江苏省苏州市八校联盟2021-2022学年高三上学期12月第二次适应性联考数学试题及答案

江苏省苏州市八校联盟2021-2022学年高三上学期12月第
二次适应性联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题
1．已知全集{|29}U x N x +=∈-<<，{3,4,5}M =，{1,3,6}P =，那么集合{2,7,8}是（ ） A ．M P ⋃ B ．M
P C ．()()
U U C M C P
D ．()()U U C M C P
2．设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知,42ππθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，1sin 23θ=，则cos θ=（ ）
A B
C D 4．已知复数数列{}n a 满足12i a =，1i i 1n n a a +=++，N n *∈，（i 为虚数单位），则10a =（ ） A ．2i
B ．2i -
C ．1i +
D ．1i -+
5．已知双曲线C ：()222103x y a a
-=>的离心率为2，左、右焦点分别为1F ，2F ，点A
在双曲线C 上，若12AF F △的周长为10，则12AF F △的面积为（ ）
A B ．C ．15
D ．30
6．已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，则sin α=（ ）
A ．1
2 B
C D 7．已知()cos 2sin f x x x =+，则下列函数中在R 上单调增的是( ) A ．()y f x x =+
B ．2()y f x x =+
C ．3()y f x x =+
D ．4()y f x x =+
8．已知x ，y 满足2266x y y +=- ）
A ．1
B
C ．1
D ．1 二、多选题
9．已知,,,a b c d ∈R ，则下列结论中正确的有（ ） A ．若22,ac bc >则a b >
B ．若11
,a b
<则a b > C ．若0a b >>，0ac bd >>，则c d >
D ．若
22
11,a b ab >则a b < 10．已知函数21()222x x f x +=-+，定义域为M ，值域为[]1,2，则下列说法中一定正确．．．．的是（ ） A ．[]0,2M =
B ．(],1M ⊆-∞
C ．0M ∈
D ．1M ∈
11．圆锥曲线为什么被冠以圆锥之名？因为它可以从圆锥中截取获得.我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截而与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角θ不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.截口曲线形状与θ和圆锥轴截面半顶角α有如下关系
,0,2πθα⎛⎫⎛⎫∈ ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭；当θα>时，截口曲线为椭圆；当θα=时，截口曲线为抛物线：当0α<时，截口曲线为双曲线.（如左图）
现有一定线段AB 与平面β夹角ϕ（如上右图），B 为斜足，β上一动点P 满足
BAP γ∠=，设P 点在β的运动轨迹是Γ，则（ ）
A ．当4
π
ϕ=，6
πγ=时，Γ是椭圆 B ．当3
π
ϕ=，6
πγ=时，Γ是双曲线 C ．当4
π
ϕ=
，4
πγ=
时，Γ是抛物线
D ．当3
π
ϕ=
，4
πγ=
时，Γ是椭圆
12．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 、F 、G 分别是1DD 、AD 、BC 中点，连结1A D 、AC 分别交EF 、FG 于S 、K 两点，则下面选项叙述正确的是（ ）
A ．四棱锥E DFGC -
B ．SK E
C ⊥
C ．平面DSK 被四棱锥E DFGC -的外接球所截得的截面面积是
724
π D ．若1O 为正方形ABCD 的内切圆，2O 为正方形11A ADD 的外接圆，P 、Q 分别为
1O 、2O 上的点，则线段PQ
三、填空题
13．过点(的直线l 与圆224x y +=相切，则直线l 在y 轴上的截距为__________．
14．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2AD =，2DE EC =，M 为BC 的中点，若点P 在线段BD 上运动，则PE PM ⋅的最小值为______.
四、解答题
15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n S na =，且246601860S S S S ++++=，则
1a =__
16．已知向量cos sin ,2sin 222x x x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，cos sin 222x x x b ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，函数
()f x a b =⋅.
（1）求函数()f x 的最大值，并指出()f x 取最大值时x 的取值集合； （2）若α，β为锐角，12
cos()13αβ+=
，6()5
f β=，求6f πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值.
17．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且121n n a S +=+，()*
n ∈N .
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)在n a 与1n a -之间插入n 个实数，使这2n +个数依次组成公差为n d 的等差数列，设数
列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，求证：15
8n T <.
18．如图所示，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，
5CD =，3CE =，且△EDC 的面积为
(1)求边DE 的长；
(2)若3AD =，求△ABC 的面积.
19．如图，在三棱台ABC DEF -中，平面BADE ⊥平面ACFD ，AB AC ⊥，3AB =，
1
12
AD DF FC AC ===
=.
（1）求证：AB ⊥平面ACFD ；
（2）求二面角F BE D --的平面角的余弦值.
20．已知函数()e ln 2x
f x a x x -=--（a ∈R ，0x >）.
(1)若1a =，0x 是函数()f x 的零点，求证：00e 1x
x ⋅=；
(2)证明：对任意0x >，01a <≤，都有2sin ln e x a x x x x --<+.
21．设抛物线C ：22x py =（0p >）的焦点为F ，抛物线C 上一点A 的横坐标为
()110x x >，过点A 作抛物线C 的切线1l ，与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，与直线l ：2
p
y =
交于点M .当2FD =时，60AFD ∠=︒. (1)求抛物线C 的方程；
(2)若B 为y 轴左侧抛物线C 上一点，过B 作抛物线C 的切线2l ，与直线1l 交于点P ，与直线l 交于点N ，求PMN 面积的最小值，并求取到最小值时1x 的值. 五、双空题
22．极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一种基本特征.对于圆
222x y r +=，与点()00,x y 对应的极线方程为200x x y y r +=，我们还知道如果点()
00,x y 在圆上，极线方程即为切线方程；如果点()00,x y 在圆外，极线方程即为切点弦所在直线方程.同样，对于椭圆22
221x y a b
+=，与点()00,x y 对应的极线方程为00221x x y y a b +=.如上
图，已知椭圆C ：22
143
x y +
=，()4,P t -，过点P 作椭圆C 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为______；直线AB 与OP 交于点M ，则sin PMB ∠的最小值是______.
参考答案：
1．D 【解析】 【分析】
先求得全集U ，然后对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】
依题意可知{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，
对于A 选项，{}1,3,4,5,6M P ⋃=，故A 选项不符合； 对于B 选项，{}3M P ⋂=，故B 选项不符合；
对于C 选项，{}{}{}()()1,2,6,7,82,4,5,7,81,2,4,5,6,7,8U U C M C P ⋃=⋃=，故C 选项不符合；
对于D 选项，{}{}{}()()1,2,6,7,82,4,5,7,82,7,8U U C M C P ⋂=⋂=，故D 选项符合. 故选D. 【点睛】
本小题主要考查集合交集、并集和补集的概念和运算，属于基础题. 2．B 【解析】
分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】
化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，
故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B ． 【点睛】
本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件． 3．B 【解析】 【分析】
利用同角的三角函数的基本关系式和二倍角的余弦公式可得正确的选项. 【详解】
,42ππθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，则2,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos20θ<，cos 23
θ=-
()21113cos 1cos 21223236
θθ⎛⎫-=
+=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭
而,
42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故cos θ= 故选：B. 4．D 【解析】 【分析】
推导出数列{}i n a -是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得10a 的值. 【详解】
由已知可得()1i i i n n a a +-=-，因此，数列{}i n a -是以1i i a -=为首项，以i 为公比的等比数列，
所以，910
10i i i i 1a -=⋅==-，故101i a =-+.
故选：D. 5．A 【解析】 【分析】
根据离心率，可求得21a =，即可得双曲线方程，不妨设A 在双曲线的右支上，根据双曲线定义，可得1222PF PF a -==，根据题意，可得126PF PF +=，即可求得12,PF PF ，即可求得答案. 【详解】
由题意得2c e a ==，所以21a =，
所以双曲线方程为2
2
13
y x -=，
不妨设A 在双曲线的右支上，由双曲线定义可得1222PF PF a -==△，
又12AF F △的周长为121210PF PF F F ++=，且124F F ==， 所以126PF PF +=△，
△△联立，解得124,2PF PF ==，
所以12AF F △的面积为122
⨯=
故选：A 6．B 【解析】 【分析】
如图，以点A 建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，设平面的法向量为
()000,,n x y z =，根据平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，可得
1n AB n AD n AA m ⋅=⋅=⋅=，求出平面的法向量，从而可得出答案.
【详解】
解：如图，以点A 建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，则()()()11,0,0,0,1,0,0,0,1B D A ，
()1,0,0AB =，()0,1,0AD =，()10,0,1AA =. 设平面的法向量为()000,,n x y z =，
则可令1n AB n AD n AA m ⋅=⋅=⋅=，△(),,n m m m =，
所以sin cos ,3n AB m n AB n AB
α⋅=〈〉==
=
故选：B.
7．C 【解析】 【分析】
对于选项ABD ：对函数求导，求出sin 2cos x x -+的范围，判断导函数是否有变号零点即可求解；对于选项C ：对函数求导，通过分类讨论自变量的取值范围，来确定导函数的符号，进而即可出答案. 【详解】
对于选项A ：因为()cos 2sin y f x x x x x =+=++，
所以'sin 2cos 1)1[1]y x x x ϕ=-++=++∈，
因为10<10，从而'sin 2cos 1y x x =-++在R 上有变号零点， 从而()y f x x =+在R 上不是单调递增的，故A 错误；
对于选项B ：由题意可知，''2')sin 2(o 2)s (c y f x x x x x =-++=+，
因为sin 2cos )[x x x ϕ-+=+∈，2(,)x ∈-∞+∞， 所以'sin 2cos 2x y x x =-++必有变号零点，
从而2
()y f x x =+在R 上不是单调递增的，故B 错误；
对于选项C ：由题意，''3'2()()sin 2cos 3y f x x x x x =+=-++，
由sin 2cos )[x x x ϕ-+=+∈，故对自变量x 分类讨论：
△当[0,]4
x π
∈时，cos sin 0x x ≥≥，故'2sin 2cos 30y x x x =-++>；
△当(,]42
x ππ∈时，2233()14x π
>⨯>，即23sin 0x x ->，
从而'2sin 2cos 30y x x x =-++>；
△当(,)2x π∈+∞
时，2233()2
x π
>⨯>'2sin 2cos 30y x x x =-++>；
△当[,0)2
x π
∈-
时，sin 0x ->，cos 0x ≥，230x >，
所以'2sin 2cos 30y x x x =-++>，
△当(,)2
x π
∈-∞-
时，因为2233()2x π>⨯->'2sin 2cos 30y x x x =-++>，
综上所述，对于x R ∀∈，'2sin 2cos 30y x x x =-++>， 从而3()y f x x =+在R 上单调增；故C 正确；
对于选项D ：由题意，'4'3')(sin 2c )o 4(s y x x x f x x =-++=+，
因为sin 2cos )[x x x ϕ-+=+∈，34(,)x ∈-∞+∞， 所以3sin 2cos 4y x x x =-++'在R 上有变号零点， 从而4()y f x x =+在R 上不是单调递增的，故D 错误. 故选：C. 8．D 【解析】 【分析】
的几何意义，利用正弦函数的
.
【详解】
求max
y y +=+
设(),P x y 是圆()2
233x y +-=上任一点，过P
0y +=的垂线，垂足为T ，
PT 的长PT
=PO ，
sin PT
POT PO
=
=∠，直线y kx =与圆()2233x
y +-=相切时k =
令
tan θ=y =与圆相切于第一象限时，sin POT ∠
取最大值，
此时21sin sin sin 32POT πθθθ⎛⎫
∠=-=+
⎪⎝
⎭1122==
△max
1=故选：D.
9．AD 【解析】
根据不等式的性质判断AD ，再由特殊值判断BC. 【详解】
A 选项，由22ac bc >可得20c ≠，则a b >，A 正确；
B 选项，由1a =-，1b =是一个反例，B 错误；
C 选项，3a =，1c =，1b =，2d =是一个反例，C 错误；
D 选项，
2
22222111100b a
b a a b ab a b ab a b
->⇒-=>⇒->，D 正确； 故选：AD. 10．BCD 【解析】
先研究值域为
[]1,2时函数的定义域，再研究使得值域为[]1,2得函数的最小值的自变量的取
值集合，研究函数值取1，2时对应的自变量的取值，由此可判断各个选项. 【详解】
由于[]212
()222(21)11,2x x x f x +=-+=-+∈，
[]2(21)0,1x ∴-∈，[]211,1x ∴-∈-，[]20,2x ∴∈，(],1x ∴∈-∞，
即函数21()222x x f x +=-+的定义域为(],1-∞
当函数的最小值为1时，仅有0x =满足，所以0M ∈，故C 正确； 当函数的最大值为2时，仅有1x =满足，所以1M ∈，故D 正确； 即当[]0,1M =时，函数的值域也为[]1,2，故(],1M ⊆-∞，故B 正确； 当2x =时，函数值[](2)101,2f =∉，故A 错误； 故选：BCD 【点睛】
关键点睛：本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是通过函数的值域求出函数的定义域，再利用元素与集合关系的判断，集合的包含关系判断，考查了学生的逻辑推理与转化能力，属于基础题. 11．ACD 【解析】 【分析】
认为P 在以AB 为轴的圆锥上运动，结合题干信息，逐一分析即可. 【详解】
△AB 为定线段，BAP γ∠=为定值，△P 在以AB 为轴的圆锥上运动， 其中圆锥的轴截面半顶角为γ，β与圆锥轴AB 的夹角为ϕ
对于A ，ϕγ>，△平面β截圆锥得椭圆，A 正确；对于B ，ϕγ>，Γ是椭圆，B 错. 对于C ，ϕγ=，Γ是抛物线，C 正确.对于D ，ϕγ>，Γ是椭圆，D 正确. 故选：ACD. 12．ACD 【解析】 【分析】
根据直接求解E DFGC -
的外接球的半径得r =
A 选项；对于
B 选项，建立空间直角坐标系，利用坐标法求SK E
C ⋅判断即可;对于C 选项，结合坐标法求得O 到平面DSK
的距离d ，进而得截面半径，计算面积判断即可；对于D 选项，由题设设1111cos ,sin ,02222P αα⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
，11,0,22Q ββ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
【详解】
解：对于A 选项，四边形CDFG 的外接圆是以DG
圆心设为M ，外接球球心为O ，半径为r .
设OM h =，△2
22215216516h r h r ⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩
，△{ℎ=14r =√64
△3
34433V r ππ=⋅=⎝⎭
，A 对. 对于B 选项，如图，建系()0,0,0D ，11,0,44S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,022K ⎛⎫
⎪⎝⎭
，111,,424SK ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
10,0,2E ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，()0,1,0C ，10,1,2EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，508SK EC ⋅=≠，
△SK 与EC 不垂直，B 错.
对于C 选项，设平面DSK 的法向量为(),,n x y z =
00n DS n DK ⎧⋅=⎨
⋅=⎩ ，△11044
1102
2x z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，不妨设1x =，则1y =-，1z =-， △()1,1,1n =--，111,,042O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则111,,424O ⎛⎫
⎪⎝⎭
，14OM =，
△O 到平面DSK
的距离1
23
OD n d n ⋅=== 设截面半径为r '，则()22
38
r d '+=，△()2724r '=，
△()2
7
24
S r ππ='=
，C 对. 对于D 选项，由题知P 在2
2
111224x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，Q 在22
111222x z ⎛
⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭上，
设1111cos ,sin ,0222
2P αα⎛⎫
+
+ ⎪⎝⎭，11cos ,0,2222Q ββ
⎛⎫++ ⎪ ⎪
⎝⎭
2
2
2
2
1111cos sin 2222PQ αβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
22221111111
cos cos cos sin sin sin 4242442
α
αββααββ=
+++++++
155cos cos sin 222424αβαββ=-
+++≤+
5544≤==，
△PQ ≤
D 对. 故选：ACD 【点睛】
本题考查空间几何体的外接内切问题，坐标法解决立体几何问题.考查空间想象能力，数学运算能力，是难题.本题解题的关键在于建立空间直角坐标系，利用坐标法求解，其中D 选项的解决借助圆的参数方程1111cos ,sin ,02222P αα⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
，11,0,22Q ββ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
,进而求解最值. 13．4 【解析】 【分析】
根据题意，分析可得点(在圆224x y +=上，根据垂直关系求出切线的斜率，由点斜式求出切线方程，根据截距的定义可得结果. 【详解】
因为22(14+=
，所以点(在圆224x y +=上，
△切线l
的斜率
1
10k =-
=- 则切线l
的方程为1y x -=+
，变形可得4y =+， 所以直线l 在y 轴上的截距为4； 故答案为：4. 【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，考查了求圆的切线方程，考查了直线的截距，属于基础题. 14．
2352
【解析】 【分析】
构建直角坐标系，令()1AP AB AD λλ=+-求P 的坐标，进而可得PE ，PM ，由向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值即可. 【详解】
以A 为坐标原点，AB ，AD 分别为x ，y 建系，则()2,2E ，()3,1M ，
又(3,0)=AB ，(0,2)AD =，令()()13,22AP AB AD λλλλ=+-=-，01λ≤≤， 故(3,22)P λλ-，则(23,2)PE λλ=-，(33,21)PM λλ=--，
()()23332(21)PE PM λλλλ⋅=--+-213176λλ=-+，
所以1726
λ=
时，PE PM ⋅取最小值2352.
故答案为：23
52
. 15．2 【解析】 【分析】
先利用1(2)n n n a S S n -=-和题设⇒
1
1n n S S n n -=-，2n ，进而说明数列{}n S n
是每项均为1S 的常数列，求得n S 的表达式，再利用246601860S S S S +++⋯+=求得1a ． 【详解】 解：
n n S na =，1()n n n S n S S -∴=-，2n ，即1(1)n n n S nS --=，2n ，即1
1
n n S S n n -=-，2n ， ∴数列{}n
S n
是每项均为1S 的常数列， ∴
11n
S S a n
==，即1n S na =， 又246601860S S S S +++⋯+=，
113062
(24660)18602
a a ⨯∴+++⋯+=
=，解得：12a =. 故答案为：2．
16．（1）最大值为2，x 的取值集合为2,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭
；（2）
126
65. 【解析】
（1）根据向量数量积的坐标运算和二倍角公式化简整理得()2sin 6f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，再根据三
角函数的性质求解即可；
（2）由（1）得3sin 65πβ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，再根据题意，结合同角三角函数关系得12cos()13αβ+=，
5sin()13αβ+=
，4cos 65πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而得63cos cos ()6665ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦，故
1262sin 2cos 63665f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭.
【详解】
解（1）2
2()cos
sin cos cos 2sin 22226x x x x f x x x x π⎛
⎫=-+==+ ⎪⎝
⎭， 令26
2
x k π
π
π+
=
+，得23
x k ππ=
+，k Z ∈，
所以最大值为2，此时x 的取值集合为2,3x x k k Z π
π⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭
（2）由α，β为锐角，12cos()13αβ+=，得5sin()13
αβ+=， 由6()5f β=得3sin 65πβ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
△02
βπ
<<
，△2663βπππ<+<，
又31sin 652πβ⎛⎛
⎫+=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
， △
6
6
4π
π
π
β<+
<
，△4cos 65πβ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，
△cos cos ()66ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦
63cos()cos sin()sin 6665ππαββαββ⎛⎫⎛
⎫=+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
△1262sin 2sin 2cos 6326665f πππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭.
【点睛】
本题考查向量数量积运算，三角函数性质，三角恒等变换等，其中恒等变换求角的值得关
键点在于2663βπππ<+<
，31sin 6522πβ⎛⎛
⎫+=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
得664πππβ<+<，进而得4cos 65πβ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，再根据凑角，结合和差角公式诱导公式求解即可.考查运算求解能力，是
中档题. 17．(1)13-=n n a (2)证明见解析 【解析】 【分析】
（1）利用数列的递推关系和等比数列的性质，即可求出数列{}n a 的通项公式；
（2）根据等差数列的性质，可得1
331
n n n d n --=+，可得11123n n n d -+=⋅，再利用错位相减法即可
得出． (1)
解：△121n n a S +=+△
2n ≥时，121n n a S -=+△
△−△()11232n n n n n a a a a a n ++⇒-=⇒=≥
而2121a a =+，由{}n a 为等比数列，△1112131a a a +=⇒=，
△11
133n n n a --=⋅=；
(2)
解： 11
332311n n n n d n n ---⋅==++，△11123n n
n d -+=⋅ △01221
23412323232323n n n n n T --+=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅△ 12211231132323232323n n n n
n n n T ---+=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅△ △−△12121111
1323232323n n n
n T -+⇒=+++⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅
1
11116311111111234432313
n n n n n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+-=+-- ⎪⋅⋅⎝⎭-
525443n n +=-⋅， △1152515
8838
n n n T -+=-
<⋅ 18．
(1) (2)答案见解析. 【解析】 【分析】
（1
）由三角形面积公式求得sin ∠DCE DE 的长； （2）应用正余弦定理求,AC BC 的长，注意3BC CE >=(题设有误无答案). (1)
由题设，11sin 35sin 22
EDC
S
CE CD DCE DCE =⋅⋅∠=⋅⋅⋅∠=
sin ∠DCE ，
由DCE ∠为锐角，故1
cos 5DCE ∠=.
△
由余弦定理可得：DE == (2)
在△ABC 中，1sin sin cos 25ACD BCD BCD π⎛⎫
∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭
，由ACD ∠为锐角，
所以cos ACD ∠=
， 由正弦定理：531
sin 1sin 3
5A A =⇒=
，故tan A =
由余弦定理：225259AC AC +-⋅=
，可得AC =
当AC =
13BC =<，与3BC CE >=矛盾，
当AC =
13BC <，与3BC CE >=矛盾， 故此题为错题.
19．（1）证明见解析；（2
【解析】 【分析】
（1）连接CD ，在等腰梯形ACFD 中，过D 作DG AC ⊥交AC 于点G ，证明CD AB ⊥，
AB AC ⊥，则AB ⊥平面ACFD 即得证；
（2）以,,AB AC AH 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角
F BE D --的平面角的余弦值即得解. 【详解】
证明：（1）连接CD ，在等腰梯形ACFD 中，过D 作DG AC ⊥交AC 于点G ，
因为112AD DF FC AC ====，所以12AG =，DG =，32CG =，60DAC ︒∠=，所以
CD =
所以222AD CD AC +=，即CD AD ⊥， 又因为平面ABED ⊥平面ACFD ，
且平面ABED ⋂平面ACFD AD =，CD ⊂平面ACFD ， 所以CD ⊥平面ABED ，又AB
平面ABED ，
所以CD AB ⊥，又因为AB AC ⊥，AC CD C =，AC ，CD ⊂平面ACFD 所以AB ⊥平面ACFD .
（2）如图，在平面ACFD 内，过点A 作AH AC ⊥，由（1）知AB ⊥平面ACFD 所以AB AH ⊥，AB AC ⊥，以A 为原点，以,,AB AC AH 所在直线为,,x y z 轴建立空间直
角坐标系，则(3,0,0)B ，10,2D ⎛ ⎝⎭
，30,2F ⎛ ⎝⎭，(0,2,0)C ，
所以(3,2,0)BC →
=-，10,2CF →⎛=- ⎝⎭
，设平面FBE 的法向量为n (x,y,z)→
=，
则00n BC n CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩
即320102x y y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令2x =
，则n →
=， 由（1）知CD ⊥平面BED
，所以30,2CD ⎛=- ⎝⎭
是平面BED 的一个法向量，
则932cos ,4n CD n CD n CD
-+⋅===
⋅ 设二面角F BE D --的平面角为θ，又二面角
F BE D --的平面角为锐角，cos θ= 所以二面角F BE D --
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）1a =时，将()00f x =整理为0000ln ln x x x x e e --+=+，构造函数()ln g x x x =+，根据
其单调性推知0
0x x e -=，则命题得证； （2）利用0x >时sin x x >，将所证不等式变形为证明1ln 10e x x x x x ⎛⎫++-> ⎪⎝⎭
，接下来构造函数()1ln 1e x h x x x x =++-，令e x x t =，得另一函数()1ln 1H t t t
=+-，通过求导判断其单调性，最终即可证明不等式成立.
(1)
当1a =时，()e ln 2x f x x x -=--，
()0000000000e ln 20e ln e lne x x x x f x x x x x x ----=--=⇒-=+=+
令(
)ln g x x x =+，显然()g x 在()0,∞+上单调递增，0x ，0e 0x ->
由()()
0000e e x x g x g x --=⇒=， △00e 1x x =
(2)
对0x ∀>，令()sin x x x ϕ=-，()1cos 0x x ϕ'=-≥
则()x ϕ在()0,∞+单调递增，且()00ϕ=，
所以当0x >时，()0x ϕ>，即sin x x >，
当01a <≤时，22e ln sin e ln x x x x x a x x x x ax --++->++-
21e ln ln 1e x x x x x x x x x x -⎛⎫≥++-=++- ⎪⎝⎭
令()1ln 1e
x h x x x x =++-，令e x x t =， △()()1ln 1h x H t t t ==+-，()22111t H t t t t
-'=-+= ()H t 在()0,1上单调递减，()1,+∞上单调递增，
△()()10H t H ≥=，即()0h x ≥
△2e ln sin 0x x x x a x -++->（△两次不等式取“=”条件不一致）
即2sin ln e x a x x x x --<+，证毕!
【点睛】
关键点点睛：利用0x >时sin x x >将所需证不等式变形，以及在构造函数之后，采用换元令e x x t =得到新的函数再进行求导判断单调性证明不等式，是本题不等式证明的两个关键点.
21．(1)24x y =
(2)min =S ,1x 【解析】
【分析】
（1）根据题意得切线1l 方程为：2112x x y x p p
=-，进而得D 为AE 的中点，再根据焦半径公式得AF EF =，进而根据几何关系得1OF =，故抛物线C 的方程为24x y =；
（2）结合（1）得122P x x x +=，122P x x y =，112,12x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222,12x N x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而得12122222x x MN x x =+--，12121212212224PMN x x x x S x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭△，再整理，利用换元法结合导数求解最值即可.
(1) 解：由题知0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22x y p =， 所以x y p '=，11l x k p =，切点2
11,2x A x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 切线1l 方程为：()221111122x x x x y x x x p p p p =-+=-， 令10,02x y D ⎛⎫=⇒ ⎪⎝⎭，2100,2x x E p ⎛⎫=⇒- ⎪⎝⎭
， 所以D 为AE 的中点， 因为根据焦半径公式得：211222
x p p AF y EF p =+=+=，60AFD ∠=︒. 所以DF AE ⊥，60OFD AFD ∠=∠=︒， 因为2FD =， 所以1OF =，即2p =，
所以抛物线C 的方程为24x y =；
(2) 解：设222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，由（1）得1l 方程：21124x x y x =-△ 同理2l 方程22224
x x y x =-△，联立△△122P x x x +⇒=， 所以124
P x x y =， 因为直线l 的方程为：1y =， 所以112,12x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222,12x N x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，
所以12122222
x x MN x x =+--， 所以12121212212224PMN x x x x S x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△()()121212122111224x x x x x x x x ⎡⎤-⎛⎫=⋅+--⎢⎥ ⎪-⎝
⎭⎣⎦， (
)1212121212112121122424x x x x x x x x x x ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+---≥-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭， 令()120x x t t -=>，
△12121124282PMN t t S t t ⎫⎛⎫⎫=++=+++⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎭
△
218t t ⎫++⎪⎭
，
m ，()3208m S m m m
=++>， ()()224222223443238161888m m m m S m m m m
-++-'=-+==
当0m <<
S
单调递减，m ，S 单调递增，
△min S S =，当且仅当1212
43x x x x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩时取“=”
，此时1x . 所以PMN
1x
的值为1x .
【点睛】
本题考查抛物线的切线问题，抛物线中的三角形面积最值问题.考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.
本题第二问解题的关键在于结合第一问设点求切线方程，进而得
112,12x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222,12x N x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，122P x x y =，进而12121212212224PMN x x x x S x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，再利用换元法，结合导数求解最值.
22． 103ty x -+
-=（或330x ty -+=）；
【解析】
【分析】
（1）根据已知直接写出直线AB 的方程；
（2
）求出cos ,OP n →→〈〉=
sin PMB ∠=利用基本不等式求解.
【详解】
解：（1）由题得AB ：
4143x ty -+=，即103ty x -+-=， （2）()4,OP t →=-，3k AB t
→=
，△AB →的方向向量(),3n t =，
所以cos ,OP n
OP n OP n
→→→→→→⋅〈〉==
sin PMB ∠=
即(
)min sin PMB ∠=
. 故答案为：103ty x -+
-=。