hao1.2.2排列习题课(十种方法总结)第二课时
课时作业30：1.2.2 组合(二)
1.2.2组合(二)基础过关1.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A.60种B.63种C.65种D.66种解析从1，2，3，…9这9个数中取出4个不同的数，其和为偶数的情况包括：(1)取出的4个数都是偶数，取法有C44＝1(种)；(2)取出的4个数中有2个偶数、2个奇数，取法有C24C25＝60(种)；(3)取出的4个数都是奇数，取法有C45＝5(种).根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有1＋60＋5＝66(种).答案D2.编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有()A.60种B.20种C.10种D.8种解析四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，即C35＝10(种).答案C3.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A.112 B.114C.115 D.118解析不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C210种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率P＝3C210＝115，故选C.答案C4.在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有________种(用数字作答).解析分两类，有4件次品的抽法为C44C146种；有3件次品的抽法有C34C246种，所以共有C44C146＋C34C246＝4 186(种)不同的抽法.答案 4 1865.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法种数为________(用数字作答).解析分两类，第一类：从甲、乙中选1人的方法有C12种，丙没有入选，从剩余的7人中再选2人有C27种方法；第二类：甲、乙两人都入选，丙不入选，从剩余7人中再选1人有C17种方法，故其选取种数为C12C27＋C22C17＝49.答案496.从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力赛，如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法？解把所选取的运动员的情况分为三类.第一类：甲、乙两人均不参赛，有A44＝24(种)；第二类：甲、乙两人有且只有1人参赛，共有C12C34(A44－A33)＝144(种)；第三类：甲、乙两人都参赛，有C24(A44－2A33＋A22)＝84(种).由分类加法计数原理知，所有的参赛方法共有24＋144＋84＝252(种).7.从1到9这9个数字中取3个偶数和4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？(4)在(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有几个？解(1)分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C34种情况.第二步，在5个奇数中取4个，有C45种情况.第三步，将3个偶数、4个奇数进行排列，有A77种情况.所以符合题意的七位数有C34·C45·A77＝100 800(个).(2)在上述七位数中，3个偶数排在一起的有C34·C45·A55·A33＝14 400(个).(3)在(1)中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C34·C45·A33·A44·A22＝5 760(个).(4)在(1)中的七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空位(包括两端)中，共有C34·C45·A44·A35＝28 800(个).能力提升8.6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()A.1或3B.1或4C.2或3D.2或4解析任意两位同学之间交换纪念品共要交换C26＝15(次)，如果都完全交换，由列举法可知每个人都要交换5次，也就是每人得到5份纪念品.现在6位同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次若不涉及同一人，则收到4份纪念品的同学有4人，若涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学有2人.答案D9.已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点最多可以有()A.36个B.72个C.63个D.126个解析此题可化归为：圆上9个点选4个点可组成的每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C49＝126(个).答案D10.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种.(用数字作答)解析把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C23种分法，再分给4人有C23A24种分法，所以不同获奖情况种数为A44＋C23A24＝24＋36＝60(种).答案6011.从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数(用数字作答).解析若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为C25C23A44；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为C25C13C13A33.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为C25C23A44＋C25C13C13A33＝720＋540＝1 260.答案 1 26012.在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加；(5)甲、乙、丙三人至少1人参加.解(1)C512＝792(种)不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C29＝36(种)不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126(种)不同的选法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C13种选法，再从另外的9人中选4人有C49种选法，共有C13C49＝378(种)不同的选法.(5)方法一(直接法)可分为三类：第一类，甲、乙、丙中有1人参加，共有C13C49种；第二类，甲、乙、丙中有2人参加，共有C23C39种；第三类，甲、乙、丙3人均参加，共有C33C29种.共有C13C49＋C23C39＋C33C29＝666(种)不同的选法.方法二(间接法)12人中任意选5人共有C512种，甲、乙、丙三人都不参加的有C59种，所以，共有C512－C59＝666(种)不同的选法.创新突破13.已知一组曲线y＝13ax3＋bx＋1，其中a为2，4，6，8中的任意一个，b为1，3，5，7中的任意一个.现从这些曲线中任取两条，它们在x＝1处的切线相互平行，这样的曲线共有多少组？解y′＝ax2＋b，曲线在x＝1处切线的斜率k＝a＋b.切线相互平行，则需它们的斜率相等，因此按照在x＝1处切线的斜率的可能取值可分为5类完成.第一类：a＋b＝5，则a＝2，b＝3；a＝4，b＝1.故可构成两条曲线，有C22组.第二类：a＋b＝7，则a＝2，b＝5；a＝4，b＝3；a＝6，b＝1.可构成三条曲线，有C23组.第三类：a＋b＝9，则a＝2，b＝7；a＝4，b＝5；a＝6，b＝3；a＝8，b＝1.可构成四条曲线，有C24组.第四类：a＋b＝11，则a＝4，b＝7；a＝6，b＝5；a＝8，b＝3.可构成三条曲线，有C23组.第五类：a＋b＝13，则a＝6，b＝7；a＝8，b＝5.可构成两条曲线，有C22组.故共有C22＋C23＋C24＋C23＋C22＝14(组).。
课时作业1：1.2.1 排列(二)
1.2.1排列(二)一、基础过关1．把4个不同的黑球，4个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，不同的排法种数是()A．A88B．A44A44C．A44A44A22D．以上都不对答案 C2．6个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法总数为() A．A33B．A36C．A46D．A44答案 D解析3个空位连在一起作为一个元素与3辆汽车看成4个不同元素的全排列，故有A44种停放方法．3．某省有关部门从6人中选4人分别到A、B、C、D四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有一人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有()A．300种B．240种C．144种D．96种答案 B解析A地区有A14种方法，其余地区有A35种方法，共有A14A35＝240(种)．4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88A210C．A88A27D．A88A26答案 A解析运用插空法，8名学生间共有9个空隙(加上边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有A29种排法，再把8名学生排列，有A88种排法，共有A88×A29种排法．5．从0、1、2、3这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c中的参数a、b、c，可组成不同的二次函数共有____个．答案18解析若得到二次函数，则a≠0，a有A13种选择，故二次函数有A13A23＝3×3×2＝18(个)．6．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．答案186解析没有女生的选法有A34种，一共有A37种选法，则至少有1名女生的选派方案共有A37－A34＝186(种)．7．分别求出符合下列要求的不同排法的种数．(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．解(1)分排与直排一一对应，故排法种数为A66＝720.(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A14种选法，然后其他5人排，有A55种排法，故排法种数为A14A55＝480.(3)甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有A44A25＝480(种)排法．二、能力提升8．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有()A．48种B．192种C．240种D．288种答案 B解析(用排除法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A55种排法，而女生可互换位置，所以共有A55×A22种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A22×A44(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列种数为A55×A22－A44×A22＝192.9．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．答案 1 440解析先让5名大人全排列有A55种排法，两个小孩再依条件插空有A24种方法，故共有A55A24＝1 440(种)排法．10．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有________种．答案12解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A33·A12·1＝12(种)不同的排列方法．11．某天课程表要排入政治、语文、数学、物理、化学、体育共6门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？解不考虑任何条件限制共有A66种排法，其中包括不符合条件的有：(1)数学排在最后一节，有A55种；(2)体育排在第一节，有A55种；但这两种情况都包含着数学排在最后一节，且体育排在第一节的情况有A44种(即重复)，故共有A66－2A55＋A44＝504种．12．7名班委中有A、B、C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A、B、C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A、B、C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步乘法计数原理，知共有A23A55＝720(种)分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24A55种，因此A、B、C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3 600(种)．三、探究与拓展13．三个女生和五个男生排成一排，(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？解(1)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有六个元素，排成一排有A66种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A33种排法，因此共有A66·A33＝4 320(种)不同排法．(2)先排5个男生，有A55种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A36种排法，因此共有A55·A36＝14 400(种)不同排法．(3)因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A66种排法，因此共有A25·A66＝14 400(种)不同排法.。
1.2.2 排 列 (二)ppt课件
(2)把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起， 栏
不同排法的种数为______A__55·．A44
目 链 接
3．对附有限制条件的排列要掌握正向思考问题的方
法——直接法，同时要掌握一些问题的逆向思考的方法—
—间接法．
自测 自评
1．(2013·广东珠海高二下学期期末)6名同学从左到 右站成一排，其中甲不能站在两头，不同的站法有( )
第一章 计数原理
1．2 排列与组合 1.2.2 排 列 (二)
栏 目 链 接
1．运用公式解决一些简单的排列问题． 2．掌握一些有附加条件的排列应用题的基本解法．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
基础 梳理
1．对附有限制条件的排列，思考问题的原则是优先考 虑受限制的元素或受限制的位置．
2．对下列附有限制条件的排列，要掌握基本的思考方
A．480种 B．240种 C．120种 D．96种
栏 目
链
接
解析：6 名同学从左到右站成一排，共有 A66＝720
种站法，其中甲站在两头，共有 2A55＝240 种站法，
所以满足题意的站法有 720－240＝480 种．故选 A.
答案：A
自测 自评
2．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每
法：
栏
目
链
元素在某一位置或元素不在某一位置；
接
元素相邻——捆绑法，即把相邻元素看成一个元素；
元素不相邻——插空法；
比某一数大或比某一数小的问题主要考虑首位或前几 位．
基础 梳理
例如：(1)5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在 一起也不排在头尾，则不同的排法有_A__55·_A_42_____种．
1.2.排列(第二课时)PPT课件PPT学习教案
解：A，B两小孩的站法有：2A（22 种），其余人的站法
有A55 （种），所以共有2A22 A55 480 （种） 排
法。 第27页/共36页
2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命种恰好3枪连 在一起的不同种数有多少？
解：连续命中的3枪和命中的另一枪被未命中 的4枪所隔开 ，如图表示没有命中， _____ 命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共 两个元素插到五个空档中有A25=5·4=20种排法
所有排法： A77 甲在排头： A66
乙在排尾： A66 甲在排头、乙在排尾： A55
共有： A77 2A66 A55 3720种方法
第17页/共36页
例4：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩 ，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念 。（1）若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有 多少种不同的排法？
第33页/共36页
3：三名女生和五名男生排成 一排，
⑴如果女生全排在一起，有 多少种不同排法？
A66 A33 =4320
⑵如果女生全分开，有多少 种不同排法？
A55A63=14400
⑶如果两端都不能排女生，
A52A66=14400
有多少种不同排法？
A52A66+2A31A51A66
=36000
⑷如果两端不能都排女生， A - A A 8 8 或
解一：甲站其余六个位置之一有A61种，其余6人全排列有 A66 种，共有A61 A66 =4320。 解二：从其他6人中先选出一人站首位，有A61，剩下6人 （含甲）全排列，有A66 ，共有A61 A66 =4320。
解三：7人全排列有A77，甲在首位的有A66，所 以共有 A77- A66=7 A66- A66=4320。
2018学年高中数学人教A版选修2-3课件：1.2.2 第二课时 组合习题课 精品
4．安排 3 名支教教师去 6 所学校任教，每校至多 2 人，则不同 的分配方案共有__________种．(用数字作答)
解析：每人去一所学校有 A63种；有两人去一所学校有 C23×A26 种，共有不同分配方案的种数为 A36＋C23×A26＝210. 答案：210
5．课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、
第二课时 组合(习题课)
1．排列与组合的不同点是什么？ 略 2．在利用组合数的性质应注意什么？ 略
组合问题的简单应用
[例 1] 某大学要从 16 名大学生(男 10 人，女 6 人)中选出 8 名学生组成“假期下乡送科学小组”．
(1)如果小组中至少有 3 名女生，可有多少种不同的选法？ (2)如果小组中至少有 5 名男生，可有多少种不同的选法？ (3)如果小组中至多有 3 名女生，可有多少种不同的选法？
女生各指定一名队长，现从中选 5 人主持某种活动，依下列)两名队长当选；
(3)至少有 1 名队长当选． 解：(1)1 名女生，4 名男生，故共有 C15·C48＝350 种选法． (2)将两名队长作为一类，其他 11 人作为一类，故共有 C22·C311 ＝165 种选法．
(3)法一：至少有 1 名队长含有两类：只有 1 名队长，2 名队长．故
共有 C21·C141＋C22·C311＝825 种选法． 法二：采用间接法共有 C513－C511＝825 种选法．
排列第2课时课件人教新课标
解题小结：、直接法与间接法。直接法，即按合乎要求的 情况分类计算。间接法，即先算总数，再减去不 合要求的。
从解题的切入点看，元素选位置、位置选元 素，它们是较成型的思维情势；从方法上看 ，直接法、间接法，它们都是较成熟的逻辑 方法。解答排列问题，从哪儿切入，用什么 方法，这两点太重要了
课外训练: 1.甲、乙、丙、丁、戊 5 个人排队,⑴5 个人站成一 排 不同有的多排少法种？不⑶同甲的不方站1法2在0?⑵左甲端必有须多站少在种中排间法有？9多62少4 种
2.乒乓球的10名队员中有3名主力队员, 派5名参加比 赛.3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7 名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场
安排共有__2_5_2种(用数字作答).
3.从若干个元素中选出2个进行排列，可得210种不
同的排列，那么这些元素共有多少个？15
四名男生和三名女生排成一排。 （1）一共有多少种不同的排法？ （2）甲站在正中间的不同排法有多少种？ （3）甲、乙两人必须站在两端的排法有多少种？ （4）甲不站排头，也不在排尾，有多少种方法？ （5）甲只能站在排头或排尾，有多少种方法？ （6）甲不站在排头，乙不站在排尾，有多少种排法？
例2.用0到9这10个数字，可以组成 多少个没有重复数字的三位数？ 解法 2 ：
A93 A92 A92 648
例2.用0到9这10个数字，可以组成 多少个没有重复数字的三位数？
解法 3 ：
A130 A92 109898 648
练习2： 问题:用0,1,2,3,4这5个数字。
1.组成几个五位数？
____
Am1 n
(5)
(m 1)!
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排列第二课时教案
排列教案（第二课时）一 、教学目标：1．知识与技能：熟练掌握排列数公式；熟悉并掌握一些分析和解决排列问题的基本方法；能运用已学的排列知识，正确地解决简单的实际问题2．过程与方法：通过对排列应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，正确地解决的实际问题；3. 情感、态度与价值观：会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；培养学生严谨的学习态度二 、教学重点与难点教学重点：理解排列的概念, 熟练掌握排列数公式，分析和解决排列问题的基本方法，对加法原理和乘法原理的掌握和运用，并将这两个原理的基本思想方法贯穿在解决排列应用问题当中教学难点：分析和解决排列问题的基本方法，对于有约束条件排列问题的解答三、 教学方法分析：分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.排列的应用题是本节的难点，通过本节例题的分析，注意培养学生解决应用问题的能力．在分析应用题的解法时，教材上先画出框图，然后分析逐次填入时的种数，这样解释比较直观，教学上要充分利用，要求学生作题时也应尽量采用．在教学排列应用题时，开始应要求学生写解法要有简要的文字说明，防止单纯的只写一个排列数，这样可以培养学生的分析问题的能力，在基本掌握之后，可以逐渐地不作这方面的要求．教学中指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.四 、教学过程：一、复习引入： 1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法 12n N m m m =+++种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示 5．排列数公式：（1）(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）常用来求值，特别是,m n 均为已知时（2）公式m n A =!()!n n m -，常用来证明或化简6 .阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘0!1=． 7. 练习：1计算：5699610239!A A A +=- ； 11(1)!()!n m m A m n ---=⋅- ．2．解方程：3322126x x x A A A +=+．二、讲解新课：例1 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有13A 种；第二类用2面旗表示的信号有23A 种；第三类用3面旗表示的信号有33A 种，由分类计数原理，所求的信号种数是：12333333232115A A A ++=+⨯+⨯⨯=， 答：一共可以表示15种不同的信号例2 将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有44A 种方法；第二步：把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有44A 种方法，利用分步计数原理即得分配方案的种数解：由分步计数原理，分配方案共有4444576N A A =⋅=（种）答：共有576种不同的分配方案例3 从0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解法一：对排列方法分步思考。
1.2.1.2 排列2
• [点评] 相离问题插空法．不相邻问题是指 要求某些元素不能相邻，由其它元素将它 隔开，此类问题可以先将其它元素排好， 再将所指定的不相邻的元素插入到它们的 空隙及两端位置，故称“插空法”．
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4名男生和4名女生站成一排 ①男生不相邻的站法有多少种？ ②女生不相邻的站法有多少种？ ③男、女生相间的站法有多少种？(可不必 计算出数值)
• (1)“捆绑”排列问题 • 排列问题中诸如将某些元素必须安排在一 起 ( 如相邻 ) 的问题，我们称之为“捆绑” 排列问题，也称为“集团排列”问题，即 先排“集团内部”的元素，再把它们看成 一个整体作为一个大“元素”，与其他元 素一起排列． • (2)间隔排列问题——“插空”法 • 我们把排列中部分元素不能相邻的排列问 题称为间隔排列问题，解决间隔排列问题 的常用方法是“插空”法，也就是先排不 需要间隔 ( 可以相邻 ) 的元素，再将需要间
• 1．解排列应用题的基本思想 • 实际问题→排列问题→求排列数→解决实 际问题． • 解简单的排列应用题：首先必须认真分析 题意，看能否把问题归结为排列问题，即 是否与顺序有关，如果是，再分析这 n 个 不同的元素指的是什么，以及从 n 个不同 的元素中任取 m 个元素的每一个排列对应 的是什么事情，然后再运用排列数公式求 解．
• 2．有限制条件的排列问题 • 有限制条件的排列问题常用的方法有“直 接法”和“间接法” ( 又称排除法 ) ．当问 题的正面分类较多或计算较复杂而问题的 反面分类较少或计算更简便时往往使用 “间接法”，而用“直接法”解有限制条 件的排列问题的基本方法有：元素分析 法——即以元素为主，优先考虑特殊元素， 再考虑其他元素；位置分析法——即以位置 为主，优先考虑特殊位置，再考虑其他位 置．
第2课时 排列二)
第2课时排列(二)自主预习·探新知情景引入2020年7月1日是中国共产党成立99周年纪念日，各地组织形式多样的纪念活动，某校开展了“学习强国”答题竞赛，共有29名参赛者按顺序就座参与比赛．那么这29位选手的排列顺序有多少种呢？这样的排列顺序问题能否有一个公式表示呢？只要掌握了本节我们将要学习的排列与排列数公式，这些问题便可迎刃而解．新知导学1．排列数的性质①A＝__n__A；②A＝__m__A＋A．性质①是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素排成一列．分两步骤完成：第一步从n个元素中选出1个排在一个位置上，第二步从余下的n－1个元素中选出__m－1__个元素排在余下的m－1个位置上，得到A＝__nA__．性质②是指从含有元素a的n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，排成一列．第一类：m个元素中含有a，分两步完成．第一步，将a排在某一位置上，有__m__种不同的方法．第二步，从其余n－1个元素中取出__m－1__个排在其他m－1个位置有A种方法，即有mA种不同的方法．第二类：m个元素中不含有a.从n－1个元素中取出__m__个元素排在m个位置上有A种方法，∴A＝mA＋A或∵A－A＝n·(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)－(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n－m)＝m[(n－1)(n－2)…(n－m＋1)]＝__mA__∴A＝__mA＋A__．2．有限制条件的排列问题①直接法：以元素为考察对象，先满足__特殊__元素的要求，再考虑__一般__元素(又称为元素分析法)，或以位置为考察对象，先满足__特殊__位置的要求，再考虑__一般__位置(又称位置分析法)．②间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去__不合要求__的排列数．③相邻元素__捆绑__法，相离问题__插空__法，定元、定位__优先排__法，至多、至少__间接__法，定序元素__最后排__法．预习自测1．5名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有( C )A．70 B．72C．36 D．12[解析] 甲、乙、丙先排好后视为一个整体与其他2名同学进行排列，共有AA＝36种排法．2．用数字0、1、2、3、4、5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有( B )A．288个B．240个C．144个D．126个[解析] 个位是0，有4A＝96个；个位不是0，有2×3×A＝144个，∴共有96＋144＝240个．3．有七名同学站成一排照毕业照，其中甲必须站在中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有__192__种．[解析] 解法一：先去掉甲考虑其他6人，首先将乙、丙绑定为一个元素，排法有A·A，然后让甲站在中间位置，但此时有不符合条件的，即当乙、丙在中间位置时，甲再插入中间的应去掉，共有A·A，则符合条件的站法有A·A－A·A＝192种．解法二：乙、丙的排法有2种，乙、丙可在甲的左边也可在右边，每边都有2种位置，乙、丙站好后其余4人任意排共有2×2×2A＝192种．4．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的一种顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端.[解析] (1)2名女生站在一起有站法A种，视为一个元素与其余5个全排，有A种排法，∴有不同站法A·A＝1 440种．(2)先排老师和女生，有排法A种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，有插入方法A种，∴共有不同站法A·A＝144种．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A种，而由高到低有从左到右，或从右到左的不同，∴共有不同站法2·＝420种．(4)中间和两侧是特殊位置，可如下分类求解：①老师站两侧之一，另一侧由男生站，有A·A·A种站法；②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中外的另外4个位置之一，有A·A·A种站法，∴共有不同站法AAA＋AAA＝2 112种．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶元素相邻问题典例1 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有( C )A．720种B．360种C．240种D．120种[解析] 因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有A种排法，但甲、乙两人之间有A种排法，由分步乘法计数原理可知：共有A·A＝240种不同的排法，选C．『规律总结』 1.解排列应用题的基本思路实际问题→排列问题→求排列数→解决实际问题．通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件(特殊位置，特殊元素)．2．相邻元素捆绑法．如果所给问题中要求某n个元素必须相邻，可将这n个元素先排好，然后将其整体看作一个元素参与排列．┃┃跟踪练习1__■记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( B ) A．1440种B．960种C．720种D．480种[解析] 先将5名志愿者排好，有A种排法，2位老人只能排在5名志愿者之间的4个空隙中，先将2位老人排好，有A种排法，再把它作为一个元素插入空隙中，有4种插法．∴共有不同排法4AA＝960种．命题方向❷元素不相邻问题典例2 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？[解析] 先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为A种，这6个歌唱节目的空隙及两端共七个位置中再排4个舞蹈节目有A 种排法，由分步乘法计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为A·A＝604 800(种)．『规律总结』不相邻问题插空法．不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”．┃┃跟踪练习2__■4名男生和4名女生站成一排(1)男生不相邻的站法有__2_880__种．(2)女生不相邻的站法有__2_880__种．(3)男、女生相间的站法有__1_152__种．(可不必计算出数值) [解析] (1)4名女生排好有A种排法，男生插入女生形成的5个空位中有A种．∴男生不相邻的站法有A·A＝2 880种．(2)同(1)可得AA＝2 880种．(3)如图，男生排好后，形成5个空位，要使男女相间排列，女生应排在1至4号位或2至5号位，∴有排法2AA＝1 152种．命题方向❸定位定元问题典例3 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排列方案的方法种数．(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端．[思路分析] (1)甲是特殊元素，其余学生站法不受限制，故可先将甲排好，再排其他人．(2)同(1)的分析，甲、乙是特殊元素可先在两端排好甲、乙，有A种排法，再排其他人．(3)直接排时，可按甲的站位分类：甲在最右端和甲不在两端；也可按乙的站位分类．用间接法求时，7人全排列后减去甲在左端的和乙在右端的(两种情形一样多)，再加上甲在左端且乙在右端的情形(两次都减去了)．[解析] (1)(特殊元素优先法)先考虑甲有A种方案，再考虑其余六人全排，故N＝AA＝2 160(种)．(2)(特殊元素优先法)先安排甲、乙有A种方案，再安排其余5人全排，故N＝A·A＝240(种)．(3)解法一(特殊元素优先法)：按甲是否在最右端分两类：第一类：甲在最右端时有N1＝A(种)，第二类：甲不在最右端时，甲有A个位置可选，而乙也有A个位置，而其余全排A，有N2＝AAA(种)，故N＝N1＋N2＝A＋AAA＝3 720(种)．解法二(间接法)：无限制条件的排列数共有A，而甲在左端或乙在右端的排法都有A，且甲在左端且乙在右端的排法有A，故N＝A－2A＋A＝3 720(种)．解法三(特殊位置优先法)：按最左端优先安排分步．对于左端除甲外有A种排法，余下六个位置全排有A，但减去乙在最右端的排法AA种，故N＝AA－AA＝3 720(种)．『规律总结』有限制条件的排列问题常用的方法有“直接法”和“间接法”．1．至多、至少间接法当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问题的反面分类较少或计算更简便时往往使用“间接法”．含“至多”、“至少”类词语的排列(组合)问题，是需要分类问题，常用间接法(即排除法)解答．这时可以先不考虑特殊元素(位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(位置)要求的排列数，即排除法．2．定元、定位优先排．在有限制条件的排列问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素．这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑．(1)元素分析法——即以元素为主，优先考虑特殊元素，再考虑其他元素，先特殊后一般．(2)位置分析法——即以位置为主，优先考虑特殊位置，再考虑其他位置，先分类后分步．┃┃跟踪练习3__■7人站成一排．(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法；(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法．[解析] (1)甲在乙前面的排法占全体全排列种数的一半，故有＝2 520种不同排法．(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全体排列种数的．故有＝840种不同排法．学科核心素养排列与其他知识相交汇排列问题常与方程、不等式、函数、数列、解析几何、立体几何等知识相交汇，给人感觉情境新颖，但只需转化和化归，即可脱去新题的伪装，还其本来面目．典例4 从1,2,3，…，20这20个自然数中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？[思路分析] 由三个自然数组成的等差数列具有这样的性质：第一个数与第三个数必同时为偶数或同时为奇数(若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b)，在1到20这20个数中有10个偶数和10个奇数，联想到排列的定义，可以求解．[解析] 设a，b，c∈N*，且a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c应是偶数．因此，若从1到20这20个数中任选出三个数成等差数列，则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数，而1到20这20个数中有10个偶数和10个奇数．当第一个数和第三个数选定后，中间的数被唯一确定．因此选法有两类：第一类，第一个数和第三个数都是偶数，有A种选法；第二类，第一个数和第三个数都是奇数，有A种选法．于是，选出3个数成等差数列的个数为A＋A＝180．『规律总结』解有限制条件的排列应用问题的关键是将题设的限制条件转化为显性的排列的限制条件．如本例中将三个正整数成等差数列这一限制条件转化为第一项和第三项同为偶数或同为奇数的限制条件．┃┃跟踪练习4__■某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相．(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？(2)3位老者与2位年轻的都要分别按从大到小的顺序出场，顺序有多少种？[思路分析] 思路(1)3位老者按从大到小的顺序出场不一定这3位相邻出场，只要先排下年轻的，剩余的3个位置，可以按年龄“对号入座”．思路(2)可先不考虑顺序，共有A种排法．设符合条件的排法有x种，每一种排法若不讲顺序的话，三位老者又可作全排列A 种，共有排法x·A，这是不讲顺序的另一种列式方法．∴x·A＝A.∴x＝＝A＝20．[解析] (1)只要第一步先排好年轻的，共有A种方法，第二步排3位年老者只有一种排法，按分步乘法计数原理有A×1＝20(种)排法．(2)设符合条件的排法共有x种，用(1)的方法可得：x·A·A＝A，解得x＝＝10(种)．易混易错警示排列的综合应用典例5 4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有( B )A．12种B．14种C．16种D．24种[错解] 若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A＝24种排法，甲跑第一棒有A＝6种，乙跑第四棒有A＝6种，故一共有A－2A＝12种．[辨析] 解答过程中，排除甲跑第一棒和乙跑第四棒，两次都减去了甲跑第一棒且乙跑第四棒的情况，导致了错误结论A－2A＝12．[正解] 用排除法，若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A ＝24种排法，减去甲跑第一棒有A＝6种排法，乙跑第四棒有A＝6种排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有A＝2种排法，共有A－2A＋A＝14种不同的出场顺序．课堂达标·固基础1．用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为( A )A．36 B．30C．40 D．60[解析] 奇数的个位数字为1、3或5，偶数的个位数字为2、4.故奇数有A＝36个．2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( D )A．144 B．120C．72 D．24[解析] 就座3人占据3张椅子，在其余3张椅子形成的四个空位中，任意选择3个，插入3张坐人的椅子，共有A＝24种不同坐法，故选D．3．(2020·江西省樟树中学)已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的．现用编号为1,2,3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为( D )A．12 B．24C．36 D．48[解析] 设6种产品分别为a，b，c，d，e，f，画出图形如下图所示，根据题意，安全的分组方法有{ab，cf，de}，{ab，cd，ef}，{ac，be，df}，{ac，bf，de}，{ad，ef，bc}，{ad，eb，cf}，{ae，dc，bf}，{ae，df，bc}，共8种，每一种分组方法安排到3个仓库，有A种方法，故总的方法种数有8×A＝48种，故选D．4．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相邻，这样的六位数的个数是__40__．[解析] 可分为三步来完成这件事：第一步：先将3,5进行排列，共有A种排法；第二步：再将4,6插空排列，共有2A种排法；第三步：将1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有A种排法；由分步乘法计数原理得，共有A2AA＝40种不同的排法．第2课时排列(二)自主预习·探新知情景引入2020年7月1日是中国共产党成立99周年纪念日，各地组织形式多样的纪念活动，某校开展了“学习强国”答题竞赛，共有29名参赛者按顺序就座参与比赛．那么这29位选手的排列顺序有多少种呢？这样的排列顺序问题能否有一个公式表示呢？只要掌握了本节我们将要学习的排列与排列数公式，这些问题便可迎刃而解．新知导学1．排列数的性质①A＝__n__A；②A＝__m__A＋A．性质①是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素排成一列．分两步骤完成：第一步从n个元素中选出1个排在一个位置上，第二步从余下的n－1个元素中选出__m－1__个元素排在余下的m－1个位置上，得到A＝__nA__．性质②是指从含有元素a的n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，排成一列．第一类：m个元素中含有a，分两步完成．第一步，将a排在某一位置上，有__m__种不同的方法．第二步，从其余n－1个元素中取出__m－1__个排在其他m－1个位置有A种方法，即有mA 种不同的方法．第二类：m个元素中不含有a.从n－1个元素中取出__m__个元素排在m个位置上有A种方法，∴A＝mA＋A或∵A－A＝n·(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)－(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n－m)＝m[(n－1)(n－2)…(n－m＋1)]＝__mA__∴A＝__mA＋A__．2．有限制条件的排列问题①直接法：以元素为考察对象，先满足__特殊__元素的要求，再考虑__一般__元素(又称为元素分析法)，或以位置为考察对象，先满足__特殊__位置的要求，再考虑__一般__位置(又称位置分析法)．②间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去__不合要求__的排列数．③相邻元素__捆绑__法，相离问题__插空__法，定元、定位__优先排__法，至多、至少__间接__法，定序元素__最后排__法．预习自测1．5名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有( C )A．70 B．72C．36 D．12[解析] 甲、乙、丙先排好后视为一个整体与其他2名同学进行排列，共有AA＝36种排法．2．用数字0、1、2、3、4、5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有( B )A．288个B．240个C．144个D．126个[解析] 个位是0，有4A＝96个；个位不是0，有2×3×A＝144个，∴共有96＋144＝240个．3．有七名同学站成一排照毕业照，其中甲必须站在中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有__192__种．[解析] 解法一：先去掉甲考虑其他6人，首先将乙、丙绑定为一个元素，排法有A·A，然后让甲站在中间位置，但此时有不符合条件的，即当乙、丙在中间位置时，甲再插入中间的应去掉，共有A·A，则符合条件的站法有A·A－A·A＝192种．解法二：乙、丙的排法有2种，乙、丙可在甲的左边也可在右边，每边都有2种位置，乙、丙站好后其余4人任意排共有2×2×2A＝192种．4．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的一种顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端.[解析] (1)2名女生站在一起有站法A种，视为一个元素与其余5个全排，有A种排法，∴有不同站法A·A＝1 440种．(2)先排老师和女生，有排法A种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，有插入方法A种，∴共有不同站法A·A＝144种．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A种，而由高到低有从左到右，或从右到左的不同，∴共有不同站法2·＝420种．(4)中间和两侧是特殊位置，可如下分类求解：①老师站两侧之一，另一侧由男生站，有A·A·A 种站法；②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中外的另外4个位置之一，有A·A·A种站法，∴共有不同站法AAA＋AAA＝2 112种．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶元素相邻问题典例1 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有( C ) A．720种B．360种C．240种D．120种[解析] 因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有A种排法，但甲、乙两人之间有A种排法，由分步乘法计数原理可知：共有A·A＝240种不同的排法，选C．『规律总结』 1.解排列应用题的基本思路实际问题→排列问题→求排列数→解决实际问题．通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件(特殊位置，特殊元素)．2．相邻元素捆绑法．如果所给问题中要求某n个元素必须相邻，可将这n个元素先排好，然后将其整体看作一个元素参与排列．┃┃跟踪练习1__■记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( B )A．1440种B．960种C．720种D．480种[解析] 先将5名志愿者排好，有A种排法，2位老人只能排在5名志愿者之间的4个空隙中，先将2位老人排好，有A种排法，再把它作为一个元素插入空隙中，有4种插法．∴共有不同排法4AA＝960种．命题方向❷元素不相邻问题典例2 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？[解析] 先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为A种，这6个歌唱节目的空隙及两端共七个位置中再排4个舞蹈节目有A种排法，由分步乘法计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为A·A＝604 800(种)．『规律总结』不相邻问题插空法．不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”．┃┃跟踪练习2__■4名男生和4名女生站成一排(1)男生不相邻的站法有__2_880__种．(2)女生不相邻的站法有__2_880__种．(3)男、女生相间的站法有__1_152__种．(可不必计算出数值)[解析] (1)4名女生排好有A种排法，男生插入女生形成的5个空位中有A种．∴男生不相邻的站法有A·A＝2 880种．(2)同(1)可得AA＝2 880种．(3)如图，男生排好后，形成5个空位，要使男女相间排列，女生应排在1至4号位或2至5号位，∴有排法2AA＝1 152种．命题方向❸定位定元问题典例3 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排列方案的方法种数．(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端．[思路分析] (1)甲是特殊元素，其余学生站法不受限制，故可先将甲排好，再排其他人．(2)同(1)的分析，甲、乙是特殊元素可先在两端排好甲、乙，有A种排法，再排其他人．(3)直接排时，可按甲的站位分类：甲在最右端和甲不在两端；也可按乙的站位分类．用间接法求时，7人全排列后减去甲在左端的和乙在右端的(两种情形一样多)，再加上甲在左端且乙在右端的情形(两次都减去了)．[解析] (1)(特殊元素优先法)先考虑甲有A种方案，再考虑其余六人全排，故N＝AA＝2 160(种)．(2)(特殊元素优先法)先安排甲、乙有A种方案，再安排其余5人全排，故N＝A·A＝240(种)．(3)解法一(特殊元素优先法)：按甲是否在最右端分两类：第一类：甲在最右端时有N1＝A(种)，第二类：甲不在最右端时，甲有A个位置可选，而乙也有A个位置，而其余全排A，有N2＝AAA(种)，故N＝N1＋N2＝A＋AAA＝3 720(种)．解法二(间接法)：无限制条件的排列数共有A，而甲在左端或乙在右端的排法都有A，且甲在左端且乙在右端的排法有A，故N＝A－2A＋A＝3 720(种)．解法三(特殊位置优先法)：按最左端优先安排分步．对于左端除甲外有A种排法，余下六个位置全排有A，但减去乙在最右端的排法AA种，故N＝AA－AA＝3 720(种)．『规律总结』有限制条件的排列问题常用的方法有“直接法”和“间接法”．1．至多、至少间接法当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问题的反面分类较少或计算更简便时往往使用“间接法”．含“至多”、“至少”类词语的排列(组合)问题，是需要分类问题，常用间接法(即排除法)解答．这时可以先不考虑特殊元素(位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(位置)要求的排列数，即排除法．2．定元、定位优先排．在有限制条件的排列问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素．这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑．(1)元素分析法——即以元素为主，优先考虑特殊元素，再考虑其他元素，先特殊后一般．(2)位置分析法——即以位置为主，优先考虑特殊位置，再考虑其他位置，先分类后分步．┃┃跟踪练习3__■7人站成一排．(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法；(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法．[解析] (1)甲在乙前面的排法占全体全排列种数的一半，故有＝2 520种不同排法．(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全体排列种数的．故有＝840种不同排法．学科核心素养排列与其他知识相交汇排列问题常与方程、不等式、函数、数列、解析几何、立体几何等知识相交汇，给人感觉情境新颖，但只需转化和化归，即可脱去新题的伪装，还其本来面目．典例4 从1,2,3，…，20这20个自然数中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？[思路分析] 由三个自然数组成的等差数列具有这样的性质：第一个数与第三个数必同时为偶数或同时为奇数(若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b)，在1到20这20个数中有10个偶数和10个奇数，联想到排列的定义，可以求解．[解析] 设a，b，c∈N*，且a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c应是偶数．因此，若从1到20这20个数中任选出三个数成等差数列，则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数，而1到20这20个数中有10个偶数和10个奇数．当第一个数和第三个数选定后，中间的数被唯一确定．因此选法有两类：第一类，第一个数和第三个数都是偶数，有A种选法；第二类，第一个数和第三个数都是奇数，有A种选法．于是，选出3个数成等差数列的个数为A＋A＝180．『规律总结』解有限制条件的排列应用问题的关键是将题设的限制条件转化为显性的排列的限制条件．如本例中将三个正整数成等差数列这一限制条件转化为第一项和第三项同为偶数或同为奇数的限制条件．┃┃跟踪练习4__■某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相．(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？(2)3位老者与2位年轻的都要分别按从大到小的顺序出场，顺序有多少种？[思路分析] 思路(1)3位老者按从大到小的顺序出场不一定这3位相邻出场，只要先排下年轻的，剩余的3个位置，可以按年龄“对号入座”．思路(2)可先不考虑顺序，共有A种排法．设符合条件的排法有x种，每一种排法若不讲顺序的话，三位老者又可作全排列A种，共有排法x·A，这是不讲顺序的另一种列式方法．∴x·A＝A.∴x＝＝A＝20．[解析] (1)只要第一步先排好年轻的，共有A种方法，第二步排3位年老者只有一种排法，按分步乘法计数原理有A×1＝20(种)排法．(2)设符合条件的排法共有x种，用(1)的方法可得：x·A·A＝A，解得x＝＝10(种)．。
1.2排列第二课时
问题2:什么叫做排列数?排列数的公式是怎样的?
Anm n(n - 1)(n - 2) (n - m 1)
n! (n - m )! (n N *,m N *,m n)
规定:0!=1
例1 某足球联赛共有12支球队参加，每队都要与其余 各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
档中有 种方法A44， A所53 以 1共44有0 ：
（种）
例4 七个家庭一起外出旅游,其中四个家庭是一个男 孩,三个家庭是一个女孩.先将这七个小孩站成一排 照(4相)若留三念个. 女孩互不相邻,四个男孩也互不相邻, 则有多 少种不同的排法?
不同的排法共有：A44 A33 144（种）
例2（l）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学， 每人1本，共有多少种不同送法?
（2）有5种不同的书，每种有若干本.要买3本送给3名 同学，每人1本，共有多少种不同的送法？ 解:（l）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学， 对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不
同（A53的2）送5由法于种4有数35是种 不60同的书，送给每个同学的书都有5种
2．由数字1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重
复数字的正整A61 数 ？A62 A63 A64 A65 A66 1956
例4 七个家庭一起外出旅游,其中四个家庭是一个男 孩,三个家庭是一个女孩.先将这七个小孩站成一排 照(1)相若留三念个.女孩要站在一起,则有多少种不同的排法?
说一 说 插空法一般适用于不相邻 问题的处
理.
例4 七个家庭一起外出旅游,其中四个家庭是一个男 孩,三个家庭是一个女孩.先将这七个小孩站成一排
照思相考留:念若. 女孩甲不在排头,男孩乙不站排尾,则有多
1.2.1排列(优质课)1-2课时ppt课件
注意：两个排列相同，当且仅当这
两个排列中的元素完全相同，而且
元素的排列顺序也完全相同。
；.
11
思考:下列问题中哪些是排列问题？
（1）10名学生中抽2名学生开会 （2）10名学生中选2名做正、副组长
（3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘
（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除
（5）有2个车站,共需要多少种车票？
?
结论：A1n
n，
An1 n
n!
n (n 1)! n!
；.
20
例1、某年全国足球甲级A组联赛共有14个队 参加，每队要与其余各队在主、客场分别比 赛一次，共进行多少场比赛？
解：14个队中任意两队进行1次主场比赛与 1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2 个元素的一个排列，因此，
比赛的总场次是 A124 14 13 182
ab, ac, ba, bc, ca, cb
；.
7
问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个 排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 分别是什么？
1 23 4
2 1 34
3 4 2 4 2 3 3 41 41 3
3
1 24 2 41 4 1 2
4 12 3
2 31 31 2
有此可写出所有的三位数：
有m1种不同的方法，在第2类办法中 有m2种不同的方法，…，在第n类办 法中有mn种不同的方法，那么完成这 件事共有：
N m1 m2 mn
种不同的方法。 ；.
2
2.分步乘法计数原理 完成一件事情
需要有n个步骤，做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2 种不同的方法，…，做第n步 时有mn种不同的方法。那么完成这件事共有
十大模板方法解决所有排列组合问题(解析版)
十大模板方法解决所有排列组合问题一．题型（一）至少变恰好（二）插空法（三）特殊元素优先（四）捆绑法（五）不在问题的间接法 （六）走街道问题（七）隔板法（八）回归原始的方法（九）涂色（十）平均分堆与不平均分堆 二．【题型方法归纳】 （一）至少变恰好例1.某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ ） A ．36 B ．72 C ．108 D ．144【答案】D【解析】根据题意，分3步进行分析：①单位甲在6人中任选2人招聘，要求至少招聘一名男生，有226312C C -=种情况， ②单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，有246C =种情况，③单位丙在剩下的2人中任选1人招聘，有122C =种情况， 则有1262144⨯⨯=种不同的录取方案； 故选：D ．练习1. 2019年高考结束了，有5为同学（其中巴蜀、一中各2人，八中1人）高考发挥不好，为了实现“南开梦”来到南开复读，现在学校决定把他们分到123、、三个班，每个班至少分配1位同学，为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（ ） A ．84 B ．48 C ．36 D ．28【答案】A【解析】设这五人分别为1212,,,,A B B C C ,若A 单独为一组时，只要2种分组方法；若A 组含有两人时，有11428C C ⋅=种分组方法；若A 组含有三人时，有11224C C ⋅=种分组情况；于是共有14种分组方法，所以分配方案总数共有331484A =,故选A.（二）插空法例2.电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）A ．5424A A ⋅ B ．5424C C ⋅ C ．4267A A ⋅ D ．4267C C ⋅【答案】A【解析】先排4个商业广告，有44A 种排法，然后利用插空法，4个商业广告之间有5个空，插2个公益广告，有25A 种排法，根据分步计数原理，所以共有5424A A ⋅种排法.故选：A.练习1.．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩下的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ） A ．18 B ．24 C ．32 D ．64【答案】B【解析】首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个， 当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列33A ， 当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列33A ， 当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列33A ， 当最右边三辆时，有车之间的一个排列33A ，总上可知，共有不同的排列法33424A ⨯=种结果．所以选B（三）特殊元素优先例4. 某所大学在10月份举行秋季越野接力赛，每个专业四人一组，其中计算机专业的甲、乙、丙、丁四位大学生将代表本专业参加拉力赛，需要安排第一棒到第四棒的顺序，四个人去询问教练的安排，教练对甲说：“根据训练成绩，你和乙都不适合跑最后一棒”；然后又对乙说：“你还不适合安排在第一棒”，仅从教练回答的信息分析，要对这四名同学讲行合理的比赛棒次安排，那么不同情形的种数共有（ ） A ．6 B ．8 C ．12 D ．24【答案】B【解析】根据条件乙只能安排在第二棒或第三棒；若“乙”安排在第二棒，此时有：1222C A 4=种，若“乙”安排在第三棒，此时有：1222C A 4=种，则一共有：8种.故选：B.（四）捆绑法例4. 为迎接双流中学建校80周年校庆，双流区政府计划提升双流中学办学条件.区政府联合双流中学组成工作组，与某建设公司计划进行6个重点项目的洽谈，考虑到工程时间紧迫的现状，工作组对项目洽谈的顺序提出了如下要求：重点项目甲必须排在前三位，且项目丙、丁必须排在一起，则这六个项目的不同安排方案共有（） A ．240种 B ．188种 C ．156种 D ．120种【答案】D【解析】第一类：当甲在第1位时，第一步，丙、丁捆绑成的整体有4种方法， 第二步，丙、丁内部排列用22A 种方法，第三步，其他三人共33A 种方法，共23234A A 42648=⨯⨯=种方法；第二类：当甲在第2位时，第一步，丙、丁捆绑成的整体有3种方法， 后面两步与第一类方法相同，共23233A A 32636=⨯⨯=种方法； 第三类：当甲在第3为时，与第二类相同，共36种方法； 总计，完成这件事的方法数为483636120N =++=. 故选D.练习1．某校迎新晚会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A ．120种 B ．156种 C ．188种 D ．240种【答案】A【解析】先考虑将丙、丁排在一起的排法种数，将丙、丁捆绑在一起，与其他四人形成五个元素，排法种数为25252120240A A =⨯=，利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的， 因此，该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有2401202=种，故选：A.（五）不在问题的间接法例5.某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（ ） A ．320B ．313C ．79D ．1778【答案】C【解析】设事件A ：数学不排第一节，物理不排最后一节. 设事件B ：化学排第四节.()41134333555578A C C A P A A A +==，()31123222555514A C C A P AB A A +==，故满足条件的概率是()()739P AB P A =.故选C. 练习1. 某公司安排五名大学生从事A BCD 、、、四项工作,每项工作至少安排一人且每人只能安排一项工作，A 项工作仅安排一人，甲同学不能从事B 项工作,则不同的分配方案的种数为（ ） A ．96 B ．120 C ．132 D ．240【答案】C【解析】若甲同学在A 项工作，则剩余4人安排在B 、C 、D 三项工作中，共有1211342136C C C C =种 若甲同学不在A 项工作，，则在C 或D 工作，共有111112423323()96C C C C C C ++=种所以共有36+96=132种，选C练习2. 某次文艺汇演为，要将A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个不同节目编排成节目单，如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 节目如果A ，B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有 A ．192种 B ．144种C ．96种D ．72种【答案】B【解析】由题意知A ，B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置， 可以把这两个元素看做一个，再让他们两个元素之间还有一个排列，A ，B 两个节目可以排在1，2两个位置，可以排在4，5两个位置，可以排在5，6两个位置， 这两个元素共有种排法， 其他四个元素要在剩下的四个位置全排列， 节目单上不同的排序方式有，故选：B ．（六）走街道问题例6. 如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的走法共有（ ）A ．10B ．13C ．15D ．25【答案】C【解析】因为只能向东或向北两个方向 向北走的路有5条，向东走的路有3条走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果 根据分步计数原理知共有3515⨯=种结果，选C（七）隔板法例7. 设有1n +个不同颜色的球，放入n 个不同的盒子中，要求每个盒子中至少有一个球，则不同的放法有（ ） A ．()1!n +种 B ．()1!n n ⋅+种 C ．()11!2n +种 D ．()11!2n n ⋅+种 【答案】D【解析】将两个颜色的球捆绑在一起，再全排列得21!(1)!2n nC n n +=+ 选D 练习1.. 将4个大小相同，颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）种． A ．7 B ．10C ．14D ．20【答案】B【解析】根据题意，每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号， 分析可得，1号盒子至少放一个，最多放2个小球，分情况讨论： ①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有C 41＝4种方法； ②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有C 42＝6种方法； 则不同的放球方法有4+6=10种， 故选：B ．（八）回归原始的方法例8. 某次演出共有6位演员参加，规定甲只能排在第一个或最后一个出场， 乙和丙必须排在相邻的顺序出场，请问不同的演出顺序共有（ ） A ．24种 B ．144种 C ．48种 D ．96种【答案】D【解析】第一步，先安排甲有12A 种方案；第二步，安排乙和丙有2124A A 种方案；第三步，安排剩余的三个演员有33A 种方案，根据分步计数原理可得共有1213224396A A A A =种方案.故选D.练习1. 如图，下有七张卡片，现这样组成一个三位数：甲从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在百位，然后把卡片放回；乙再从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在十位，然后把卡片放回；丙又从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在个位，然后把卡片放回。
1.2.1排列(第二课时)
复习巩固
1、排列的定义：
从n个不同元素中，任取m( m n )个元素（m个元素不可重复
取）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元
素的一个排列.
2.排列数的定义：
从n个不同元素中，任取m( m n)个元素的所有排列的个数
叫做从n个元素中取出m个元素的排列数 Anm
1若分成两排, 前排2人, 后排4人, 2若分成两排, 前排2人, 后排4人, 其中
甲必须在前排,乙必须在后排
3若排成一排照相,甲、 乙两人必须在
一起
4若排成一排照相, 其中3名男生,3名女
生, 且男生不相邻
从位置出发分步思考
A A A 1 1 1 998 648
9
9
8
A A 1 2 9 98 648
9
9
解法二：对排列方法分类思考。
从元素出发分类思考
A A 1 2
2
9
A93
648
解法三：对排列方法间接思考。
间接法
法3：
A3 10
A2 9
10 98
98
648
2、由1、2、3、4、5这5个数字组成无重复数字的五位数，其中
奇数有 A31 A44 72 个.
评注 ：解答元素“在”与“不在”某一位置问题的 思路是：优先安置受限制的元素，然后再考虑一般 对象的安置问题’，常用方法如下：
1）从特殊元素出发，事件分类完成，用分类计数原理．
2）从特殊位置出发，事件分步完成，用分步计数原理． 3）从“对立事件”出发，用减法．
5、（1） 8个人坐6张单人椅，有多少种不同的坐法？ （2）8个人坐前排3张单人椅，后排3张单人椅，有 多少种不同的坐法？
课时作业14：1.2.2 第2课时 组合的应用
第2课时组合的应用1．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是()A．5 040 B．36C．18 D．20考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有C36＝20(种)．2．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭，则每天不同午餐的搭配方法共有()A．210种B．420种C．56种D．22种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 A解析由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有C24C27＋C14C27＝210(种)．3．从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，若其和为偶数，则不同的取法共有() A．60种B．63种C．65种D．66种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析对于4个数之和为偶数，可分3类：第1类，4个数均为偶数，有C44种取法；第2类，2个数为偶数，2个数为奇数，有C24C25种取法；第3类，4个数均为奇数，有C45种取法．由分类加法计数原理，可得不同的取法共有C44十C24C25＋C45＝66(种)．4．在直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有()A．25个B．36个C．100个D．225个考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案 D解析在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C26×C26＝15×15＝225.5．将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有________种．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案36解析先将4名学生分成三组，人数分别为2,1,1，共有C24＝6(种)，再将这三组分配到3个实验室，有A33＝6(种)，由分步乘法计数原理，可知不同的分配方案共有6×6＝36(种)．1．无限制条件的组合应用题．其解题步骤为(1)判断．(2)转化．(3)求值．(4)作答．2．有限制条件的组合应用题(1)“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的.一、选择题1．在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为()A．C23C397B．C23C397＋C33C297C．C5100－C13C497D．C5100－C597考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 B解析根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有C23C397种，“有3件次品”的抽取方法有C33C297种，则共有C23C397＋C33C297种不同的抽取方法，故选B.2．在平面直角坐标系中有五个点，分别为O(0,0)，A(1,2)，B(2,4)，C(－1,2)，D(－2,4)，则这五个点一共可确定不同的三角形的个数为()A．12 B．10 C．8 D．6考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析五点中三点共线的有两组：O，A，B和O，C，D.故可确定C35－2＝8(个)三角形．故选C.3．从2,3，…，8七个自然数中任取三个数组成有序数组a，b，c且a<b<c，则不同的数组有()A．35组B．42组C．105组D．210组考点组合的应用题点无限制条件的组合问题答案 A解析不同的数组，有C37＝35(组)．4．某地招募了20名志愿者，他们编号分别为1号，2号，…，19号，20号，如果要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是()A．16 B．21C．24 D．90考点排列组合的综合应用题点分组、分配问题答案 B解析分2类：第1类，5号与14号为编号较大的一组，则另一组编号较小的有C24＝6(种)选取方法．第2类，5号与14号为编号较小的一组，则编号较大的一组有C26＝15(种)选取方法．由分类加法计数原理得，共有C 24＋C 26＝6＋15＝21(种)选取方法．5．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( )A ．C 1214C 412C 48 B ．C 1214A 412A 48 C.C 1214C 412C 48A 33D ．C 1214C 412C 48A 38考点 排列组合的综合应用 题点 分组、分配问题 答案 A解析 首先从14人中选出12人共C 1214种选取方法，然后将12人平均分为3组共C 412·C 48·C 44A 33种，然后这两步相乘，得C 1214·C 412·C 48A 33.将三组分配下去共C 1214·C 412·C 48种．故选A. 6．对于所有满足1≤m ≤n ≤5的自然数m ，n ，方程x 2＋C m n y 2＝1所表示的不同椭圆的个数为( )A ．15B ．7C ．6D ．0 考点 组合的应用题点 与几何有关的组合问题 答案 C解析 因为1≤m ≤n ≤5，且方程表示椭圆，所以C m n 可能为C 12，C 13，C 23，C 14，C 24，C 34，C 15，C 25，C 35，C 45，其中C 13＝C 23，C 14＝C 34，C 15＝C 45，C 25＝C 35，所以x 2＋C m ny 2＝1能表示的不同椭圆有6个．7．假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为( ) A ．30 B ．21 C ．10 D ．15 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 D解析 用“隔板法”．在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C 26＝15(种)分配方法． 二、填空题8．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选择方案有________种． 考点 组合的应用题点有限制条件的组合问题答案10解析①在生物、政治、历史三门中选择1门，则在物理、化学、地理中选2门，有C13C23＝9(种)选法；②在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选，有C33＝1(种)选法．共有选法9＋1＝10(种)．9．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案48解析两老一新时，有C13C12A22＝12(种)排法；两新一老时，有C12C23A33＝36(种)排法．故共有48种排法．10．从正方体ABCD－A′B′C′D′的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同的四面体的个数为________．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案58解析从8个顶点中任取4个有C48种方法，四点共面的情况有12种，所以可得到C48－12＝58(个)不同的四面体．11．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案60解析把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C23种分法，再分给4人有C23A24种分法，所以不同获奖情况种数为A44＋C23A24＝24＋36＝60.12．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，则不同取法的种数为________．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案472解析若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C14×C14×C14＝64(种)，若2张同色，则有C23×C12×C24×C14＝144(种)，若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C14×C23×C14×C14＝192(种)，剩余2张同色，则有C14×C13×C24＝72(种)，所以共有64＋144＋192＋72＝472(种)不同的取法．三、解答题13．在某次数字测验中，记座号为n(n＝1,2,3,4)的同学的考试成绩为f(n)．若f(n)∈{70,85,88,90,98,100}，且满足f(1)<f(2)≤f(3)<f(4)，则这4位同学考试成绩的所有可能有多少种？考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解f(1)<f(2)≤f(3)<f(4)可分为①f(1)<f(2)<f(3)<f(4)；②f(1)<f(2)＝f(3)<f(4)两种情形．对于①，只需在集合中取4个数字，有C46种取法，对于②，只需在集合中取3个数字，有C36种取法．即不同的取法共有C46＋C36＝35(种)．四、探究与拓展14．20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案120解析先在编号为2,3的盒内分别放入1,2个球，还剩17个小球，三个盒内分别至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C216＝120(种)方法．15．现有5位同学准备一起做一项游戏，他们的身高各不相同．现在要从他们5个人中选出若干人组成A，B两个小组，每个小组都至少有1人，并且要求B组中最矮的那个同学的身高要比A组中最高的那个同学的身高还要高，则不同的选法共有多少种？考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解将5位同学按身高的不同由矮到高分别编号为1,2,3,4,5，组成集合M＝{1,2,3,4,5}．①若小组A中最高者为1，则能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是{2,3,4,5}的非空子集，这样的子集有C14＋C24＋C34＋C44＝24－1＝15(个)，所以不同的选法有15种；②若A中最高者为2，则这样的小组A有2个，为{2}，{1,2}，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是{3,4,5}的非空子集，这样的子集有23－1＝7(个)，所以不同的选法有2×7＝14(种)；③若A中最高者为3，则这样的小组A有4个，为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是{4,5}的非空子集，这样的子集有22－1＝3(个)，所以不同的选法有4×3＝12(种)；④若A中最高者为4，则这样的小组A有8个，为{4}，{1,4}，{2,4}，{3,4}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B只有1个，为{5}，所以不同的选法有8种．综上，所有不同的选法共有15＋14＋12＋8＝49(种)．。
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把须相邻的元素 看成一个整体， 称为捆绑法.
例2 5个人站成一排
⑷其中甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排 法？
3 解：⑷ 让甲、乙以外的三人作全排列，有 A3 种排法，
再把甲、乙两人插入三人形成的4个空挡位置， 2 3 2 有 A4 种方法，共有 A3 A4 72 种排法.
另解：(间接法法)
A A A 72
5 5 2 2 4 4
不相邻问题 用插空法.
例1 5个人站成一排
⑸其中甲、乙两人不站排头和排尾，有多少种 不同的排法？
解：⑸ 甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可 2 3 从其余3人中选2人来站，有 A3 种排法，剩下的人有 A3 2 3 种排法，共有 A3 A3 36 种排法. (特殊位置优先法)
例1 某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队 参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛 一次，共进行多少场比赛？
例2 ⑴有5本不同的书，从中选3本送给3名同学， 每人1本，共有多少种不同的送法？ ⑵有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人1 本，共有多少种不同的送法？
例3 某信号共用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在 竖直的旗杆上表示，每次可以任挂1面、2面或3 面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以 表示多少种不同的信号？
顺序固定问 题用“除法”.
本题也可以这样考虑：对应于先将没有限制 4 条件的其他元素进行排列，有 A7 种方法；
再将有限制条件（顺序要求）的元素进行排 列，只有一种方法；
4 故，总的排列方法数为： A7 840(种)
三、课堂小结：
解排列问题的常用方法：
相邻元素捆绑法；
相离问题插空法；
顺序固定问题用“除法”；
A A 36
2 3 3 3 5 5 1 2 1 3 3 3 2 2 3 3
(特殊元素优先法)
A 2 A A A A A 36
(间接法)
例1 5个人站成一排
⑹其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不 同的排法？ 4 4 解：⑹ 甲站排头有 A4 种排法，乙站排尾有 的情况，有 A3 种排法，
解：⑴ A 120 种排法.
5 5
⑵ 甲的位置已定，其余4人可任意排列， 有 A 24 种.
4 4
例1 5个人站成一排
⑶其中甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的 排法？
解：⑶ 甲、乙必须相邻，可把甲、乙两人捆绑 2 成一个元素，两人之间有 A2 种排法，
2 4 再与其他3个元素作全排列，共有 A2 A4 48 种 排法.
排 列 习题课
一、复习引入：
①什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 排列？ 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素 中取出m个元素的一个排列. ②什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列 数？ 从n个不同的元素中取出m（m≤n)个元素的 所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个 元素的排列数.
三、课堂练习：
1、20位同学互通一封信，那么通信次数是多 2 少？ A 380(次)
20
2、由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少个 没有重复数字的正整数？
A A A A A A 1956(个)
1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6
3、5个班，有5名语文老师、5名数学老师、5 名英语老师，每个班上配一名语文老师、一名 数学老师和一名英语老师，问有多少种不同的 搭配方法？ A5 A5 A5 1728000
3 A10 A92 648
(排除法)
2、停车场上有一排七个停车位，现有四辆汽车要停放， 5 . 若要使三个空位连在一起，则停放的方法有 种 3、用0、1、2、3、4、5六个数字，可组成多少个无重 复数字且不能被5整除的五位数？ 1 4 1 3 1 1 3 A5 A5 A54 A4 A4 384(个) 法一： A4 A4 A4 384(个) 法二： 4、在7名运动员中选出4名组成接力队，参加4×100米 接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有 4 1 1 3 2 2 多少种？
5 4 3 所以共有 A5 2 A4 A3 78 种排法.
用直接法，如何分类？
A A A A 1 1 3 所以共有A A3 A3 A3 78种排法.
4 4 4 4
1 3 1 3
一类：甲站排尾
二类：甲站中间
3 3
例2 有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等， 将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高
定位问题优限法(特殊位置法、特殊元素法)；
复杂问题“排除法”(间接法) 相邻问题，捆绑处理；不全相邻，排除处理； 全不相邻，插空处理；相间排列，定位处理.
三、课堂练习：
1、4个学生和3个老师排成一排照相，老师不能排两端， 且老师必须排在一起的不同排法种数是（ D ）
7 A . A7 4 3 B . A4 A3 2 3 2 C . A2 A3 A2 2 3 3 D . A4 A3 A3
分析2：所求的三位数可分为：不含数字0的，有 A9 个；含有数字 2 0的，有 2 A9 个，根据分类计数原理，所求三位数的个数是：
3 A9 2 A92 648
3
(特殊元素预置法)
3
分析3：从0到9这十个数字中取3个的排列数为 A10，其中以0为百 2 位数字的排列数为 A9 ，故所求三位数的个数是：
4 5 A．A4 A5 1 4 5 C．A3 A4 A5
B
3 4 5 B．A3 A4 A5 2 4 5 D．A2 A4 A5
3、由1、2、3、4、5这5个数字组成无重复数字的五位数，其中 奇数有
A A 72
1 3 4 4
个.
有限制条件的排列问题
例1 5个人站成一排
5 5 5
拓展性练习：
1、把15个人分成前后三排，每排5人，不同的排法数为（
5 5 A．A15 A10 15 C．A15 5 5 5 3 B．A15 A10 A5 A3 5 5 5 2 D．A15 A10 A5 A3
C）
2、计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国 画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，那么不 同的陈列方式有（ ）
用符号
A
m 表示 n
③排列数的两个公式是什么？
An n(n 1)(n 2) (n m 1)
m
n! A (n m)!
m n
全 排 列 数：
n n
（n，m∈N*，m≤n）
A n(n 1)(n 2) 2 1 n!
0 n
A 1
0! 1
二、例题讲解：
⑴共有多少种排法？ ⑵其中甲必须站在中间，有多少种不同的排法？ ⑶其中甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的 排法？ ⑷其中甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排 法？ ⑸其中甲、乙两人不站排头和排尾，有多少种 不同的排法？ ⑹其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不 同的排法？
例1 5个人站成一排
⑴共有多少种排法？ ⑵其中甲必须站在中间，有多少种不同的排法？
A5
A5 A2 A2 A5 A2 A5 400(种)
5、 5名学生和1名老师站成一排照相，老 师不能站排头，也不能站排尾，问有多少 种不同的站法？
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6、用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重 复数字的三位数？
分析1：由于百位上的数字不能为0，只能从1到9这9个数字中任选 1 一个，有 A9 种选法，再排十位和个位上的数字，可以从余下的9 2 个数字中任选2个，有 A9 种选法，根据分步计数原理，所求三位 1 数的个数是： A9 A92 648 (特殊位置预置法)
排列，有多少种排法？ 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将 这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的 排列数除以这几个元素的全排列数.
7 种排法。其中 分析：先在7个位置上作全排列，有 A7
3个女生因要求“从矮到高”排，只有一种顺序故 A3 只
3
对应一种排法，
7 A7 4 A7 种。 所以共有 3 A3