函数关系

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的建立
方法步骤
举例说明
对于实际问题，明确其中各种量及量之间的关系，建立正确的函数关系十分重要。在建立函数关系时，首先 要确定问题中的自变量与因变量，再根据它们之间的关系列出等式，得出函数关系式，然后确定函数定义域，确 定定义域时，不仅要考虑到函数关系的解析式，还要考虑到变量在实际问题中的含义。
例如：父亲身高Y与子女身高X之间的关系；收入水平Y与受教育程度X之间的关系；粮食亩产量Y与施肥量X1、 降雨量X2、温度X3之间的关系；商品的消费量Y与居民收入X之间的关系；商品销售额Y与广告费支出X之间的关 系。
区分相关关系与函数关系的依据全凭因变量取值的确定性：若因变量的取值是确定的、唯一的，则两个变量 之间的关系称为函数关系；若因变量的取值是不确定的，则两个变量之间的关系称为相关关系。
解：设销售量为x件，总销售收入为R元，总销售收人与销售量之间的函数关系为
例2某工厂生产某种型号的车床，年产量为a台，分若干批次进行生产，每批次的生产准备费为b元，设产品 均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批，即平均库存量为批量的一半，设每年每台库存费为c元，显然， 生产批量大则库存费高；生产批量少则批数增多，因而生产准备费高，为了选择最优批量，试求出一年中库存费 与生产准备费的和与批量之问的关系。
函数关系
确定性现象之间的关系
01 定义
目录
02 注意点
Hale Waihona Puke 03 的建立04 几类常见的模型
05 与相关关系的区分
确定性现象之间的关系常常表现为函数关系，即一种现象的数量确定以后，另一种现象的数量也随之完全确 定，表现为一种严格的函数关系。当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有确定值与之对应，则称这种关 系为确定性的函数关系，记为y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量。
例如，某种商品的销售额y与销售量x之间的关系可表示为y=px(p为单价)；圆的面积S与半径R之间的关系可 表示为S=πR2；企业的原材料消耗额Y与产量X1、单位产量消耗X2、原材料价格X3之间的关系可表示为Y=X1X2X3； 一只股票的成交额与该股票的成交量之间的关系，保持成交价格P不变的情况下，当股票的成交量X确定后，其成 交额Y也随之确定，三者之间的关系是：Y=PX。
注意点
关于函数定义的几点说明：
(1)如果是从集合A到集合B的一个函数，那么集合A中每个元素必须都有象，且象必须唯一。
(2)如果是从集合A到集合B的一个函数．那么集合B中每个元素不一定都有原象，且当有原象时，原象也不一 定唯一。
(3)根据函数的定义可知，两个函数是否相等。需要看：二者的定义域是否相同；对于定义域内的每一个元 素．它在这两个函数作用下的象是否恒相同。
函数关系常用的三种表示方法是列表法，解析法，图象法。
定义
设A和B是两个给定的集合，是从集合A到集合B的一个二元关系。如果这个二元关系还满足下面的性质：对每 个元素，存在唯一的元素，使得二元序偶，就称这个二元关系是从集合A到集合B的一个函数或者映射。记作
或者 也可改写为，其中y称为x的象，而x则称为y的原象。称集合A是函数的定义域，集合A中所有元素在函数的作 用下得到的所有象的集合称为函数的象或函数的值域。 为了进一步区分不同特性的函数，给出细分的定义。 设是从集合A到集合B的一个函数。 (1)如果，则称函数是从集合A到集合B的一个单射。 (2)如果，则称函数是从集合A到集合B的一个满射。 (3)如果函数既是从集合A到集合B的一个单射．又是从集合A到集合B的一个满射，则称它是从集合A到集合B 的一个双射。
解：设批量为x，库存费与生产准备费的和为P(x)，因年产量为a，所以每年生产的批数为 (设其为整数)， 则生产准备费为，因库存量为a，故库存费为，因此可得
定义域为(0，a]，因本题中的x为车床的台数，批数为整数，所以x只应取(0，a]中的a的正整数因子。
几类常见的模型
01
一次函数模 型
02
反比例函数 模型
建立函数关系的基本步骤： ①明确问题中的因变量与自变量，并以适当记号表示； ②寻找等量关系，建立函数关系； ③确定函数的定义域。
下面举例说明如何建立函数关系。
例1某商场销售某种商品8000件，每件原价70元，当销售量在5000件以内(包含5000件)时，按照原价出售， 超过5000件部分，打八折销售。试建立总销售收入与销售量之问的函数关系。
例5试判定下列变量之间属于函数关系，还是相关关系。 (1)圆面积与圆半径 (2)价格确定下商品的销售额与销售量 (3)人们的身高与体重 (4)商品广告费支出与销售额 (5)家庭月收入与月支出 (6)施肥量与亩产量 (7)文化程度与年收入 (8)图书印数与图书价格 (9)商品销售额与商品流通费用率 (10)可变销售价格与商品销售额 解：按照函数关系和相关关系的定义与区别，本例中，第(1)、第(2)为函数关系，其余均为相关关系。 注意：变量之间的函数关系和相关关系在一定条件下是可以相互转化的。本来具有函数关系的变量，在存在 观测误差时，其函数关系往往以相关的形式表现出来。而具有相关关系的变量之间的联系，如果对其有深刻的规 律性认识，并且能够把影响因变量变化的因素全部纳入方程，这时相关关系也可能转化为函数关系。
03
二次函数模 型
04
指数型函数 模型
06
幂型函数模 型
05
对数型函数 模型
(为常数，).
(为常数，).
(为常数，).
(为常数，，).
(为常数，，).
(为常数，).
与相关关系的区分
相关关系的定 义
二者的的区分
当变量X取某个值时，变量Y的取值可能有若干个，这些数值表现为一定的波动性，但总是围绕着它们的平均 数，并遵循一定的规律变动。变量之间存在的这种不确定的数量关系称为相关关系。特点：Y与X的值不一一对应； Y与X的关系不能用函数式严格表达，但有规律可循。