高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念高效测评新人教版

2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.1 变化率问题
1.1.2 导数的概念高效测评 新人教A 版选修2-2
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数f (x )＝2x 2
－1在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率Δy Δx 等于( )
A ．4
B ．4＋2Δx
C ．4＋2(Δx )2
D ．4x
解析： 因为Δy ＝[2(1＋Δx )2
－1]－(2×12
－1)＝4Δx ＋2(Δx )2
， 所以Δy
Δx ＝4＋2Δx ，故选B.
答案： B
2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A ．0.41 B ．2 C ．0.3 D ．0.2 解析： v ＝3＋2×2.1－＋
2.1－2
＝2.
答案： B
3．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3
D ．－2
解析： 根据平均变化率的定义，可知Δy
Δx ＝
a ＋
b －a ＋b
2－1
＝a ＝3.
答案： C
4．若f (x )在x ＝x 0处存在导数，则lim h →0
f x 0＋h －f x 0
h
( )
A ．与x 0，h 都有关
B ．仅与x 0有关，而与h 无关
C ．仅与h 有关，而与x 0无关
D ．以上答案都不对
解析： 由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关． 答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知函数y ＝2x 2
－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于
________．
解析： Δy
Δx ＝
＋Δx 2
－1－1
Δx
＝4＋2Δx .
答案： 4＋2Δx
6．已知f (x )＝－x 2
＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是__________ .
解析： ∵Δy Δx ＝
f ⎝
⎛⎭
⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32
Δx
＝－Δx －3，
∴lim Δx →0 Δy
Δx ＝－3. 答案： －3
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求函数y ＝x 2
－2x ＋1在x ＝2附近的平均变化率．
解析： 设自变量x 在x ＝2附近的变化量为Δx ，则y 的变化量Δy ＝[(2＋Δx )2
－2(2＋Δx )＋1]－(22
－4＋1)＝(Δx )2
＋2Δx ，
所以，平均变化率Δy Δx
＝
Δx
2
＋2Δx
Δx
＝Δx ＋2.
8．一质点M 按运动方程s (t )＝at 2
＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)．若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a .
解析： 因为Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)
＝a (2＋Δt )2
＋1－a ·22
－1＝4a Δt ＋a (Δt )2
， 所以Δs
Δt
＝4a ＋a Δt ，
即当t ＝2时，瞬时速度为lim Δt →0 Δs
Δt ＝4a ，即4a ＝8.所以a ＝2.
尖子生题库
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9．(10分)已知函数f (x )＝13－8x ＋2x 2
，且f ′(x 0)＝4，求x 0的值． 解析： ∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy
Δx
＝lim Δx →0
[13－
x 0＋Δx ＋2x 0＋Δx
2
]－－8x 0＋2x 2
Δx
＝lim Δx →0 －8Δx ＋22x 0Δx ＋2
Δx
2
Δx
＝lim Δx →0
(－8＋22x 0＋2Δx )
＝－8＋22x 0，
∴－8＋22x 0＝4，解之得x 0＝3 2.。