福建省柘荣县第一中学、宁德市高级中学高三数学上学期第一次联考试题理

福建省柘荣县第一中学、宁德市高级中学2017届高三数学上学期第一次联
考试题 理
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的
1． 已知全集U =R ，集合{}
2
|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则A ∩(∁U B )= ()
A ．{}|01x x <<
B ．{}|0x x <
C ．{}|2x x >
D ．{}|12x x << 2
．已知复数
bi i
ai
+=-12，其中R b a ∈,，i 是虚数单位，则=+bi a ( ) A ．i 31-- B ．5
C ．10
D ．10
3. 已知命题:p 0c ∃>，方程2
0x x c -+= 有解，则p ⌝为()
A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解
B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解
C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解
D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解 4．函数)2
2
,0)(sin(2)(π
ϕπ
ωϕω<
<->+=x x f 的部分图像如图所示，则ϕω,的值为
A ．32,
2π B ．3,2π- C 12,1π D 12
,1π- 5.等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为3
230
3S x dx =⎰
，则公比q 的值是（ ）
A ．1
B ．12-
C ．1或12-
D ． 1-或1
2
- 6.阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1,8]上，则输入的实数
x 的取值范围是( )
A ．[0,2)
B ．[2,7]
C ．[2,4]
D ． [0,7]
7．设(3,1),(,3)a b x ==-，且b a ⊥，则向量a b -与向量b 夹角为 A. 30 B. 60 C. 120 D.150 8. 已知函数,,log x b c y a y x y x ===的图象如图所示，则 A. a b c >> B. a c b >> C. c a b >> D. c b a >> 9．如图在直角梯形ABCD 中22AB AD DC ==， E 为
y
log c y x
=b
y x =x
y a =
BC 边上一点，3BC EC =，F 为AE 的中点，则BF =()
A ．
1233AB AD - B ．21
33AB AD - C ．1233AB AD -
+ D ．21
33
AB AD -+ 10．已知函数2
()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞， 且12x x ≠，不等式
1212
()()
0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．1
(,)2+∞ B ．1[,)2+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1[,)4
+∞ 11. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．
的是 A. ()f x 是偶函数
B. 函数()f x 最小值为
34
C. 函数()f x 在π0,2（）
内是减函数 D. π
2
是函数()f x 的一个周期 12. 已知函数()f x 的定义域为R . ,a b ∀∈R ，若此函数同时满足：
（i ）当0a b +=时，有()()0f a f b +=；(ii)当0a b +>时，有()()0f a f b +>， 则称函数()f x 为Ω函数. 在下列函数中是Ω函数的是()
①sin y x x =+；②13()3x
x y =-；③0,0,
1,0x y x x
=⎧⎪
=⎨-≠⎪⎩.
A ①②
B ①③
C ②③
D ①②③
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分 13．函数1
)(log 1)(2
2-=
x x f 的定义域为
14.()10
x a +的展开式中，7x 的系数为15，则=a ________.(用数字填写答案)
D
C
E
F
第9题图
15. 若实数x ，y 满足约束条件42y x x y x y k ≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≥⎩
，且2z x y =+有最大值8，则实数k =________.
16．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢． 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
已知2
1
cos )cos sin 3()(-+=x x x x f ωωω， 其中0>ω，若)(x f 的最小正周期为π4． （1）求函数)(x f 的单调递增区间；
(2) 将函数()y f x =图象上各点向左平移3
π
个单位长度，得到函数()y g x =的图象, 当),(ππ-∈x 时,求函数)(x g 的值域
18.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 满足1n n n b b a +-=，且2318,24b b =-=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求n b 取得最小值时n 的值.
（19）（本小题满分12分）
已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，且33cos 3a C C b
+= （Ⅰ）求B ∠的大小；
（Ⅱ）若2a =，AC 边上的垂直平分线交边AB 于点D 且DBC ∆3 求边c 的值．
20．(本小题满分12分）
在一般情况下，城市主干道上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。

当主干道上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时。

研究表明：当
20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数。

（1）当2000≤≤x 时，求函数)(x v 的表达式；
（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过主干道上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）)()(x v x x f ⋅=可以达到最大？并求出最大值。

（精确到1辆/小时）
21．（本小题满分12分）
已知函数2
()e ()x
f x x a =-，a ∈R ．
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．
22. （本小题满分10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为)(sin cos 3为参数θθ
θ⎩⎨
⎧==y x ，以坐标原点为极
点，以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22)4
sin(=+π
θρ .
（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.
2017届高三年段联考试卷数学(理科)参考答案
一.选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B
A
B
C
D
D
C
D
D
C
A
13. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) 14. 12
15.-4 16. 16
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17 （1）2
1
cos cos sin 321cos )cos sin 3()(2-+=-
+=x x x x x x x f ωωωωωω 31
1
()sin 2cos 2sin(2)226
f x x x x ωωωπ=
+
=+…………………2分
最小正周期为4π，∴1()sin()26
f x x π
=+
由Z k k x k ∈+≤+≤-,2262122π
ππππ ……………………………4分
得4244+33
k x k k Z ππ
ππ-≤≤∈，
∴f(x)的单调递增区间为42[4,4+33
k k k Z ππ
ππ-∈]，……………6分
（2）由（1）知1
()sin()
2
6f x x π
=+
,
将函数()y f x =图象上各点向左平移
3
π
个单位长度后，得到函数()y g x =的图象， )3
2sin()(π
+=x x g 则 ………………8分
6
53216π
ππππ<+<-∴<<-x x
1)3
21sin(21≤+<-∴π
x ………………10分
∴函数)(x g 的值域为]1,2
1
(- ………………12分
18解析：（I ）∵等差数列{}n a 是公差2=d
n n n a b b =-+16)18(24232-=---=-=∴b b a ………………….2分 {}n a ∴的通项公式102)2(2-=-+=n d n a a n ………………….4分
（II ）1021-==-+n a b b n n n ………………….5分
时当2≥∴n
812-=-b b , 623-=-b b ,434-=-b b ,…, 10)1(21--=--n b b n n
将上面1-n 个等式的等号两边分别相加 得)122(4681-++---=-n b b n
)10)(1(2
)
1228)(1(--=-+--=
n n n n ………8分
n n n n b n n b b n 11)10)(1(8)8)(1(221-=--++=--+=
n
n b a b b n n 111012
121-=∴-=-==满足上式时
30,6565-====∴b b b n n n 取最小值时或当 ……….12分
（19）【解析】 （Ⅰ） 33sin 3cos 3sin sin a A
C C b B
+=
=
，…… 2分 3sin cos 3sin sin 3sin 3sin()3sin cos 3sin cos B C B C A B C B C C B
∴+==+=+，…… 4分 3sin cos 3sin sin 3sin 3sin()3sin cos 3sin cos B C B A B C B C C B
∴+==+=+)3sin cos 3sin cos B C B C A B C B C C B +==+=+ 3sin sin 3sin cos B C C B ∴=， ∵sin 0C ≠ 3sin 3cos B B ∴=, 即 tan 3B =， ∴ 3
B π
=
． …… 6分
（Ⅱ）由1133
sin 22222
DBC S BC BD B BD Λ=
⋅⋅=⋅⋅⋅=， ∴ 1BD =， …… 8分 ∴ 在DBC ∆中，2
2
2
1
2cos 4122132
CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=，…… 10分 ∴ 3AD CD ==， ∴ 31c AB AD BD ==+=
+． …… 12分
……………….2分
…………….5分
……….7分
……….10分
……….12分
21．（本小题满分12分）
解：由题意可知2
()e (2)x
f x x x a '=+-． （Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，
所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．
即10x y ++=． …………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，
所以当(3,0)x ∈-时，2
()e (2)0x
f x x x a '=+-≤恒成立．
即当(3,0)x ∈-时，2
20x x a +-≤恒成立． …………………5分 显然，当(3,1)x ∈--时，函数2
()2g x x x a =+-单调递减， 当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增． 所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”，
等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨
≤⎩即3,
0.
a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………7分
（Ⅲ）设2
()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．
①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥．
所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．…………………9分
②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2
()e (2)0x
f x x x a '=+-=得2
20x x a +-=，
解得1211,11x a x a =--+=-++ 随着x 变化时，
()f x 和()f x '的变化情况如下：
x
( , 11)a -∞--+ 11a --+
( 11, 1+1)a a --+-+ 1+1a -+
( 1+1,)a -++∞
)(' x f
＋ 0
－ 0 ＋ )(x f
↗
极大值
↘
极小值
↗
当x ∈( , 11]a -∞--+时，22
( 11)221x a a a ≥--+=+++.
所以2
2210x a a -≥++>. 所以2
()e ()0x
f x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，
所以函数()f x 的最小值只能在211x a =-++处取得. 所以11211
(11)e [(11)]2e (11)2e a a f a a a a -++-+
+-++=-++-=-+=-.
所以11
e (11)e a a -+
++-=.
易得111a +-=.
解得3a =． …………………………………12分 以下证明解的唯一性，仅供参考：
设11
()e (11)a g a a -+
+=-+
因为0a >，所以 1+10a -+>，110a -+<． 设 1+10x a =-+>，则11x a -=-+.
设()e x
h x x =-，则()e (1)x
h x x '=-+.
当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <． 所以方程11e (11)e a a -+
++-=只有唯一解3a =．
22．（本小题满分10分）。