菱形，则这个某四边形一定是（ ）
A. 正方形
B. 矩形
C. 对角线相等的四边形
D. 平行四边形
【解析】
【分析】连接AC 、BD ，根据三角形中位线定理得到EH AC FG ∥∥，
12EH FG AC ==，同理可证，12
EF GH BD ==，可知当BD AC =时，四边形为菱形．【详解】解：如图
连接AC 、BD ，
E 、
F 、
G 、
H 分别是四边形ABCD 各边中点，
EH AC ∴ ，GF AC ∥，即，12
EH AC =，12GF AC =，同理可证，12
EF GH BD ==，∴当BD AC =时，EF GH GF EH ===，
即，四边形EFGH 是菱形，
即顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形时，该四边形一定是对角线相等的四边形，
故选：C ．
【点睛】本题主要考查的是中点四边形，掌握菱形的判定定理，三角形的中位线定理是解此题的关键．
5.
在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同.每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子.通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是（ ）
A. 2
B. 12
C. 18
D. 24
【解析】
【分析】根据用频率估计概率可知:
摸到白球的概率为0.25,根据概率公式即可求出小球的总数,从而求出红球的个数.
【详解】解:小球的总数约为:6÷0.25=24(个)
则红球个数为:24－6=18(个)
故选C.
【点睛】此题考查的是用频率估计概率和根据概率求小球的总数,掌握概率公式是解决此题的关键.
6.
若关于x 一元二次方程230x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（ ）
A. 9
- B. 94- C. 94 D. 9【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得Δ0=，进而即可求解．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个相等的实数根，
∴24940b ac m ∆=-=-=．解得：94m =
．故选：C ．
【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++=
(0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．
7. 如图，在矩形ABCD 中，连接BD ，将BCD △沿对角线BD 折叠得到,BDE BE 交AD 于点O ，BE 恰好平分ABD
，若AB =O 到BD 的距离为（ ）
的的
B. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】如图，过点O作OF⊥BD于F，可得OF为点O到BD的距离，根据矩形的性质可得∠A=∠ABC=90°，根据折叠性质可得∠EBD=∠CBD，根据角平分线的定义可得∠ABO=∠EBD，即可得出∠ABO=30°，根据角平分线的性质可得OA=OF，利用∠ABO的正切值求出OA的值即可得答案．
【详解】如图，过点O作OF⊥BD于F，
∴OF为点O到BD的距离，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
△沿对角线BD折叠得到△BDE，
∵将BCD
∴∠EBD=∠CBD，
，
∵BE恰好平分ABD
∴∠ABO=∠EBD，OA=OF，
∴∠EBD=∠CBD=∠ABO，
∴∠ABO=30°，
∵AB
∴OF=OA=AB·tan30°=2，
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质、折叠性质、角平分线的性质及解直角三角形，熟练掌握相关性质，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
8.
如图，ABC ∽ADE V ，ABC S ：1BDEC S =四边形：2，其中CB =
DE 的长为（
）
B. C. D. 6
【答案】A
【解析】【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：ABC S ：1BDEC S =四边形：2，
ABC S ∴ ：1ADE S =△：3，
ABC ∽ADE V ，
BC DE ∴=，
CB = ，
DE ∴=故选：A ．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
9. 已知点()14,A y -，()22,B y -，()33,C y 都在反比例函数()0k y k x
=<的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）
A. 321
y y y << B. 132y y y <<C. 312y y y << D. 231
y y y <<
【答案】C
【解析】
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k 确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【详解】解： 在反比例函数(0)k y k x
=<中，0k <，∴此函数图象在二、四象限，
420-<-< ，
∴点()14,A y -，2(2,)B y -在第二象限，
10y ∴>，20y >，
函数图象在第二象限内为增函数，420-<-<，
120y y ∴<<．
30> ，3(3,)C y ∴点在第四象限，
30y \<，
1y ∴，2y ，3y 的大小关系为312y y y <<．
故选：C ．
【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
10.
在正方形ABCD 中，2AB =，E 是BC 的中点，在BC 延长线上取点F 使EF ED =，过点F 作FG ED ⊥交ED 于点M ，交AB 于点G ，交CD 于点N ，以下结论中：①12CN CF =；
②NM NC =；③12CM EG =；④GBEM S =四边形．正确的是（ ）
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
【答案】B
【解析】【分析】根据已知确定:1:2CE CD =，再证明DEC FEM ≌ 可得
2,1,2MF CD ME CE MF CD ======，进一步证明MEF CNF ∽ ，判定①对，然后证明Rt Rt DMN FCN ≌ 可得NM CN =得出②对，由三角形全等，勾股定理得③错误；在Rt EFM △
中，EF =
，则1BF =+，再证明Rt Rt GBF FCN ∽ 可得12GF CN BF CF ==
，则12GF BF ==
，所以11212BGE S GE BE =⨯==⋅ ，由Rt Rt GBE GME ≌ ，即可得④对从而的结论．
【详解】解：∵正方形ABCD 中，2AB =，E 是BC 的中点，
1,2,90BE CE CD AB DCE ∴====∠=︒，
:1:2CE CD ∴=，
在DEC 和FEM △中，
90DEC MEF DCE FME EF ED ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
()AAS DEC FEM ∴≌ ，
2,1,2MF CD ME CE MF CD ∴======，
,90FG ED DCF ⊥∠=︒ ，
90EMF DCF ∴∠=∠=︒，
又F F ∠=∠ ，
MEF CNF ∴∽ ，∴12
CN ME CF MF ==，故①对；EF ED = ，
EF CE ED EF ∴-=-，
DM FC ∴=，
MND FNC ∠= ，
Rt Rt DMN FCN ∴≌ ，
NM CN ∴=，故②对；
,BE EC ME EC == ，
BE ME ∴=，
GE GE =，
()Rt Rt HL GBE GME ∴≌ ，
BEG MEG ∴∠=∠，
,ME EC EMC ECM =∠=∠ ，
EMC ECM BEG MEG ∠+∠=∠+∠ ，
GEB MCE ∴∠=∠，
MC GE ∴∥，
CMF EGF ∴∽ ，
CM CF EG EF
=∴，
EF DE === 1CF EF EC =-=-，
CM EG ==∴，故③错误；
在Rt EFM △中，EF ===
1BF BE EF ∴=+=CN BG ∥ ，
Rt Rt GBF FCN ∴∽ ，∴12
GF CN BF CF ==，
12GF BF ∴==，
11212BGE GE S BE ∴⨯==⋅=
1,BE ME GE EG === ，
()Rt Rt HL GBE GME ∴≌ ，
22BGE GBEM S S ∴===四边形 ，故④对，故选：B ．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质、勾股定理、正方形的性质、相似三角形的性质乃综合题，理解题意是解决问题的关键．
二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 如图，在菱形ABCD 中，1060AB B ︒=∠=，，则AC 的长为___________．
【答案】10
【解析】
【分析】由菱形ABCD 中，=60B ∠︒，易证得ABC 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴10AB BC ==，
∵=60B ∠︒，
∴ABC 是等边三角形，
∴10AC =．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的关键．
12.
如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB EF CD ∥∥.若2AO =，1OF =，2FD =.则BE EC 的值为______．
【答案】
32
【解析】【分析】由平行线分线段成比例可得，21BO AO OE OF ==，12
OE OF EC FD ==，得出2BO OE =，2EC OE =，从而2322
BE OE OE EC OE +==.【详解】AB EF CD ， 2AO =，1OF =，21
BO AO OE OF ∴==，2BO OE ∴=，12OE OF EC FD ==
，2EC OE ∴=，
2322
BE OE OE EC OE +∴==；故答案为：32
.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.
13.
一个布袋里装有2个只有颜色不同的球，其中1个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球恰好颜色不同的概率是______．【答案】
12
【解析】
【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，两次摸到的球是一白一红的结果有2种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，两次摸到的球是一白一红的结果有2种，
∴两次摸到球是一白一红的概率为
2142=，故答案为：12
．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
14. 已知α、β是方程2210x x +-=的两个实数根，则23ααβ++的值为_______．
【答案】1
-【解析】
【分析】根据题意求出221αα+=，2αβ+=-的值，代入代数式进行计算即可．
【详解】解：∵已知α、β是方程2210x x +-=的两个实数根，
∴2210+-=αα，2
αβ+=-∴221αα+=，
∴2232121ααβαααβ++=+++=-=-．
故答案为：1-．
【点睛】本题考查的是根与系数的关系，熟知12x x ，是一元二次方程
()200ax bx c a ++=≠的两根时，1212b c a x x x x a
+=-=是解题的关键．15.
如图Rt OAB 中，直角顶点O 在坐标原点，且2OB OA =，点A 在()20=>y x x
上，点B 在k y x
=上，则k =__________
．的
【答案】8
【解析】
【分析】过点B 作BN x ⊥轴交于点N ，过点A 作AM x ⊥轴交于点M ，结合题意和直角三角形两个锐角互余可推得NBO AOM ∠=∠，BON OAM ∠=∠，根据相似三角形的判定和性质可得2BN OM =，2ON AM =，设AM a =，则2ON a =，根据题意可求得2OM a =，4BN a =，推得点B 的坐标，代入k y x
=，即可求解．【详解】解：过点B 作BN x ⊥轴交于点N ，过点A 作AM x ⊥轴交于点M ，如图：
∵90AOB ∠=︒，BN x ⊥轴，AM x ⊥轴，
∴90BON AOM ∠+∠=︒，90BON NBO ∠+∠=︒，90OAM AOM ∠+∠=︒，∴NBO AOM ∠=∠，BON OAM ∠=∠，
∴NBO MOA ∽，∴=BN ON OB OM AM OA
=，∵2OB OA =，
∴2BN OM =，2ON AM =，
设AM a =，则2ON a =，
∵点A 在()20=
>y x x
上，将y a =代入()20=>y x x 得：2x a
=，∴2OM a =，
则4BN a
=，故42,B a a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，∵点B 在k y x
=上，将42,B a a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭代入k y x =得：42k a a =-，解得：8k =-，
故答案为：8 ．
【点睛】本题考查了直角三角形两个锐角互余，相似三角形的判定和性质，求反比例函数的函数值和自变量，熟练掌握反比例函数上点的特征是解题的关键．
16.
如图，在矩形ABCD 中，BD 为对角线，将矩形ABCD 沿BE 、BF 所在直线折叠，使点A 落在BD 上的点M 处，点C 落在BD 上的点N 处，连接EF ，交BD 于点O ．已知6,8AB BC ==，则OM 的长为________．
【答案】
1817##1117【解析】【分析】根据勾股定理求出BD ，根据折叠的性质得到
,6,8AE EM BM AB BN BC =====，证明EDM BDA ∽ ，根据相似三角形的性质求出DE ，同理出去DF ，进一步求得,EM FN ，根据EOM FON ∽ ，得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，
6,8,90AB CD AD BC A C EDF ∴====∠=∠=∠=︒，
10BD ∴===，
∵将矩形ABCD 沿BE 、BF 所在直线折叠，使点A 落在BD 上的点M 处，点C 落在BD 上
的点N 处，
,6,8,90AE EM BM AB BN BC A BME ∴=====∠=∠=︒，
90,862EMD MN BN BM ∴∠=︒=-=-=，
EDM ADB ∠=∠ ，
EDM BDA ∴∽ ，
ED EM BD AB
∴=，设DE x =，则8AE EM x ==-，∴8106
x x -=，解得，5x =，即5DE =，
853EM ∴=-=，
同理，DNF DCB ∽ ，
DF NF BD BC
∴=，设DF y =，则6CF NF y ==-，∴
6108
y y -=，解得，103y =，即103
DF =，108633NF CF ∴==-=，90EMD BNF ∠=∠=︒ ，
EM FN ∴∥，
EOM FON ∴∽ ，
OM EM ON FN ∴=，即3823
OM OM =-，1817
OM ∴=，故答案为：1817
．【点睛】本题考查了翻折的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折变换的性质、证明三角形相似是解题的关键．
三．解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
（1）2210
x x --=（2）()3122x x x
-=-
【答案】（1）11x =+，21x =-
（2）123
x =-
，21x =【解析】
【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；
（2）变形后用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
2210x x --=由题意得，1,2,1a b c ==-=-，
则()()2
2424118b ac ∆=-=--⨯⨯-=，
∴1x ===±，
即11x =21x =【小问2详解】
()3122x x x
-=-可变为，()()3210
x x +-=则320x +=或10
x -=解得123
x =-，21x =；【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
18. 如图，在矩形ABCD 中，AE BD ⊥于点,E BF AC ⊥于点F ．
求证：AE BF =．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据矩形的性质以及已知条件，AAS 证明AOE BOF △≌△，根据全等三角形的性质，即可得证．
【详解】∵四边形ABCD 是矩形，
∴OA OB =
,AE BD BF AC ⊥⊥ ，
90AEO BFO ︒∴∠=∠=
又∵AOE BOF
∠=∠AOE BOF
∴ ≌AE BF
∴=【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
19. 如图，在 ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC＝∠A，如果BC ，AC ＝3，求CD 的长．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意DBC A ∠∠＝，结合图形中公共角DCB BCA ∠∠＝，推出
BCD ACB ∽，从而利用相似三角形的对应边成比例列出式子进行求解即可．
【详解】解：∵DBC A DCB BCA ∠∠∠∠＝，＝，
∴BCD ACB ∽，
∴BC CD AC CB ==解得CD ＝2，
故CD 长为2．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用相似三角形的判定与性
质是解决本题的关键．
20. 如图，已知O 是坐标原点，A ，B 两点的坐标分别为()()3,1,2,1-．
（1）以点O 为位似中心，在y 轴左侧将OAB 放大为原来的两倍，画出OA B ''△；
（2）A 点的对应点A '的坐标是 ；OA B ''△的面积是 ；
（3）在AB 上有一点(),P x y ，按（1）的方式得到的对应点P '坐标是 ．
【答案】（1）见解析 （2）()6,2-，10
（3）()
2,2x y --【解析】
【分析】本题主要考查了作图-位似变换．
（1）利用位似变换的性质分别作出A ，B 的对应点,A B ''即可；
（2）根据点的位置写出坐标，利用分割法求出三角形面积；
（3）利用位似变换的性质求解．
【小问1详解】
解：如图，OA B ''△即为所求；
【小问2详解】
解：A 点的对应点A '的坐标是()6,2-，
OA B ''△的面积1114624262410222
=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=；
故答案为：()6,2-，10；
【小问3详解】
解：在AB 上有一点(),P x y ，按（1）的方式得到的对应点P '坐标是()2,2x y --．故答案为：()2,2x y --．
21.
如图，O 为平行四边形ABCD 的对称中心，对角线AC⊥AB，过点O 作直线//EF AB ，分别交A D ，BC 于E ，F ，连接AF ，CE ．
（1）证明：四边形AFCE 是菱形；
（2）若四边形AFCE 是正方形且BC ＝6，求AB 的长．
【答案】（1）见解析；（2
）【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质以及O 为平行四边形ABCD 的对称中心得，
()AOE COF AAS ≅ ，由全等的性质得，OE OF =，先证出四边形AFCE 是平行四边形，再由AC AB ⊥，//EF AB ，即可证明四边形AFCE 是菱形；
（2）根据正方形的性质以及//EF AB 可求出，45B CFE ∠=∠=︒，由AC AB ⊥可得，BAC 是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1） 四边形ABCD 是平行四边形，
//AD BC ∴，
AEO CFO \Ð=Ð，
O 为平行四边形ABCD 的对称中心，
OA OC ∴=，
在AOE △与COF 中，
AEO CFO AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()AOE COF AAS ∴≅ ，
OE OF ∴=，
∴四边形AFCE 是平行四边形，
AC AB ⊥ ，//EF AB ，
AC EF ∴⊥，
∴四边形AFCE 是菱形；
（2） 四边形AFCE 是正方形，
90AFC ∴∠=︒，AF CF =，45AFE CFE ∠=∠=︒，
//EF AB ，
45B CFE ∴∠=∠=︒，
AC AB ⊥ ，
BAC ∴ 是等腰直角三角形，
由勾股定理得： 222AB AC BC +=，
2226AB ∴=，
A B ∴=．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，菱形的判定以及正方形的性质，熟记平行四边形和特殊平行四边形的性质与判定条件是解题的关键．
22.
为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C 组所对应的扇形圆心角为_______度；
（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________；
（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
【答案】（1）40，图见解析
（2）72 （3）560
（4）1
2
【解析】
【分析】（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形；
（2）用360°乘以C组人数所占比例即可；
（3）总人数乘以样本中B组人数所占比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
÷=（名），
本次调查总人数为410%40
---=（名），
C组人数为40416128
补全图形如下：
故答案为：40；
【小问2详解】
8
36072
⨯︒=︒，
40
故答案为：72；
【小问3详解】
16
1400560
⨯=（人），
40
故答案为：560；
【小问4详解】
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的结果共有6种，∴选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的概率为61122
=．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体及用列表法或树状图法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
23.
白银市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为20%
（2）该品牌头盔的实际售价应定为50元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x ，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该品牌头盔的实际售价为y 元，根据月销售利润=每个头盔的利润⨯月销售量，即可得出关于y 的一元二次方程，求解出y 的值，根据尽可能让顾客得到实惠取值即可求出结论．
【小问1详解】
解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x ，
依题意，得：()2
1501216x +=，
解得：10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
【小问2详解】
解：设该品牌头盔的实际售价为y 元，
依题意，得：()40306005100000.5y y -⎛
⎫--⨯= ⎪⎝⎭
，整理，得：213040000y y -+=，
解得：180y =（不合题意，舍去），250y =，
尽可能让顾客得到实惠，
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
24.
物体在太阳光线的照射下会留下“影子”，某兴趣小组在利用影子测量物体的高度时，甲同学测得一根长为1米的垂直于地面的标杆，在地面上的影长为0.5米，请解答下列问题．
（1）如图1，乙同学测得旗杆AB 在地面上的影长BC 为6米，那么旗杆AB 的高度为 米．
（2）如图2，丙同学想测量一棵树DE 的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，地面上的影长EF 为3米，墙上的影长GF 长为1米，则树DE 的高度为多少？
（3）如图3，丁同学想测量一根电线杆HI 的高度，他发现电线杆的影子恰好落在地面和一斜坡上，测得地面上的影长IJ 为4米，坡面上的影长JK 为2米，已知斜坡的坡角为30︒，则电线杆的高度是多少？
【答案】（1）12 （2）树DE 的高度为7米
（3）电线杆的高度是(9+米
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用、相似三角形的应用举例．
（1）根据物体的高度与其在地面上的影长的关系计算；
（2）连接DG并延长，交直线EF于点H，根据物体的高度与其在地面上的影长的关系列式计算即可；
（3）连接HK并延长，交直线IJ于点C，过点K作KN IC
⊥于点N，根据锐角三角函数的定义分别求出,
KN JN，计算即可．
【小问1详解】
解：∵一根长为1米的垂直于地面的标杆，在地面上的影长为0.5米，
∴旗杆AB在地面上的影长BC为6米，旗杆AB的高度为12米，
故答案为：12；
【小问2详解】
解：如图2，连接DG并延长，交直线EF于点H，
1
GF=
米，
0.5
FH
∴=米，
3.5
EH EF FH
∴=+=米，则
1 3.50.5 DE
=，
解得：7
DE=，
答：树DE的高度为7米；
【小问3详解】
解：如图3，连接HK并延长，交直线IJ于点C，过点K作KN IC
⊥于点N，
在Rt KJN 中，2JK =米，30KJN ∠=︒，
则112KN JK ==米，cos 2JN JK KJN =⋅∠==由题意得：0.5CN =米，
(
4.5IC ∴=+米，
10.5
=，
解得：9HI =+米，
答：电线杆的高度是(9+米．
25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx b =+与x 轴交于点()4,0A ，与y 轴交于点()0,2B ，与反比例函数m y x
=在第四象限内的图象交于点()6,C a ．
（1）求反比例函数的表达式：
（2）当m kx b x
+>时，直接写出x 的取值范围；
（3）在双曲线m y x
=上是否存在点P ，使ABP 是以点A 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）6y x =-
（2）<2x 或06x <<
（3）()32-，
或()16-，【解析】
【分析】（1）将()4,0A ，()0,2B 代入y kx b =+,求得一次函数表达式，进而可得点C 的坐标，再将点C 的坐标代入反比例函数即可；
（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；
（3）过点A 作AP BC ⊥交y 轴于点M ，勾股定理得出点M 坐标，在求出直线AP 的表达式，与反比例函数联立方程组即可．
【小问1详解】
解：把()4,0A ，()0,2B 代入y kx b =+中得：402k b b +=⎧⎨=⎩
，∴122
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
∴直线y kx b =+的解析式为122
y x =-+，在122
y x =-+中，当6x =时，1212y x =-+=-，∴()61C -，
，把()61C -，代入m y x
=中得：16m -=，∴6m =-，∴反比例函数的表达式6y x =-
；【小问2详解】
的
解：联立1226y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，解得61x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩，∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为()()6123--，
、，，∴由函数图象可知，当<2x -或06x <<时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴当m
kx b x +>时，<2x -或06x <<；
【小问3详解】
解：如图所示，设直线AP 交y 轴于点()0M m ，，
∵()4,0A ，()0,2B ，∴222244BM m m m =-=-+，2222420AB =+=，
2222416AM m m =+=+，
∵ABP 是以点A 为直角顶点的直角三角形，
∴90BAM ∠=︒，
∴222BM BA AM =+，
∴22442016m m m -+=++，
解得8m =-，
∴()08M -，，
同理可得直线AM 的解析式为28y x =-，联立28
6y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得3
2x y =⎧
⎨=-⎩或1
6x y =⎧⎨=-⎩，
∴点P 的坐标为()32-，或()16-，．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
26. （1）问题发现：
如图1，ABC 和DEC 均为等边三角形，直线AD 和直线BE 交于点F ．
填空：①请写出图1中的一对全等三角形： ；
②线段AD BE ，之间的数量关系为 ；
③AFB ∠的度数为 ；
（2）类比研究：
如图2，ABC 和DEC 均为等腰直角三角形，
90,,ABC DEC AB BC DE EC ∠=∠=︒==，直线AD 和直线BE 交于点F ，请判断AFB ∠的度数及线段AD BE ，之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在ABC 中，90,30,5ACB A AB ∠=︒∠=︒=，点D 在AB 边上，DE AC 于点E ，3AE =，将ADE V 绕着点A 在平面内旋转，请直接写出直线ED 经过点B 时BD 长．的
【答案】（1）①ACD 和BCE ；②AD BE =；③60︒；（2）45AFB ∠=︒
，AD =．理由见解析；（3
）4BD =
或4-【解析】
【分析】（1）根据ABC 和DEC 均为等边三角形，①运用等边三角形性质证明()SAS ACD BCE ≌△△；②由ACD BCE △△≌即可得出结论；③由三角形内角和定理及ACD BCE △△≌，即可得到答案；
（2）先根据ABC 和DEC 均为等腰直角三角形，证明ACD BCE △△∽，可得CAD CBE ∠=∠
，AD AC BE CB
==（3）分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】解：（1）∵ABC 和DEC 均为等边三角形，
60,,ACB DCE CA CB CD CE ∴∠=∠=︒==，
ACD BCD BCD BCE ∴∠+∠=∠+∠，
ACD BCE ∠∠∴=，
在ACD 和BCE 中，
CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()SAS ACD BCE ≌△△，
,AD BE CAD CBE ∴=∠=∠，
CBE AFB CAD ACB ∠+∠=∠+∠ ，
60AFB ACB ∴∠=∠=︒，
故答案为：①ACD 和BCE ；②AD BE =；③60︒；
（2）45AFB ∠=︒
，AD =．理由如下：
∵ABC 和DEC 均为等腰直角三角形，90,,ABC DEC AB BC DE EC ∠∠=︒==＝
，AC CD CB CE
∴==45ACB DCE ∠=∠=︒，ACB BCD BCD DCE ∴∠+∠=∠+∠，
即ACD BCE ∠=∠，
∵AC CD CB CE
==，ACD BCE ∴∽ ，
CAD CBE ∴∠=∠，
AD AC BE CB ==，
AD ∴=，
CAD ACB CBE AFB ∠+∠=∠+∠ ，45AFB ACB \Ð=Ð=°；
（3）如图3中，
90AEB ACB =∠=︒ ，
∴A，B ，C ，E 四点共圆，
30,CEB CAB ABD ACE ∴∠=∠=︒∠=∠，30FAE BAC ∠=∠=︒ ，
BAD CAE ∴∠=∠，
BAD CAE ∴∽ ，
∴cos30EC AC BD AB ==︒=
EC ∴，在Rt ADE △中，3,30AE DAE =∠=︒，
DE ∴==
4BE ∴==，
4BD BE DE ∴=-=
如图4中，当D ，EB 在同一直线上时，同法可知4BD DE EB =+=+，
综上所述，4
BD=+或4．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形性质，特殊角三角
函数值，熟练掌握全等三角形判定和性质和相似三角形的判定和性质是解题关键．。