2011年高考数学一轮复习第8节幂函数与二次函数

第二章 第八节 幂函数与二次函数
1.已知幂函数f (x )＝x α
则不等式f (|x |)≤2的解集是 ( )
A.{x |－4≤x ≤4}
B.{x |0≤x ≤4}
C.{x |－2≤x ≤2}
D.{x |0＜x ≤2}
解析：由表知22＝(12)α，∴α＝12
，∴f (x )＝1
2x . ∴12x ()≤2，即|x |≤4，故－4≤x ≤4.
答案：A
2.函数y ＝1
n x ()(n ∈N ，n >2)的图象的大致形状是 ( )
解析：由n >2知－1n
<0， ∴x ≠0，且图象在第一象限内为减函数.
答案：A
3.比较下列各组值的大小：
(1)13
8--和－1
319()； (2) 2
54.1、2
53.8-（ 1.9-）3
5-
(3)0.20.5和0.40.3.
解：比较幂值的大小，一般可以借助幂函数和指数函数的单调性，有时也要借助中间值.
(1)由于幂函数1
3y x -=在(0，＋∞)上是减函数， 所以1
1
33<89--，因此 1
1
33<89----， 即1
1
339<18;----()
(2)由于22
3
5554.11,0 3.81, 1.9><<0<,-(-)-1
3y x -= 因此22
3
555><<4.11,0 3.81, 1.9-(-)-
(3)由于指数函数y ＝0.2x 在R 上是减函数，
所以0.20.5<0.20.3，
又由于幂函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数，
所以0.20.3<0.40.3，故有0.20.5<0.40.3.
4.已知函数f (x )＝x 2 ( ) A.f (－2)＜f (0)＜f (2)
B.f (0)＜f (－2)＜f (2)
C. f (0)＜f (2)＜f (－2)
D. f (2)＜f (0)＜f (－2)
解析：∵f (1＋x )＝f (－x )，
∴(x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝x 2－b x ＋c ，
∴x 2＋(2＋b )x ＋1＋b ＋c ＝x 2－bx ＋c ，
∴2＋b ＝－b ，即b ＝－1，
∴f (x )＝x 2－x ＋c ，其图象的对称轴为x ＝1
2，
∴f (0)＜f (2)＜f (－2).
答案：C
5.(2010·海口模拟)方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ∈(0，＋∞))的解的个数是
( ) A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
解析：∵a ∈(0，＋∞)，∴a 2＋1＞1，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点，∴方程有两解.故选B.
答案：B
6.已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，满足不等式f (x )＞－2x 的解集为(1,3)，且方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式.
解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).∵f (x )＞－2x ，
∴ax 2＋bx ＋c ＞－2x ，即ax 2＋(b ＋2)x ＋c ＞0.
∵解集为(1,3)，故224,0,4,<0.
x x x x x x ⎧+⎪⎨-⎪⎩≥ 0,0,213,42,3<.13<a a b a b a a c c a ⎧⎪⎪⎧⎪+⎪⎪+=-⇒=--⎨⎨⎪⎪=⎩⎪⎪⨯=⎪⎩
由于f (x )＝－6a 有两个相等的实根，故ax 2＋bx ＋c ＋6a ＝0中Δ＝0.
∴b 2－4a (c ＋6a )＝0. ③
联立①②③，故a ＝－15，b ＝－65，c ＝－35
， ∴f (x )＝－15x 2－65x －35
.
7.函数f (x )＝4x 2－mx ( )
A. f (1)≥25
B.f (1)＝25
C. f (1)≤25
D.f (1)＞25
解析：由题知
8
m ≤－2，∴m ≤－16.∴f (1)＝9－m ≥25. 答案：A
8.(2009·天津高考)已知函数f (x )＝224,0,40<,.x x x x x x ⎧+⎪⎨-⎪⎩≥若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是 ( )
A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
① ②
B.(－1,2)
C.(－2,1)
D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：函数f (x )＝224,0,40<,.
x x x x x x ⎧+⎪⎨-⎪⎩≥的图象 如图.
知f (x )在R 上为增函数.
∵f (2－a 2)＞f (a )，
即2－a 2＞a .
解得－2＜a ＜1.
答案：C
9.已知f (x )＝x 2－2x ＋3，在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是 .
解析：若f (x )＝3，则x ＝0或x ＝2；若f (x )＝2，则x ＝1.借助函数图象可知1≤m ≤2.
答案：1≤m ≤2
10.(2009·福建高考)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－2a
对称.据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是
( )
A.{1,2}
B.{1,4}
C.{1,2,3,4}
D.{1,4,16,64}
解析：设关于f (x )的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0有两根，即f (x )＝t 1或f (x )＝t 2.
而f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象关于x ＝－
2b a 对称，因而f (x )＝t 1或f (x )＝t 2的两根也关于x ＝－2b a
对称.而选项D 中4＋162≠1＋642
. 答案：D
11.不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是
.
解析：当a －2＝0，即a ＝2时，－4＜0恒成立；
当a －2≠0时，22042162<a a a -=⎧⎨∆=-+-⎩
()()0 解之得：－2＜a ＜2
∴a 的取值范围是－2＜a ≤2.
答案：(－2,2]
12.设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若6a ＋2b ＋c ＝0，f (1)·f (3)＞0，
(1)若a ＝1，求f (2)的值；
(2)求证：方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1、x 2，且3＜x 1＋x 2＜5.
解：(1)∵6a ＋2b ＋c ＝0，a ＝1，
∴f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝－2a ＝－2.
(2)证明：首先说明a ≠0，
∵f (1)·f (3)＝(a ＋b ＋c )(9a ＋3b ＋c )＝－(5a ＋b )(3a ＋b )＞0，
若a ＝0，则f (1)·f (3)＝－b 2＜0与已知矛盾，
∴a ≠0，
其次说明二次方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1、x 2，
∵f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝－2a ，
∴若a ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，而此时f (2)＜0，
∴若a ＜0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，而此时f (2)＞0.
故二次函数图象必与x 轴有两个不同交点，
∴ 二次方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1、x 2，
(或利用Δ＝b 2－4ac ＝b 2＋4a (6a ＋2b )＝b 2＋8ab ＋24a 2＝(b ＋4a )2＋8a 2＞0来说明) ∵a ≠0，
∴将不等式－(5a ＋b )(3a ＋b )＞0两边同除以－a 2得
(b a ＋3)(b a
＋5)＜0， ∴－5＜b a
＜－3. ∴3＜x 1＋x 2＝－b a
＜5.。