甘肃省天水一中2016-2017学年高一上学期第二次月考数

2016-2017学年甘肃省天水一中高一（上）第二次月考数学试卷
（B卷）
一.选择题：（每小题4分，共40分）
1．设集合{A=x|1＜x＜2}，{B=x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是（）A．{a|a≥2}B．{a|a＞2}C．{a|a≥1}D．{a|a≤2}
2．函数f（x）的定义域为[0，8]，则函数的定义域为（）A．[0，4]B．[0，4） C．（0，4） D．[0，4）∪（4，16]
3．幂函数y=f（x）的图象经过点（2，8），则满足f（x）=27的x为（）
A．3 B．C．27 D．
4．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）
A．①②B．②③C．①④D．③④
5．设lg2=a，lg3=b，则log512等于（）
A．B．C．D．
6．函数f（x）=log2x+2x﹣1的零点必落在区间（）
A．（，）B．（，）C．（，1）D．（1，2）
7．如图是正方体的侧面展开图，l1、l2是两条侧面对角线，则在此正方体中，l1
与l2（）
A．互相平行B．相交且夹角为
C．异面且互相垂直 D．异面且夹角为
8．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC，
侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为（）
A
．2 B．1 C．D．
9．如下图①对应于函数f（x），则在下列给出的四个函数中，图②对应的函数只能是（）
A．y=f（|x|）B．y=|f（x）|C．y=f（﹣|x|）D．y=﹣f（|x|）
10．已知一正方体截去两个三棱锥后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．8 B．7 C．D．
二、填空题：（每小题4分，共16分）
11．（ln5）0+（）0.5+﹣2=．
12．若函数f（2x）=3x2+1，则f（4）=．
13．对于定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+3）=f（x），若f（﹣1）=1，则f （1）+f（2）+…+f（10）=．
14．已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（）=0，则不等式f（log4x）＞0的解集是．
三．解答题：（共4小题，共44分）
15．已知函数f（x）=log2（1﹣x），g（x）=log2（1+x），令h（x）=f（x）﹣g（x）（1）求函数h（x）定义域，判断h（x）的奇偶性并写出证明过程．
（2）判断函数h（x）在定义域内的单调性，写出必要的推理过程．
16．我国科研人员屠呦呦发现从青篙中提取的青篙素抗疟性超强，几乎达到100%，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f（t）；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗有效，求服药一次后治疗有效的时间是多长？
17．如图是一个奖杯三视图，试根据奖杯三视图计算它的表面积与体积．（尺寸
单位：cm，取，结果精确到整数）
18．已知f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，且f（x）满足
对任m，n∈[﹣1，1]，有＞0．
（1）解不等式f（x+）+f（x﹣1）＜0；
（2）若f（x）≤t2﹣2at+1对所有x∈[﹣1，1]、a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t 的取值范围．
（3）若f（x）≤t2﹣2at+2对所有x∈[﹣1，1]，t∈[﹣1，1]恒成立，求实数a 的取值范围．
2016-2017学年甘肃省天水一中高一（上）第二次月考数
学试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一.选择题：（每小题4分，共40分）
1．设集合{A=x|1＜x＜2}，{B=x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是（）A．{a|a≥2}B．{a|a＞2}C．{a|a≥1}D．{a|a≤2}
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】在数轴上画出图形，结合图形易得a≥2．
【解答】解：在数轴上画出图形易得a≥2．
故选A．
2．函数f（x）的定义域为[0，8]，则函数的定义域为（）A．[0，4]B．[0，4） C．（0，4） D．[0，4）∪（4，16]
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由函数f（x）的定义域为[0，8]，求出函数f（2x）的定义域，再由分
式的分母不等于0，则函数的定义域可求．
【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[0，8]，
由0≤2x≤8，解得0≤x≤4．
又x﹣4≠0，
∴函数的定义域为[0，4）．
故选：B．
3．幂函数y=f（x）的图象经过点（2，8），则满足f（x）=27的x为（）
A．3 B．C．27 D．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】设幂函数f（x）=x a，把点（2，8）代入，得2a=8，解得a=3．故f（x）=x3，由此能求出满足f（x）=27的x的值．
【解答】解：设幂函数f（x）=x a，
把点（2，8）代入，得：2a=8，
解得a=3．
∴f（x）=x3，
∵f（x）=27，
∴x3=27，
∴x=3，
故选：A．
4．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）
A．①②B．②③C．①④D．③④
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】利用线线关系以及线面平行、线面垂直的性质对四个命题分析解答．【解答】解：由平行线的传递性可以判断①正确；
在空间，垂直于同一条直线的两条直线，可能平行、相交或者异面．故②错误；平行于同一个平面的两条直线的位置关系有：平行、相交、异面．故③错误；垂直于同一个平面的两条直线是平行的；故④正确；
故选：C．
5．设lg2=a，lg3=b，则log512等于（）
A．B．C．D．
【考点】对数的运算性质．
【分析】先用换底公式把log512转化为，再由对数的运算法则知原式为=，可得答案．
【解答】解：log512===．
故选C．
6．函数f（x）=log2x+2x﹣1的零点必落在区间（）
A．（，）B．（，）C．（，1）D．（1，2）
【考点】函数的零点．
【分析】要判断函数f（x）=log2x+2x﹣1的零点位置，我们可以根据零点存在定
理，依次判断，，，1，2的函数值，然后根据连续函数在区间（a，b）上零点，则f（a）与f（b）异号进行判断．
【解答】解：∵f（）=log2+2×﹣1=﹣4＜0
f（）=log2+2×﹣1=﹣3＜0
f（）=log2+2×﹣1=1﹣2＜0
f（1）=log21+2×1﹣1=2﹣1＞0
f（2）=log22+2×2﹣1=5﹣1＞0
故函数f（x）=log2x+2x﹣1的零点必落在区间（，1）
故选C
7．如图是正方体的侧面展开图，l1、l2是两条侧面对角线，则在此正方体中，l1
与l2（）
A．互相平行B．相交且夹角为
C．异面且互相垂直 D．异面且夹角为
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】把正方体的侧面展开图还原成正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则l1即为AB1，l2即为B1D1，由此能求出结果．
【解答】解：把正方体的侧面展开图还原成正方体ABCD﹣A1B1C1D1，
则l1即为AB1，l2即为B1D1，
连结AD1，则AB1=B1D1=AD1，
∴在此正方体中，l1与l2相交且夹角为．
故选：B．
8．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为（）
A
．2 B．1 C．D．
【考点】球内接多面体．
【分析】判断球心的位置，设正方形的边长，利用勾股定理求出边长，然后求解四边形的面积．
【解答】解：球心在平面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，∴∠BAC=90°，底面外接圆的圆心N位于BC的中点，
△A1B1C1的外心M在B1C1中点上，
设正方形BCC1B1的边长为x，
Rt△OMC1中，OM=，，OC1=R=1，
∴，
即x=，则AB=AC=1，
∴
故选：C．
9．如下图①对应于函数f（x），则在下列给出的四个函数中，图②对应的函数只能是（）
A．y=f（|x|）B．y=|f（x）|C．y=f（﹣|x|）D．y=﹣f（|x|）
【考点】函数的图象与图象变化．
【分析】图②对应的函数可看成将图①中的图象y轴右侧擦去，将左侧图象对称到右侧，从而得到答案．
【解答】解：图②对应的函数可看成将图①中的图象y轴右侧擦去，将左侧图象对称到右侧，
故选C．
10．已知一正方体截去两个三棱锥后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．8 B．7 C．D．
【考点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由已知中的三视图画出几何体的直观图，计算正方体和截去的两个三棱锥的体积，相减可得答案．
【解答】解：由已知可得该几何体的直观图如下图所示：
故几何体的体积V=2×2×2﹣××1×1×2﹣××1×2×2=7，
故选：B
二、填空题：（每小题4分，共16分）
11．（ln5）0+（）0.5+﹣2=．
【考点】有理数指数幂的化简求值．
【分析】根据对数的运算性质和指数幂的运算性质计算即可
【解答】解：原式=1++﹣1﹣=，
故答案为：．
12．若函数f（2x）=3x2+1，则f（4）=13．
【考点】函数的值．
【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可．
【解答】解：函数f（2x）=3x2+1，则f（4）=f（2×2）=3×22+1=13．
故答案为：13．
13．对于定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+3）=f（x），若f（﹣1）=1，则f （1）+f（2）+…+f（10）=﹣1．
【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．
【分析】根据函数是一个奇函数先求出f（1），根据函数满足f（x+3）=f（x），得到函数是一个周期函数，利用周期性和奇函数得到要求的结果．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）
所以f（1）=﹣f（﹣1）=﹣1
f（2）=f（（﹣1）+3）=f（﹣1）=1
∵f（0）=f（3）=﹣f（﹣3）=﹣f（﹣3+3）=﹣f（0）
所以f（0）=0
而f（10）=f（7）=f（4）=f（1）
f（9）=f（6）=f（3）=f（0）
f（8）=f（5）=f（2）
∴f（1）+f（2）+…+f（10）
=4f（1）+3f（2）+3f（0）
=﹣4+3=﹣1
故答案为﹣1．
14．已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（）=0，则不等式f（log4x）＞0的解集是{x|x＞2或0＜x＜}．．
【考点】对数函数的单调性与特殊点．
【分析】由题意得，f （﹣）=f （）=0，f （x ）在[0，+∞）上是增函数，f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，
f （lo
g 4x ）＞0 即 log 4x ＞或log 4x ＜﹣．
【解答】解：因为f （x ）是偶函数，所以f （﹣）=f （）=0．
又f （x ）在[0，+∞）上是增函数，所以f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数．
所以，f （log 4x ）＞0 即 log 4x ＞或log 4x ＜﹣，
解得 x ＞2或0＜x ＜，
故答案为 {x |x ＞2或0＜x ＜}．
三．解答题：（共4小题，共44分）
15．已知函数f （x ）=log 2（1﹣x ），g （x ）=log 2（1+x ），令h （x ）=f （x ）﹣g （x ）
（1）求函数h （x ）定义域，判断h （x ）的奇偶性并写出证明过程． （2）判断函数h （x ）在定义域内的单调性，写出必要的推理过程．
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【分析】（1）求出函数的定义域，利用奇函数的定义进行证明；
（2）利用函数单调性的定义判断及证明．
【解答】解：（1）由题意，
，可得﹣1＜x ＜1，函数的定义域为（﹣1，
1）．
h （﹣x ）=f （﹣x ）﹣g （﹣x ）=log 2（1+x ）﹣log 2（1﹣x ）=﹣h （x ）
∴h （x ）是奇函数．
（2）函数h （x ）在定义域内的单调增．
设1＜x 1＜x 2，h （x 1）﹣h （ x 2）=
， 真数分子，分母都为正，且分子＜分母．
所以0＜真数＜1，
所以h （x 1）﹣h （ x 2）＜0，h （x 1）＜h （x 2），
∴函数h（x）在定义域内的单调增．
16．我国科研人员屠呦呦发现从青篙中提取的青篙素抗疟性超强，几乎达到100%，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f（t）；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗有效，求服药一次后治疗有效的时间是多长？
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象．
【分析】（1）根据图象，设，根据t=1，y=9即可求出k和a，从而得出函数关系式y=f（t）；
（2）根据y即可求出t的取值范围，从而求出治疗有效的时间长．
【解答】解：（1）设，
当t=1时，由y=9得k=9，由得a=3；
∴；
（2）由得，或；
解得；
∴服药一次后治疗有效的时间长是小时．
17．如图是一个奖杯三视图，试根据奖杯三视图计算它的表面积与体积．（尺寸
单位：cm，取，结果精确到整数）
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体由三部分组成底下几何体是四棱台，中间是四棱柱，上面是球，进而可得答案．
【解答】解：底下几何体是四棱台：
求棱台的高3，正前方斜高5，左右侧面斜高，
下底面是长20，宽16的矩形，
上底面是长10，宽8的矩形，
中间是四棱柱，长，宽，高分别为：8，4，20，
上头是一个半径为2的球，
故几何体的表面积：
S=2
×（10+20）×5+2×（8+16）×+20×16+10×8+2×（8+4）×
20+4π•22=1030+24+16π；
几何体的体积V=×（20×16+10×8+）×3+8×4×20+
=1100+．
18．已知f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，且f（x）满足
对任m，n∈[﹣1，1]，有＞0．
（1）解不等式f（x+）+f（x﹣1）＜0；
（2）若f（x）≤t2﹣2at+1对所有x∈[﹣1，1]、a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t 的取值范围．
（3）若f（x）≤t2﹣2at+2对所有x∈[﹣1，1]，t∈[﹣1，1]恒成立，求实数a 的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．
【分析】（1）先用定义判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，由函数的单调性、奇偶性可去掉不等式中的符号“f”，解出即可；
（2）对任意的x∈[﹣1，1]不等式恒成立，等价于f（x）max=f（1））≤t2﹣2at+1，对任意a∈[﹣1，1]恒成立，可看作关于a的一次函数，借助图象可得关于a的不等式组，解出即可；
（3）令g（x）=x2﹣2ax+1，不等式恒成立，转化为或或，
，解得即可．
【解答】解：（1）∵f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，
m、n∈[﹣1，1]，m≠n时，有＞0．
∴任取x1，x2∈[﹣1，1]，且x2≥x1，
则f（x2）﹣f（x1）=（x2﹣x1）＞0，
∴f（x2）＞f（x1），
∴函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增．
∵f（x+）+f（x﹣1）＜0，即f（x+）＜f（1﹣x），
∴，解得0≤x＜，
∴x的取值范围为[0，）．
（2）由于f（x）为增函数，∴f（x）的最大值为f（1）=1，
∴f（x）≤t2﹣2at+1对a∈[﹣1，1]、x∈[﹣1，1]恒成立，
∴t2﹣2at+1≥1对任意a∈[﹣1，1]恒成立，
∴t2﹣2at≥0对任意a∈[﹣1，1]恒成立，
把y=t2﹣2at看作a的函数，
由a∈[﹣1，1]，知其图象是一条线段，
∴t2﹣2at≥0对任意a∈[﹣1，1]恒成立，
∴有，即，
解得t≤﹣2，或t=0，或t≥2．
故实数t的取值范围是{t|t≤﹣2，或t=0，或t≥2}．
（3）∵t2﹣2at+1≥0，
令g（x）=x2﹣2ax+1，
∵f（x）≤t2﹣2at+1对所有x∈[﹣1，1]，t∈[﹣1，1]恒成立，
∴得a=﹣1，，得a=1，，解得﹣1＜a＜1，综上所述：﹣1≤a≤1．
2017年4月22日。