贵州省遵义市山盆中学2020年高一数学理月考试卷含解析

贵州省遵义市山盆中学2020年高一数学理月考试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知角的终边上一点，则（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
2. 已知，，，则向量与向量的夹角是
A.B．C． D．
参考答案：
C
略
3. 已知，，则是的（）条件．
A．充分不必要B．必要不充分C．充要
D．既不充分也不必要
参考答案：
A
解：∵，可得，设集合为，
又∵，可得，设集合为，
则，可得是的充分不必要条件．
4. 已知全集，集合，集合则等于（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
5. （多选题）设MP、OM和AT分别是角的正弦、余弦和正切线，则以下不等式正确的是( )
A. B.
C. D.
参考答案：
BC
【分析】
作出角的正弦、余弦和正切线,根据三角函数线定义,即可得出结果.
【详解】分别作角的正弦、余弦和正切线,如图,
.
.
故选:BC.
【点睛】本题考查利用三角函数线比较同角三角函数值的大小比较,考查数形结合思想的应用,难度较易.
6. 已知，把数列的各项排列成如下的三角形状，
……
记为第行的第个数，则=（）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
B
7. 根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（）
A．（－1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）
参考答案：
C
略
8. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定
参考答案：
A
【考点】三角形的形状判断．
【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA 的值进而求得A，判断出三角形的形状．
【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，
∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，
∵sinA≠0，
∴sinA=1，A=，
故三角形为直角三角形，
故选：A．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查．
9. 已知集合，，若，则实数的取值范围是
( ) .
A. B. C. D.
参考答案：
C
10. f(x)=是R上的减函数,则实数a的取值范围是（）
A. (－∞,2)
B. (－∞,]
C. (0,2)
D. [,2)
参考答案：
B
试题分析：由题意得，函数是上的单调减函数，则
，解得，故选B.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 等比数列{}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，则公比=_______
参考答案：
略
12. （5分）已知函数f（x）=msinx+cosx（m为常数，且m＜0）的最大值为2，则函数f（x）的单调递减区间为（其中k∈Z）
参考答案：
[2kπ-π/4，2kπ+3π/4],（其中k∈Z）
考点：正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：先根据辅助角公式求出函数的最大值，即可求出m，然后根据三角函数的单调性即可求出函数的单调区间．
解答：根据辅助角公式可知函数f（x）的最大值为，
即m2+2=4，
∴m2=2，
∵m＜0，∴m=﹣，
即f（x）=msinx+cosx=sinx+cosx=2cos（x+），
由，
得，
即函数的单调递减区间为[2kπ-π/4，2kπ+3π/4],（其中k∈Z）.
点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据辅助角公式求出m是解决本题的关键．
13. 在△ABC中，若a，b，c成等比数列，则cos2B+cosB+cos（A﹣C）= _________ ．参考答案：
1
14. 方程在上有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是__________．
参考答案：
【详解】∵1﹣2a=2sin（2x+），
令y1（x）=2sin（2x+），y2（x）=1﹣2a，
∵x∈，
∴2x+∈[，]，
方程2sin（2x+）+2a﹣1=0在[0，]上有两个不等的实根，
由图知，≤2sin（2x+）＜2，即≤1﹣2a＜2，
∴﹣2＜2a﹣1≤﹣，
解得﹣＜a≤．
∴实数a的取值范围是．
故答案为.
点睛：这个题目考查了已知函数零点求参的问题；对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含x的函数，注意让含x的函数式子尽量简单一些.
15. （5分）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号）．
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体．
参考答案：
①③④⑤
考点：棱柱的结构特征．
专题：综合题．
分析：先画出图形，再在底面为正方形的长方体上选择适当的4个顶点，观察它们构成的几何形体的特征，从而对五个选项一一进行判断，对于正确的说法只须找出一个即可．
解答：解：如图：①正确，如图四边形A1D1BC为矩形
②错误任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD 为正方形，四边形A1D1BC为矩形；
③正确，如四面体A1ABD；
④正确，如四面体A1C1BD；
⑤正确，如四面体B1ABD；
则正确的说法是①③④⑤．
故答案为①③④⑤
点评：本题主要考查了点、线、面间位置特征的判断，棱柱的结构特征，能力方面考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．找出满足条件的几何图形是解答本题的关键．
16. 直线x+y+1=0的倾斜角是．
参考答案：
135°
【考点】直线的一般式方程．
【专题】直线与圆．
【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．
【解答】解：直线x+y+1=0的斜率k=﹣1，
∴直线x+y+1=0的倾斜角α=135°．
故答案为：135°．
【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率的灵活运用．
17. 已知平面向量，满足|| = ，|| = ，且与的夹角为，则
= .
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，
PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；
（2）证明：AE⊥平面PCD；
（3）求二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．
参考答案：
【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
【分析】（1）由线面垂直得PA⊥PB，又AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而∠APB是PB与平面PAD所成的角，由此能求出PB和平面PAD所成的角的大小．
（2）由线面垂直得CD⊥PA，由条件CD⊥PC，得CD⊥面PAC，由等腰三角形得AE⊥PC，由此能证明AE⊥平面PCD．
（3）过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，由此得∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．
【解答】（1）解：在四棱锥P﹣ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，∴∠APB是PB与平面PAD所成的角，
在Rt△PAB中，AB=PA，∴∠APB=45°，
∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°．
（2）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA，
由条件AC⊥CD，PA⊥底面ABCD，利用三垂线定理得CD⊥PC，PA∩AC=A，
∴CD⊥面PAC，
又AE?面PAC，∴AE⊥CD，
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，得AC=PA，
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，
又PC∩CD=C，
综上，AE⊥平面PCD．
（3）解：过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，∴∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，
由已知得∠CAD=30°，
设AC=a，得PA=a，AD=，PD=，AE=，
在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM?PD=PA?AD，
∴AM==，
在Rt△AEM中，sin∠AME=．
∴二面角A﹣PD﹣C得到正弦值为．
19. log2(x2－5x－2)=2
参考答案：
x=－1或x=6
20. (10分) 已知向量=,=
(I）若且0＜＜，试求的值；
(II）设试求的对称轴方程和对称中心.参考答案：
（I）∵
∴
即 Ks5u
∵∴
∴
∴
(II）
令
∴对称轴方程为
令可得
∴对称中心为
略
21. （共12分）深圳科学高中大约共有600台空调，空调运行所释放的氟里昂会破坏大气
上层的臭氧层. 假设臭氧层含量呈指数型函数变化，满足关系，其中
是臭氧的初始量. (参考数据)
（1）判断函数的单调性，并用定义证明.
（2）多少年后将会有一半的臭氧消失？
参考答案：
（1）函数的定义域为,在上为减函数. ……2分
证明: 对任意的且,有…………… …… ……3分
. … …… ……5分
又,所以,又, 所以,即
. … …………7分
所以, 函数在上为减函数. … …… ……8分
(3) 一半的臭氧消失时，，所以… ……9分
，
,
解得，
. … ……11分
即年后，将会有一半的臭氧消失. ... (12)
分
22. （本题12分）已知函数=x m-且= .
(1)求m的值；
(2)判断在(0，+∞)上的单调性，并给予证明；
(3)求函数在区间上的最大值与最小值.
参考答案：
（1）………3分（2）证明略………8分
（3）当时，………10分
当时，………12分。