江苏省无锡新领航教育咨询有限公司2014届高三数学重点难点高频考点串讲四

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1．设曲线()
1*
n y x n N +=∈在点()1,1 处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则
20141201422014320142013log log log log x x x x +++
的值为( )
A ．2014log 2013-
B ．1-
C ．20141log 2013-+
D ．1 【答案】B 【解析】
试题分析：函数()
1*n y x n N +=∈的导数()11n
n y n x k n '=+⇒=+, 所以切线为:()()111y n x -=+-
与x 轴的交点为,01n n ⎛⎫
⎪+⎝⎭
,即123
2013123
20131
1234
201312014
n n x x x x x n =⇒=⨯⨯⨯
⨯
=
++ , 即:()20141201422014320142013201412320132014
1
log log log log log log 12014
x x x x x x x x +++
+===- . 考点：求函数导数,应用导数求切线方程,对数计算.
2．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知C B A 2cos 22cos 2cos =+， 则cosC 的最小值为( ) A.
2
3 B.
2
2 C.
2
1
D.2
1-
【答案】C 【解析】
试题分析：由cos2cos22cos2A B C +=，利用倍角公式得，2
2
2
2cos 12cos 2(2cos 1),A B C -+=-即
222cos cos 2cos A B C +=，化简得222sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得，2222a b c +=，由余弦定
理得，22222221cos 222a b c c c C ab ab a b +-==≥=+，当且仅当a b =时等号成立，故cos C
最小值为1
2
，选C.
考点：1.正余弦定理；2.基本不等式.
3．已知函数1()10
2()ln(1)0x
x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪+>⎩
，若|()|f x ax ≥，则实数a 的取值范围为( )
A.(,ln 2]-∞-
B.(,1]-∞
C.(ln 2,1]-
D.[ln 2,0]- 【答案】D 【解析】
试题分析：当0x ≤时，11|()||1|122x x
f x ⎛⎫⎛⎫
=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；当0x >时，|()||ln(1)|ln(1)f x x x =+=+，所以
1()1,0
|()|2ln(1),0
x
x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪+>⎩，画出()g x 的图象如图，，若|()|f x ax ≥，则y ax =的图象要在|()|y f x =图象
的下方，y ax =要落在图中着色部分（包括边界），黄色线所在直线的斜率为|()|f x 在原点处的导数等于
ln 2-，故实数a 的取值范围为[ln 2,0]-，选D.
考点：1.分段函数的图象；2.导数的几何意义. 4
．已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A=60
°，
cos cos 2sin sin B C
AB AC m AO C B
⋅+⋅=⋅，则m 的值为（ ）
A ．
2 B C ．1 D ．1
2
【答案】A 【解析】
试题分析：依题意，由
cos cos 2sin sin B C
AB AC mAO C B
+=得 cos cos ()()2sin sin B C
OB OA OC OA mAO C B ⋅-+⋅-=， cos cos ()()2sin sin B C
OB OA OA OA OC OA OA OA mAO OA C B
⋅-+⋅-=， 22
2cos cos ||(cos 21)||(cos 21)2||sin sin B C AO C AO B m AO C B ⋅⋅-+⋅⋅-=-⋅， cos cos (cos 21)|(cos 21)2sin sin B C
C B m C B
⋅-+⋅-=- m B C C B 2sin cos 2sin cos -=--，
∴2
3
60sin sin )sin(=
==+= A C B m .故选A. 考点：向量的加减运算、数量积，二倍角的余弦公式.
5．设集合M 和N 为平面中的两个点集，若存在点0A M ∈、0B N ∈，使得对任意的点A M ∈、B N ∈，均有00||||AB A B ≥，则称00||A B 为点集M 和N 的距离，记为(,)d M N = 00||A B .已知集合
22{(,)|(2)1},M x y x y =+-≤{(,)N x y =1|4}1x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则(,)d M N = （ ）
A ．
322 B ．
32
12
- C ．5 D ．51- 【答案】D 【解析】
试题分析：如图，圆区域到三角形区域的距离为1-AB ，)1,2(A ，5=AB ，∴15)(-=N M d ，.
考点：线性规划，数形结合. 6．已知0,0a b >>，则4a b ab
++
） A.2 B.2 C.4 D.5 【答案】C 【解析】 试题分析：
0a >，0b >，14244244a b a b ab ab ab ab ab ab
∴+≥⋅=≥⋅=， 当且仅当44a b
ab ab =⎧⎪
⎨=⎪⎩
，即当14a =且1b =时，上式取等号，故4a b ab +的最小值为4. 考点：基本不等式
7．设命题p:函数f(x)=lg(ax 2-4x+a)的定义域为R;命题q:不等式2x 2
+x>2+ax,对∀x∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数a 的取值范围. 【答案】12a ≤≤ 【解析】
试题分析：先将命题p:和q:翻译为最简，即命题p:2>a ，命题q:1≥a ，然后根据条件命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题解得21≤≤a .
试题解析：命题p:等价于对于函数a x ax +-42，需满足∆<0且0>a ,即2>a ；命题q:等价于1
2
2+->
x x a
对∀x∈(-∞,-1),上恒成立,而函数122+-=
x x y 为增函数且∀x∈(-∞,-1) 有11
2
2<+-x x ，要使1
2
2+->
x x a 对∀x∈(-∞,-1),上恒成立，必须有1≥a .又“q p ∨”为真命题,命题“q p ∧”为假命题,等价于q p ,一真一假.故21≤≤a .
考点：1.命题的真假；2.函数的单调性；3.复合命题真假的判断.
8．已知四边形ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，E 是线段BC 上的动点，F 是CD 的中点．若AEF ∠为钝角，则线段BE 长度的取值范围是 . 【答案】()1,2 【解析】
试题分析：法一：如下图所示，设BE x =，则03x <<，由勾股定理易
得
AE =
，
3CE x
=-，
11
21
22
CF CD ==⨯=
，
EF ==
=
，AF ==，由于
AEF
∠为钝角，
则
cos 0
AEF ∠<，则有
222AE EF AF +-0
<，即
()()2
224610102640x
x x x x ++-+-=-+<，即2320x x -+<，解得12x <<；
F
E
D C
B
A
法二：如下图所示，设BC x =，则03x <<，以点B 为坐标原点，BC 、BA 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系xBy ，则()0,2A ，(),0E x ，()3,1F ，()()()0,2,0,2EA x x =-=-，
EF =()()()3,1,03,1x x -=-，AEF ∴∠是钝角，则0EA EF ⋅<，即()()3210x x -⋅-+⨯<，整理得2320x x -+<，解得12x <<，且A 、E 、F 三点不共线，故有()()321x x -⨯≠-⨯，解得6x ≠
.
考点：余弦定理、勾股定理、平面向量的数量积
9．已知数列{n a }满足)(11,2*11N n a a a a n
n
n ∈-+==+，则2014a 的值为 ．
【答案】3- 【解析】
试题分析：12,a =由*11()1n n n a a n N a ++=
∈-得234511
3,,,223
a a a a =-=-==可见数列的周期为4，所以20142503423a a a +⨯===-.
考点：周期数列.
10．数列{}n a 的通项公式cos 2
n n a n π
=，其前n 项和为n S ，则2013S = ． 【答案】1006
【解析】
试题分析：02cos )14(2)14(cos
)14(14=+=++=+π
πn n n a n ()()()()424242cos 42cos 422
n n a n n n π
π++=+=+=-+
()
()()4343343cos
43cos
02
2
n n a n n ππ
++=+=+= ()()()444444cos
44cos 2442
n n a n n n π
π++=+=+=+
所以414243442n n n n a a a a +++++++=，于是201320132012
21006010064
S a =⨯+=+=. 考点：数列前n 项和.
11．在等差数列{}n a 中，若*
(,1)m n a p a q m n N n m ==∈-≥， ，，则m n nq mp
a n m
+-=
-．
类比上述结论，对于等比数列{}n b （*
0,n b n N >∈），若m b r =，n b s =（2n m -≥，
*,m n N ∈），则可以得到m n b += ．
【答案】n m n b +=【解析】
试题分析：设公比为q ，)
1(1-=n n n
n
q
b s ，
)
1(1-=m m m m q b r ，)
1)((1-+--=m n m n m n m n q b r
s ，
11-+-+==m n m n m n
n m q b r s b . 考点：等差数列，等比数列的性质. 12．已知5080x <≤ ， ()
()
52
105040x y x -=
-，则当x = 时，y 取最大值，最大值为 .
【答案】60,x = 2500 【解析】 试
题
分
析
：
设
50
t x =- ,则
()
()
()
(
)
555
55
2
2
2
105010101010040101020x t
y x t t t t t
-=
=
=
=≤-++++2500= 当且仅当10t = 即
60x = 取等号,
考点：换元法,均值不等式应用.
13．已知a,b 均为正数且θθθθ2222sin cos ,6sin cos b a b a +≤+则的最大值为 ．
【解析】
试题分析：由柯西不等式可得：
2222222)sin cos ()sin )(cos sin cos (θθθθθθb a b a +≥++
6sin cos sin cos 2222≤+≤+∴θθθθb a b a .
考点：柯西不等式.
14．已知函数x a x x f ln )(-=在1x =处取得极值. （1）求实数a 的值；
（2）若关于x 的方程2()2f x x x b +=+在上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围;
（3，使2
12()f x x b ≥+成立，求实数b 的取值范围
【答案】⑴1a = , (2) 5ln 224
b +≤<（3）3
(,]4-∞
【解析】
试题分析：⑴先求()f x '再解方程 ()101f a '=⇒=.(2) 由22
()23ln 0.
f x x x b x x x b +=+⇒-++=构造函数2
()3ln ,g x x x x b =-++然后求()g x ' ,再解方程()0g x '=,确定()g x 的单调区间,然后确定
()()10,10,202g g g b ⎛⎫≥<≥⇒ ⎪⎝⎭
的取值范围. （3，使212()f x x b ≥+成立
()()
2min min 1,22f x x b x ⎛⎫⎛⎫⇒≥+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,利用导数求()1,22f x x ⎛⎫
⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭ 的最小值,利用二次函数求21,22y x b x ⎛⎫
⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的最小值,解不等式求b 的范围.
试题解析：(1)()1,a
f x x
'=-
由题意得(1)01f a '=⇒= 4分
(2)由⑴得()ln f x x x =-
222()2ln 23ln 0.f x x x b x x x x b x x x b +=+⇒-+=+⇒-++=
设2
()3ln ,g x x x x b =-++则1(21)(1)
()23x x g x x x x
--'=-+
=
当 1(0,),()0,()2x g x g x '∈>单调递增,1
(,1),()0,()2
x g x g x '∈<单调递减,(1,2),()0,()x g x g x '∈>单调递
增.
.2ln 2)2(,2ln 4
5
)21(,2)1()(+-=--=-==b g b g b g x g 最小值 7分
方程
2()2f x x x b +=+在1
[,2]2
上恰有两个不等的实数根,则
1()02g ≥,55
(1)0ln 2 2.(2)0ln 2244
g b g b <⇒+≤<≥⇒+≤< 9分 （3）依条件，
1
[,2]2
x ∈时2min min ()()f x x b ≥+ 11
'(),12
x f x x x -=
≤<时()0,12f x x '<<≤时()0.f x '> ∴()f x 在1
[,1)2
上为减函数，在(1,2]上为增函数
∴min ()(1)1f x f == 12分 而2
1
,[,2]2y x b x =+∈的最小值为1
4
b +
∴114b +≤ ∴34b ≤∴b 的取值范围为3
(,]4
-∞ 14分
考点：求导数,应用导数求单调区间最值,构造函数法,解不等式.
15．已知函数133
1(223
+-+=
x m mx x x f ），m ∈R . （1）当1=m 时，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程； （2）若)(x f 在区间(2,3)-上是减函数，求m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）025315=--y x （Ⅱ）3m ≥或2m ≤-. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）求函数的导数,切线的斜率()2k f '= ,利用点斜式写出直线方程, （Ⅱ）求函数()f x 导数,解方程()0f x '= ,确定函数的单调区间M ,又有()2,3M m -⊆⇒ 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）当1=m 时，3
21()313
f x x x x =
+-+，
又2
'()23f x x x =+-，所以'(2)5f =.又5(2)3
f =， 所以所求切线方程为 5
5(2)3
y x -
=-，即153250x y --=. 所以曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为025315=--y x . 6分
（Ⅱ）因为2
232('m mx x x f -+=）
， 令'(0f x =），得3x m =-或x m =. 8分
当0m =时，2'(0f x x =≥）
恒成立，不符合题意. 9分 当0m >时，()f x 的单调递减区间是(3,)m m -，若()f x 在区间(2,3)-上是减函数，
则32,
3.
m m -≤-⎧⎨
≥⎩解得3m ≥. 11分
当0m <时，()f x 的单调递减区间是(,3)m m -，若()f x 在区间(2,3)-上是减函数，
则2,
3 3.
m m ≤-⎧⎨
-≥⎩，解得2m ≤-.
综上所述，实数m 的取值范围是3m ≥或2m ≤-. 13分
考点：函数的导数求法,及导数的几何意义及应用,直线点斜式方程,解方程不等式.
16．设函数2
()(1)x
f x e ax x =++ (∈a R)，且该函数曲线()y f x =在1x =处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）证明：当[0,
]2
π
θ∈时，(cos )(sin )2f f θθ-<.
【答案】（Ⅰ）()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上单调递减，在(2,1)-上单调递增；（Ⅱ）见解析.
【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求出原函数的导函数，令导函数大于零得单调增区间，令导函数小于零得单调减区间；（Ⅱ）当[0,
]2
π
θ∈时，[]cos ,sin 0,1θθ∈，()f x 在[]0,1上单调递增，求出()f x 在[]0,1上的最大值为和
最小值，用最大值减去最小值可得结论.
试题解析：（Ⅰ）'
2
()(121)x
f x e ax x ax =++++，
由条件知，'
(1)0,f =故320a a ++=则1a =- 3分 于是'
2
()(2)(2)(1)x
x
f x e x x e x x =--+=-+-. 故当()
(),21,x ∈-∞-+∞时，'()0f x <；当(2,1)x ∈-时，'()0f x >。

从而()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上单调递减，在(2,1)-上单调递增. 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在[]0,1上单调递增，
故()f x 在[]0,1上的最大值为(1),f e = 最小值为(0)1,f = 10分 从而对任意[]12,0,1x x ∈有12()()12f x f x e -≤-<， 而当0,
2πθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，[]cos ,sin 0,1θθ∈，从而 (cos )(sin )2f f θθ-<12分 考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的最值；3.正余弦函数的取值范围. 17．设命题P ：函数3
()1f x x ax =--在区间[-1，1]上单调递减；
命题q ：函数2
ln(1)y x ax =++的值域是R.如果命题p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求a 的取值范围. 【答案】(,2][2,3)a ∈-∞-⋃ 【解析】
试题分析：由函数3
()1f x x ax =--在区间[-1，1]上单调递减转化为其导函数'()0f x ≤在[-1，1]上恒成立，分离变量可求解；由函数2
ln(1)y x ax =++的值域是R 转化为2
10y x ax =++>对任意的实数x 有意义，因此其判别式0∆≥.再结合两命题的真假分类讨论求解a 的取值范围. 试题解析：p 为真命题2()30f x x q '⇔=-≤在[]1,1-上恒成立，
23a x ⇔≥在[]1,1-上恒成立3a ⇔≥ 4分
q 为真命题240a ⇔∆=-≥恒成立 22a a ⇔≤-≥或 6分 由题意p 和q 有且只有一个是真命题
P 真q 假3
,22a a a ϕ≥⎧⇔⇔∈⎨
-⎩ p 假q 真3
2322a a a a a ⎧⇔⇔≤-≤⎨
≤-≥⎩
或2或
综上所述：(,2][2,3)a ∈-∞-⋃. 12分 考点：1.命题的真值表；2.恒成立转化；3.导数判函数单调性. 18．在ABC ∆中，(2)cos cos a c B b C -= （1）求角B 的大小;
（2）求2
2cos cos()A A C +-的取值范围. 【答案】(1) 3
B π=；(2) (0,2].
【解析】
试题分析：(1)由正弦定理实现边角互化，再利用两角和与差的正余弦公式化简为1
cos 2
B =
,再求角B 的值；
（2）二倍角公式降幂扩角，两角差余弦公式展开，同时注意隐含条件23
A C π
+=
，即可化为一角一函数sin(2)16y A π=++，
再结合32662
A πππ
<+<求其值域.求解时一定借助函数图象找其最低点与最高点的纵坐标.
试题解析：(1）由已知得：(2sin sin )sin cos A C B C -=， 即2sin cos sin()A B B C =+ ∴1cos 2
B = ∴3
B π=
5分
（2）由（1）得：23
A C π
+=
，故+ 2222cos cos()2cos cos(2)3
A A C A A π
+-=+- 13
(cos 21)(cos 2sin 2)22A A A =++-+
31
sin 2cos 2122
A A =
++ sin(2)16A π
=++
又203A π<< ∴32662
A πππ
<+<
所以()2
2cos cos A A C +-的取值范围是(0,2]. 12分
考点：1.正余弦定理；2.三角函数值域；3.二倍角公式与两角和与差的正余弦公式.
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，CD PA ⊥， DB ADC ∠平分，E PC 为的中点，
45DAC ∠=，2AC =.
（Ⅰ）证明：PA ∥BDE 平面；
（Ⅱ）若,22,2==BD PD 求四棱锥ABCD E -的体积 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2
3
E ABCD V -=. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）要证明线面平行只要证明线和平面内的一条直线平行或直线所在平面和此平面平行，此题我们用第一种证明，我们设F BD AC =⋂，连接EF ，证明EF ∥,PA EF BDE ⊂平面PA BDE ⊄平面从而PA ∥BDE 平面；（Ⅱ）先计算出四边形ABCD 的面积，四棱锥的高为12PD ，由体积公式可得23E ABCD V -=. 试题解析：（Ⅰ）设F BD AC =⋂，连接EF ，
CD PD ABCD CD ABCD PD ⊥∴⊂⊥，平面，平面
PAD PA PD P PA PD PA CD 平面，，，又⊂=⋂⊥
AD CD PAD AD PAD CD ⊥∴⊂⊥∴平面，平面 2分
∵,45︒=∠DAC ∴,DC DA = 3分
∵DB 平分,ADC ∠F 为AC 中点，E 为PC 中点，
∴EF 为CPA ∆的中位线. 4分
∵EF ∥,PA EF BDE ⊂平面，PA BDE ⊄平面
∴PA ∥BDE 平面. 6分
(Ⅱ)底面四边形ABCD 的面积记为S ;
ABC ADC S S S ∆∆+=222
322122221=⨯⨯+⨯⨯=． 9分 的中点，为线段点PC E
111122232323
E ABCD V S PD -∴=⋅=⨯⨯⨯=． 12分 考点：1.线面平行的证明；2.空间几何体的体积计算.
20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，其中2PA PD AD ===，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点．
(1) 求证：AD PQB ⊥平面；
(2) 若平面PAD ⊥平面ABCD ,且M 为PC 的中点，求四棱锥M ABCD -的体积．
【答案】(1)详见解析； (2) M ABCD V -1=．
【解析】
试题分析：(1)只要证AD 与平面PQB 内的两条直线相交垂直即可，如AD 与,PQ BQ 都垂直； (2)先作求出四棱锥M ABCD -的高，再利用四棱锥体积公式求四棱锥M ABCD -的体积．
试题解析：（1）PA PD =，Q 为中点，AD PQ ∴⊥ １分
连DB ，在ADB ∆中，AD AB =，60BAD ︒∠=，
ABD ∴∆为等边三角形，Q 为AD 的中点，
AD BQ ∴⊥, 2
分 PQ BQ Q ⋂=,PQ ⊂平面PQB ,BQ ⊂平面PQB ,
(三个条件少写一个不得该步骤分) 3分
∴AD ⊥平面PQB . 4
分 （2）连接QC ,作MH QC ⊥于H . 5
分 H
A B C
D P
M
Q
PQ AD ⊥,PQ ⊂平面PAD ,
平面PAD ⋂平面ABCD AD =,
平面PAD ⊥平面ABCD ， 6分
PQ ABCD ∴⊥平面 , 7分
QC ⊂ABCD 平面 ,
PQ QC ∴⊥ 8分
//PQ MH ∴. 9分
∴MH ABCD ⊥平面, 10分 又12PM PC =
,11222MH PQ ∴===. 11分
在菱形ABCD 中，2BD =,
方法一:01sin 602ABD S AB AD Λ=⨯⨯⨯13=22=322⨯⨯⨯, 12分 ∴223ABD ABCD S S ∆==菱形. 13分
M ABCD V -13
ABCD S MH =⨯⨯菱形132332=⨯⨯1=． 14分 方法二:222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠22022222cos120=+-⨯⨯
1=4+48232⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭
， 12分 ∴112322322
ABCD S AC BD =⨯⨯=⨯⨯=菱形, 13分 M ABCD V -
13
ABCD S MH =⨯⨯菱形 1323132
=⨯⨯= 14分 考点：1、空间线面垂直关系的证明；2、空间几何体体积的计算．
21．如图，四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．
（1）求证：//AP 平面MBD ；
（2）若AD PB ⊥，求证：BD ⊥平面PAD .
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据平行四边形对角线互相平分的这个性质先连接AC ，找到AC 与BD 的交点O 为AC 的中点，利用三角形的中位线平行于底边证明//AP OM ，最后利用直线与平面平行的判定定理证明//AP 平面MBD ；（2）先证明AD ⊥平面PBD ，得到AD BD ⊥，再由已知条件证明BD PD ⊥，最终利用直线与平面垂直的判定定理证明BD ⊥平面PAD .
试题解析：（1）连接AC 交BD 于点O ，连接OM ，
因为底面ABCD 是平行四边形，所以点O 为AC 的中点，
又M 为PC 的中点，所以//OM PA ， 4分
因为OM ⊂平面MBD ，AP ⊄平面MBD ，所以//AP 平面MBD 6分
M
O
D
C B A P
（2）因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥， 8分
因为AD PB ⊥，PD PB P =，PD ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以AD ⊥平面PBD ， 因为BD ⊂平面PBD ，所以AD BD ⊥， 10分
因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥， 12分
又因为BD AD ⊥，AD PD D =，AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，
所以BD ⊥平面PAD 14分
考点：直线与平面平行、直线与平面垂直
22．已知椭圆R ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，且过点12⎫⎪⎭，． （１）求椭圆R 的方程；
（２）设A 、B 、M 是椭圆上的三点，若3455
OM OA OB −−→−−→−−→=+，点N 为线段AB 的中点，C 、D 两点的坐
标分别为⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
、⎫⎪⎪⎝⎭
，求证：NC ND += 【答案】（1）2
214
x y +=；（2）详见试题解析． 【解析】
试题分析：（1）由已知列方程组可求得,a b 的值，进而可得椭圆的标准方程；（2）利用平面向量的坐标运
算和待定系数法可得线段AB 的中点N 的轨迹是以
C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，
D ⎫⎪⎪⎝⎭
为焦点的椭圆，有椭圆的定
义最终可得NC ND +=
试题解析：(1)由已知22
241341a a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ２分 解得2,1a b ==. ４分
∴椭圆的方程为2
214
x y +=． ５分 （２）设()()()1122,,,,M M A x y B x y M x y ，，则221114x y +=，222214
x y +=． 6分
由3455
OM OA OB −−→−−→−−→=+, 得12123434,5555M M x x x y y y =+=+,即12123434,5
555M x x y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭． ７分
M 是椭圆R 上一点，所以 ∴221212343455145
5x x y y ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭++= ⎪⎝⎭， ８分 即222222121212123434()214545554x x x x y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得22121234342155554x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故121204x x y y +=． ９分 又线段AB 的中点N 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫
⎪⎝⎭， 10分 ∴212222221212121212112212224244x x y y x x x x y y y y +⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎝⎭+=+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 11分 ∴线段AB 的中点N 1212,2
2x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆2
2212x y +=上． 12分 椭圆2
2212x y +=的两焦点恰为
C ,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，
D 2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 13分
∴NC ND += 14分 考点：1、椭圆的定义、方程；2、应用平面向量解决解析几何问题．。