§2以为周期的函数的展开式

§ 2 以l 2为周期的函数的展开式
一、以l 2为周期的函数的Fourier 级数:
设函数)(x f 以l 2为周期 , 在区间] , [l l -上 (R )可积 . 作代换πt l x =
, 则函数 ) ()(πlt f t F = 以π2为周期. 由π
t
l x =是线性函数, )(t F 在区间] , [ππ-上(R )可积 . 函数的Fourier 系数为 . . ⎰-=
πππntdt t F a n cos )(1 , , 2 , 1 , 0=n ⎰-=π
ππntdt t F b n sin )(1 , , 2 , 1 =n )(t F ～ ∑∞=++1
0 . sin cos 2n n n nt b nt a a （1） 还原为自变量x , 注意到l x
t x f t
l f t F , )() ()(ππ===, 就有
)()(t F x f =～∑∞=++10 . sin cos 2n n n l
x n b l x n a a ππ 其中 ⎰-=πππ
ntdt t F a n cos )(1⎰-=====l l l
x t dx l x n x f l ππcos )(1, , 2 , 1 , 0=n =n b ⎰-l l dx l x n x f l πsin )(1, , 2 , 1 =n （4） 当函数)(x f 在区间] , [l l -上按段光滑时, )(x f 可展开为Fourie r 级数.
註 三角函数系 } , sin , cos , , sin , cos , 1 { l
x n l x n l x
l x
ππππ是区间] , [l l -上的正交函数系统 . 例1 把函数⎩
⎨⎧<≤<<-=50 , 3 , 05 , 0 )(x x x f 展开成Fourier 级数. P 72 二、偶函数和奇函数的Fourier 级数 （正弦级数和余弦级数）
1.
区间] , [ππ-上偶函数和奇函数的Fourier 级数: 定义
形如1sin n n b
nx ∞=∑的三角级数(函数项级数)称为正弦级数; 形如01
cos 2n n a a nx ∞=+∑的三角级数(函数项级数)称为余弦级数. 如果()f x 是以2π为周期的函数,在[,]ππ-上绝对可积, 若()f x 是奇函数,则有
1()~sin n n f x b nx ∞
=∑；若()f x 是偶函数,则有01()~cos 2n n a f x a nx ∞
=+∑. 2. 奇展开和偶展开:
设()f x 仅在[0,]π上有定义, 如果按奇函数的要求,补充定义()(),[,0)f x f x x π=--∈-,然后再作2π周期延拓,必得奇函数, 所得Fourier 级数必为正弦级数. 对应地, 补充定义()(),[,0)f x f x x π=-∈-后,再作2π周期延拓,必得偶函数, 所得Fourier 级数必为余弦级数.
例2 设|sin |)(x x f =, ππ≤≤-x . 求f 的Fourier 级数展开式. P 74
例3 把定义在] , 0 [π上的函数
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<=<<=.
, 0 , , 2
1 , 0 , 1 )(πx h h x h x x f ( 其中之一) 0π<<h
展开成正弦级数. P 75
例4 把函数x x f =)( 在) 2 , 0 (内展开成: ⅰ> 正弦级数; ⅱ> 余弦级数. P 76
补例1 1,0()0,x h f x h x π
≤<⎧=⎨≤<⎩ (0h π<<),将()f x 展开成余弦函数. 3. 一般周期函数的Fourier 级数
设()f x 是周期为T 的函数,且在[0,]T 上绝对可积, 则有
0122()~(cos sin )2n n n a n n f x a x b x T T
ππ∞=++∑, 其中002()T a f x dx T =⎰，022()cos ,1,2,T n n a f x xdx n T T π==⎰022()sin ,1,2,T n n b f x xdx n T T π==
⎰
补例2 求(),11f x x x =-≤≤的Fourier 展开式.
4. Fourier 级数的复数表示形式 设01
()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑, 则其复数表示形式为 ()~inx n f x C e +∞
-∞∑,
其中, 复的Fourier系数
2
1
()
22
inx
n n
n n
a ib
C f x e dx C
π
π
-
-
-
===
⎰.
作业P77；3，4 .。