【课堂新坐标】2021学年高中数学 第二章 圆锥曲线课时作业1 北师大版选修4-1(1)

【课堂新坐标】2021-2021学年高中数学第二章圆锥曲线课时作业1 北师大版选
修4-1
一、选择题
1．从球外一点引球的切线，那么( )
A．能够引无数条切线，所有切点组成球的一个大圆
B．能够引无数条切线，所有切点组成球的一个小圆
C．只能够引两条切线，两切点的连线过球心
D．只能够引两条切线，两切点的连线只是球心
【解析】依照球的切线性质知B正确．
【答案】B
2．已知球的半径R＝6，过球外一点P作球的切线长为8，那么P点到球面上任意一点Q的最短距离为( ) A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】设点P到球心的距离为d，
则d＝62＋82＝10.
∴PQ的最短距离为10－6＝4.
【答案】B
3．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图2－1－4所示，那么截面图可能是( )
图2－1－4
A．①③B．②③
C．①④③D．①②③
【解析】依照截面的位置不同，可取得的截面形状可能是①②③，但不可能为④，应选D.
【答案】D
4．已知三棱锥S－ABC的各极点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝2 r，那么球的体积与三棱锥体积之比是( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
【解析】 如下图，由题意知OA ＝OB ＝OS ＝r ，
易知△ACB 为直角三角形， 因此V 球V 锥＝43
πr 313×122r 2×r ＝4π.
【答案】 D 二、填空题
5．假设三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，那么其外接球的表面积是________．
【解析】 三棱锥的三个侧面两两垂直，说明三棱锥的三条侧棱两两垂直，设其外接球的半径为R ，那么有
(2R )2＝(3)2＋(3)2＋(3)2＝9，
∴外接球的表面积为S ＝4πR 2＝9π.
【答案】 9π
6．如图2－1－5所示，已知球O 的面上四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝3，那么球O 的体积等于________．
图2－1－5
【解析】 ∵DA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，
∴DA ⊥BC ，DA ⊥AC .
又BC ⊥AB ，AB ∩DA ＝A ，
∴BC ⊥平面ABD ，
∴BC ⊥DB ，
则DC 的中点即为球心O .
又DA ＝AB ＝BC ＝
3， ∴AC ＝6，DC ＝3，
∴球O 的体积V 球＝43π(32)3＝9π2
. 【答案】 9π2
三、解答题
7．已知半径为R 的四个球两两相切，下面三个球与桌面相切，求上面一个球的球心到桌面的距离．
【解】 设四个球的球心别离为O 1、O 2、O 3、O 4，将它们两两连接恰好组成一个正三棱锥，各棱长均为2R ，如图作O 1H ⊥面O 2O 3O 4，垂足为H ，那么O 1H 为棱锥的高．
连接O 4H ，那么O 4H ＝23
3R .
∵△O 1HO 4为直角三角形，
∠O 1HO 4＝90°，
∴O 1H ＝26
3R ，
∴从上面一个球的球心到桌面的距离为(263
＋1)R . 8．假设正四面体的四个极点都在表面积为36π的一个球面上，求那个正四面体的高．
【解】 如图，设正四面体边长为x ，设球半径为R .
∴AH ＝3
3x,4πR 2＝36π.
∴R ＝3，在Rt △AHS 中，
SH 2＝SA 2－AH 2，
∴SH 2＝x 2－(
33x )2＝23x 2， (
2
3x －R )2＋(33x )2＝9，
∴x ＝26 ∴SH ＝4，故正四面体的高为4.
图2－1－6
9．如图2－1－6所示，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并向容器内注水，使水面恰与铁球相切，将球掏出后，容器内的水深是多少？
【解】 由题意，轴截面PAB 为正三角形，故当球在容器内时，水深为3r ，水面半径为
3r ，容器内水的
体积确实是V ＝V 圆锥－V 球＝13π(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3.
将球掏出后，设容器中水的深度为h，那么水面半径为
3 3 h.
现在容器内水的体积为V′＝1
3
π(
3
3
h)2·h＝
1
9
πh3.由V＝V′，得h＝
3
15r.
即铁球掏出后水深为3
15r.
10．已知球面上的三点A、B、C，且AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，球的半径为13 cm.求球心到平面ABC的距离(如图)．
【解】因为62＋82＝102，因此△ABC是直角三角形．因为球心O在平面ABC内的射影M是△ABC所在截面圆的圆(外接圆)心，因此M是直角三角形斜边AC上的中点，且OM⊥AC.
在Rt△OAM中，OM＝OA2－AM2＝132－52＝12，
因此球心到平面ABC的距离为12 cm.。