静海区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学测试

静海区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且，则的值是（）A．B．C．D．0
2．在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+2=2a n+1+2a n（n∈N+），则该数列的前2015项的和是（）
A．7049B．7052C．14098D．14101
3．如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）
A． B．
C． D．
4．集合U=R，A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合是（）
A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}
5．设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）
A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2
6．设集合,,则( )
A
B
C
D
7．已知集合A={x|x是平行四边形}，B={x|x是矩形}，C={x|x是正方形}，D={x|x是菱形}，则（）A．A⊆B B．C⊆B C．D⊆C D．A⊆D
8．数列中，若，，则这个数列的第10项（）
A．19B．21C．D．
9．不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（）
A．a＜0，△＜0B．a＜0，△≤0C．a＞0，△≥0D．a＞0，△＞0
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（acosB+bcosA）=2csinC，a+b=8，且△ABC的面积的最大值为4，则此时△ABC的形状为（）
A ．等腰三角形
B ．正三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
11．已知函数y=f （x ）的周期为2，当x ∈[﹣1，1]时 f （x ）=x 2，那么函数y=f （x ）的图象与函数y=|lgx|的图象
的交点共有（ ）
A ．10个
B ．9个
C ．8个
D ．1个
12．如图是七位评委为甲，乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图（其中m ，n 为数字0～9中的一个），则甲歌手得分的众数和乙歌手得分的中位数分别为a 和b ，则一定有（
）
A ．a ＞b
B ．a ＜b
C ．a=b
D ．a ，b 的大小与m ，n 的值有关
二、填空题
13．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，且点与点重合，则的()0,2()4,0()7,3(),m n m n +值是
．
14．已知函数f （x ）=x 2+
x ﹣b+（a ，b 为正实数）只有一个零点，则+的最小值为 ．
15．某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人.如果在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为，先采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取19.0100人，则应在高三年级中抽取的人数等于 .
16．在数列
中，则实数a= ，b= ．
17．已知实数x ，y 满足，则目标函数z=x ﹣3y 的最大值为
18．若直线：与直线：垂直，则
.
012=--ay x 2l 02=+y x =a 三、解答题
19．设数列{a n }是等差数列，数列{b n }的前n 项和S n 满足S n =（b n ﹣1）且a 2=b 1，a 5=b 2（Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式；
（Ⅱ）设c n =a n •b n ，设T n 为{c n }的前n 项和，求T n ．
20．已知函数f（x）=|x﹣a|．
（1）若f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值．
（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．
21．某单位组织职工开展构建绿色家园活动，在今年3月份参加义务植树活动的职工中，随机抽取M名职工为样本，得到这些职工植树的株数，根据此数据作出了频数与频率统计表和频率分布直方图如图：
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）单位决定对参加植树的职工进行表彰，对植树株数在[25，30）区间的职工发放价值800元的奖品，对植树株数在[20，25）区间的职工发放价值600元的奖品，对植树株数在[15，20）区间的职工发放价值400元的奖品，对植树株数在[10，15）区间的职工发放价值200元的奖品，在所取样本中，任意取出2人，并设X为此二人所获得奖品价值之差的绝对值，求X的分布列与数学期望E（X）．
分组频数频率
[10，15）50.25
[15，20）12n
[20，25）m p
[25，30）10.05
合计M1
22
．如图，在四棱锥中，等边所在的平面与正方形所在的平面互相垂直,为
的中点，为的中点，且
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使线段与所在平面成角．若存在，
求出的长,若不存在，请说明理由．
23．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是等腰梯形，AB=CD=AD=1，BC=2，E，M，N分别是所在棱的中点．
（1）证明：平面MNE⊥平面D1DE；
（2）证明：MN∥平面D1DE．
24．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点．求证：
（I）AB∥平面EFG；
（II）平面EFG⊥平面ABC．
静海区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：取AB的中点C，连接OC，，则AC=，OA=1
∴sin =sin∠AOC==
所以：∠AOB=120°
则•=1×1×cos120°=．
故选A．
2．【答案】B
【解析】解：∵a n+1a n+2=2a n+1+2a n（n∈N+），∴（a n+1﹣2）（a n﹣2）=2，当n≥2时，（a n﹣2）（a n﹣1﹣2）=2，∴，可得a n+1=a n﹣1，
因此数列{a n}是周期为2的周期数列．
a1=3，∴3a2+2=2a2+2×3，解得a2=4，
∴S2015=1007（3+4）+3=7052．
【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．
3．【答案】B
【解析】【知识点】函数的奇偶性
【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数，y=x是奇函数，故是偶函数。

故答案为：B
4．【答案】B
【解析】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩（∁U B）．
A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，
则∁U B={x|x≥1}，
则A∩（∁U B）={x|1≤x＜2}．
故选：B．
【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．
5．【答案】B
【解析】解：根据题意球的半径R满足
（2R）2=6a2，
所以S球=4πR2=6πa2．
故选B
6．【答案】C
【解析】送分题,直接考察补集的概念,,故选C。

7．【答案】B
【解析】解：因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A，
矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊂A，C⊂A，
正方形是矩形，所以C⊆B．
故选B．
8．【答案】C
【解析】
因为，所以，所以数列构成以为首项，2为公差的等差数列，通项公式为，所以，所以，故选C
答案：C
9．【答案】A
【解析】解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，
∴a＜0，
且△=b2﹣4ac＜0，
综上，不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且△＜0．
故选A．
10．【答案】A
【解析】解：∵（acosB+bcosA）=2csinC，
∴（sinAcosB+sinBcosA）=2sin2C，
∴sinC=2sin2C，且sinC＞0，
∴sinC=，
∵a+b=8，可得：8≥2，解得：ab≤16，（当且仅当a=b=4成立）
∵△ABC的面积的最大值S△ABC=absinC≤=4，
∴a=b=4，
则此时△ABC的形状为等腰三角形．
故选：A．
11．【答案】A
【解析】解：作出两个函数的图象如上
∵函数y=f（x）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数
∴函数y=f（x）在区间[0，10]上有5次周期性变化，
在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，
在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数，
且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，
再看函数y=|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，
且当x=1时y=0；x=10时y=1，
再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，
故选：A．
【点评】本题着重考查了基本初等函数的图象作法，以及函数图象的周期性，属于基本题．　
12．【答案】C
【解析】解：根据茎叶图中的数据，得；甲得分的众数为a=85，
乙得分的中位数是b=85；
所以a=b．
故选：C．
二、填空题
13．【答案】34 5
【解析】
考点：点关于直线对称；直线的点斜式方程.
14．【答案】　9+4　．
【解析】解：∵函数f（x）=x2+x﹣b+只有一个零点，
∴△=a﹣4（﹣b+）=0，∴a+4b=1，
∵a，b为正实数，
∴+=（+）（a+4b）=9++
≥9+2=9+4
当且仅当=，即a=b时取等号，
∴+的最小值为：9+4
故答案为：9+4
【点评】本题考查基本不等式，得出a+4b=1是解决问题的关键，属基础题．
15．【答案】25
【解析】
考点：分层抽样方法．
16．【答案】a= ，b= ．
【解析】解：由5，10，17，a﹣b，37知，
a﹣b=26，
由3，8，a+b，24，35知，
a+b=15，
解得，a=，b=；
故答案为：，．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与归纳法的应用．
17．【答案】　5　
【解析】解：由z=x﹣3y得y=，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=，
由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=的截距最小，
此时z最大，
由，解得，即C（2，﹣1）．
代入目标函数z=x﹣3y，
得z=2﹣3×（﹣1）=2+3=5，
故答案为：5．
18．【答案】1
【解析】
试题分析：两直线垂直满足，解得，故填：1.
()02-12=⨯+⨯a 1=a 考点：直线垂直
【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，，，当两直线垂直时，需满足，当两直线平行时，
0:1111=++c y b x a l 0:2222=++c y b x a l 02121=+b b a a 需满足且，或是，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直01221=-b a b a 1221c b c b ≠2
12121c c b b a a ≠=，两直线平行时，，.1
121-=k k 21k k =21b b ≠三、解答题19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵数列{b n }的前n 项和S n 满足S n =（b n ﹣1），
∴b 1=S 1=
，解得b 1=3．当n ≥2时，b n =S n ﹣S n ﹣1=
，
化为b n =3b n ﹣1．
∴数列{b n }为等比数列，
∴．
∵a 2=b 1=3，a 5=b 2=9．
设等差数列{a n }的公差为d ．
∴
，解得d=2，a 1=1．∴a n =2n ﹣1．
综上可得：a n=2n﹣1，．
（Ⅱ）c n=a n•b n=（2n﹣1）•3n．
∴T n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣3）•3n﹣1+（2n﹣1）•3n，
3T n=32+3×33+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1．
∴﹣2T n=3+2×32+2×33+…+2×3n﹣（2n﹣1）•3n+1
=﹣（2n﹣1）•3n+1﹣3=（2﹣2n）•3n+1﹣6．
∴．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“错位相减法”和等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）≤m，
∴|x﹣a|≤m，
即a﹣m≤x≤a+m，
∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，
∴，解得a=2，m=3．
（2）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，
则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|．
当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．
当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0，成立．
当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立．
综上不等式的解集为（﹣∞，]．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，要求熟练掌握绝对值的化简技巧．
21．【答案】
【解析】解：（1）由题可知，，，
又5+12+m+1=M，解得M=20，n=0.6，m=2，p=0.1，
则[15，20）组的频率与组距之比a为0.12．…
（2）所取出两所获品价值之差的绝对值可能为0元、200元、400元、600元，则
，
P（x=200）=，
P（x=400）=，
P（x=600）=…
所以X的分布列为：
X020*******
P
EX==…
【点评】本题考查的是频率分布直方图和离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题，高考常考题型．　
22．【答案】
【解析】【知识点】空间的角利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题垂直
【试题解析】（Ⅰ）是等边三角形，为的中点，
平面平面，是交线，平面
平面．
（Ⅱ）取的中点，底面是正方形，，两两垂直．
分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
，，
设平面的法向量为，，
，，
平面的法向量即为平面的法向量．
由图形可知所求二面角为锐角，
(Ⅲ)设在线段上存在点，，
使线段与所在平面成角，
平面的法向量为，，
，解得，适合
在线段上存在点，当线段时，与所在平面成角．23．【答案】
【解析】证明：（1）由等腰梯形ABCD中，
∵AB=CD=AD=1，BC=2，N是AB的中点，∴NE⊥DE，
又NE⊥DD1，且DD1∩DE=D，
∴NE⊥平面D1DE，
又NE⊂平面MNE，
∴平面MNE⊥平面D1DE．…
（2）等腰梯形ABCD中，
∵AB=CD=AD=1，BC=2，N是AB的中点，∴AB∥DE，∴AB∥平面D1DE，
又DD1∥BB1，则BB1∥平面D1DE，
又AB∩BB1=B，∴平面ABB1A1∥平面D1DE，
又MN⊂平面ABB1A1，∴MN∥平面D1DE．…
24．【答案】
【解析】证明：（I）在三棱锥A﹣BCD中，E，G分别是AC，BC的中点．
所以AB∥EG…
因为EG⊂平面EFG，AB⊄平面EFG
所以AB∥平面EFG…
（II）因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD
所以AB⊥CD…
又BC⊥CD且AB∩BC=B
所以CD⊥平面ABC…
又E，F分别是AC，AD，的中点
所以CD∥EF
所以EF⊥平面ABC…
又EF⊂平面EFG，
所以平面平面EFG⊥平面ABC．…
【点评】本题考查线面平行，考查面面垂直，掌握线面平行，面面垂直的判定是关键．　。