矢量恒等式证明

矢量恒等式证明
矢量恒等式是矢量运算中一些重要的基本法则。

在这里，我们将证明几个矢量恒等式。

1. 向量点积的交换律
对于任意的向量a和b，有a·b=b·a。

这个恒等式可以通过展开两边的点积式子来证明。

假设a和b的坐标分别为(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)，则a·b=x1x2+y1y2+z1z2。

同样，b·a=x2x1+y2y1+z2z1。

很容易看出，这两个式子的结果是一样的，因此向量点积具有交换律。

2. 向量叉积的分配律
对于任意的向量a、b和c，有a×(b+c)=a×b+a×c。

这个恒等式可以通过将向量叉积的定义展开来证明。

根据向量叉积的定义，有a×b=(aybz-azby,azbx-axbz,axby-aybx)，其中ax、ay、az、bx、by和bz分别为向量a和b的x、y和z分量。

同样，有a×
c=(aycz-azcy,azcx-axcz,axcy-aycx)。

将这两个式子相加，得到： a×b+a×
c=(aybz-azby,azbx-axbz,axby-aybx)+(aycz-azcy,azcx-axcz,axcy -aycx)
=(aybz+aycz-azby-azcy,azbx+azcx-axbz-axcz,axby+axcy-aybx-ay cx)
=(ay(bz+cz)-az(by+cy),az(bx+cx)-ax(bz+cz),ax(by+cy)-ay(bx+c
x))
=(aybz-azby+aycz-azcy,azbx-axbz+azcx-axcz,axby-aybx+axcy-ay cx)
=a×(b+c)
因此，向量叉积具有分配律。

3. 向量叉积的结合律
对于任意的向量a、b和c，有a×(b×c)=(a·c)b-(a·b)c。

这个恒等式可以通过将向量叉积的定义展开来证明。

根据向量叉积的定义，有b×c=(bycz-bzcy,bzcx-bxcz,bxcy-bycx)。

同样，有a×(b ×
c)=(ay(bycz-bzcy)-az(bzcx-bxcz),az(bxcy-bycx)-ax(bycz-bzcy) ,ax(bzcx-bxcz)-ay(bxcy-bycx))。

将这个式子展开并进行简化，得到：
a×(b×
c)=(aybycz-aybzcy-azbzcx+azbxcz,azbxcy-axbycz-aybxcy+aybxcx ,axbzcx-aybxcx-axbycz+aybzcy)
=(a·c)b-(a·b)c
因此，向量叉积具有结合律。

以上是几个常见的矢量恒等式的证明。

这些恒等式在矢量运算中非常有用，它们可以帮助我们更好地理解和应用矢量运算。