Euclid算法（欧几里得算法）

Euclid算法（欧⼏⾥得算法）
线性组合与GCD
现在我们证明⼀个重要的定理：gcd(a,b)是a和b的最⼩的正线性组合。

证明：
设gcd(a,b)为d，a和b的最⼩的正线性组合为s
∵d|a且d|b，
∴d|s。

⽽a mod s=a-[a/s]s
=a-[a/s](ax+by)
=a(1-[a/s]x)-b[a/s]y
亦为a和b的线性组合
∵a mod s<s，a mod s不能是a和b的最⼩的正线性组合
∴a mod s=0，即s|a
同理由s|b
∴s为a,b的公约数
∴s<=d
∵d|s
∴d=s。

证毕。

由这条定理易推知：若d|a且d|b，则d|gcd(a,b)
Euclid算法
现在的问题是如何快速的求gcd(a,b)。

穷举明显不是⼀个好⽅法（O(n)），所以需要⼀个更好的⽅法。

⾸先我们先提出⼀个定理：gcd(a,b)=gcd(b,a-bx)（x为正整数）。

证明：
设gcd(a,b)=d,gcd(b,a-bx)=e,则
∵d|a,d|b
∴d|a-bx
∴d|gcd(b,a-bx)，即d|e
∵e|b,e|a-bx
∴e|bx+(a-bx)，即e|a
∴e|gcd(a,b)，即e|d
∴d=e。

证毕。

这个定理⾮常有⽤，因为它能快速地降低数据规模。

当x=1时，gcd(a,b)=gcd(b,a-b)。

这就是辗转相减法。

当x达到最⼤时，即x=[a/b]时，gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。

这个就是Euclid算法。

它是不是Euclid提出的我不知道，但听说是在Euclid时代形成的，所以就叫Euclid算法了。

程序⾮常的简单：
function Euclid(a,b:longint):longint;
begin
if b=0 then exit(a)
else exit(Euclid(b,a mod b));
end;
Euclid算法⽐辗转相减法好，不仅好在速度快，⽽且⽤起来也⽅便。

两种算法都有⼀个隐含的限制：a>=b。

⽤辗转相减法时，必须先判断⼤⼩，⽽Euclid算法不然。

若a<b，则⼀次递归就会转为gcd(b,a)，接着就能正常运⾏了。