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高中数学排列组合经典题型全面总结版

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高中数学排列与组合(一)典型分类讲解一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略443例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种,第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是:7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有47A 种方法。

高中数学排列组合经典题型全面总结版汇编

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6种高中数学排列与组合(一)典型分类讲解一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有C13然后排首位共有C14最后排其它位置共有由分步计数原理得C A341C1A3=288434C1A3C1443练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法?二.相邻元素捆绑策略例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有A5A2A2=480种不同的排法522甲乙丙丁要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A5种,第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有5种A4不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有A5A465元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为30四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是:A7/A373(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A4种方法,其余的三个位置甲乙丙共有71种坐法,则共有A4种7方法。

(完整word版)高中数学排列组合题型归纳总结,推荐文档

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排列组合1.分类计数原理(加法原理)完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有m 种不同的方法,…,在第n 类办法中有n m 不同的方法.2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,…,做第n 步有n m 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件.一.特殊元素和特殊位置优先策略例1、.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解: 由分步计数原理得113434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法?二.相邻元素捆绑策略例2、 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解: 522480A A A =练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 解5456A A练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4.、 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是:7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有47A 种方法。

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析资料

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排列组合知识点总结+ 典型例题及答案解析排列组合知识点总结+典型例题及答案解析'•基本原理1加法原理:做一件事有n类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2. 乘法原理:做一件事分n步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。

二.排列:从n个不同元素中,任取m( m< n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列,所 有排列的个数记为A^1. 1.公式:1. A ! n n 1 n n! n m ! 2 V m 刚三为(於■ 1)3 ■ 2) (2)规定:0!(1) n ! n (n 1)!,( n 1) n! (n 1)!n! [(n 1) 1] n! (n 1) n! n! (n 1)! n!; ⑶(n 1)! (n 1)! (n 1)! (n 1)! n! 1(n 1)! 三.组合:从n 个不同元素中任取 m(m <n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取m 个元素的组合数,记作 Cn 。

1公式:c m A m n n 1……n m 1A m m! m! n n! J 人 m ! 规定:C ° 12.组合数性质:c_m c :m , c m c m 1 Cm , c n C ;C : 2n rr 「 r 「「;「 「 「 「「;「 r 「「;注: c r c r 1 c r 2 L c n 1 c n c r 1 c r 1 c r 2 L c n 1 c nc r 2 c r 2 L c n 1 c n c n 1 若 C 「1四.处理排列组合应用题1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序③分步还是分类。

2. 解排列、组合题的基本策略(1) 两种思路:①直接法;②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。

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又乘法原理满足条件的排法有: A44 × A44 =576
练习 1.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,若使每个盒子不空,则不同的放法有 种(
C
2 4
A33

2. 某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一所学
校人数较多,要安排连续参观
2
天,其余只参观一天,则植物园
二. 间接法 当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。如上例中(2)可用间接法
A64 2 A53 A42 =252
例 2 有五张卡片,它的正反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9,将它们任意三张 并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三维书? 分析:此例正面求解需考虑 0 与 1 卡片用与不用,且用此卡片又分使用 0 与使用 1,类别较复杂,
排列组合题型总结
排列组合问题千变万化,解法灵活,条件隐晦,思维抽象,难以找到解题的突破口。因而在求解排列 组合应用题时,除做到:排列组合分清,加乘原理辩明,避免重复遗漏外,还应注意积累排列组合问题得 以快速准确求解。
一.直接法
1. 特殊元素法 例 1 用 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少 个 (1)数字 1 不排在个位和千位 (2)数字 1 不在个位,数字 6 不在千位。
30
天内不同的安排方法有(
C
1 29
A19 28

(注意连续参观
2
天,即需把
30
天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有
C
1 29
其余的就是
19
所学校选 28 天进行排列)

(完整版)高中数学排列组合经典题型全面总结版(可编辑修改word版)

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34 4 4 3 45 2 25 7 3 C 10甲 乙丁要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插空模型处理高中数学排列与组合(一)典型分类讲解一.特殊元素和特殊位置优先策略例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有C 1然后排首位共有C 1最后排其它位置共有 A 3由分步计数原理得C 1C 1A3= 288131443练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法?二.相邻元素捆绑策略例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有 A 5 A 2A 2 = 480 种不同的排法练习题:某人射击 8 枪,命中 4 枪,4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 A 5种,第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有 种 A 4 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 A5A 4种65 6练习题:某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略 例 4. 7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是: A 7/ A 3(空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A 4 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法,则共有 A 4种77方法。

《排列组合》知识点总结+典型例题+练习(含答案)

《排列组合》知识点总结+典型例题+练习(含答案)

排列组合考纲要求1.了解排列的意义,理解排列数公式,并能用它们解决一些简单的实际问题.2.了解组合的意义,理解组合数公式,并能用它们解决一些简单的实际问题.3. 了解组合数性质. 知识点一:排列1.排列的定义:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个不同的元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.若m <n ,这样的排列叫选排列;若m =n ,这样的排列叫全排列.2.排列数公式:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个不同的元素的所有排列的个数,从n 个不同元素中取出m 元素的排列数,记作mn P .(1) P m n =n (n -1)(n -2) … (n -m +1); (2) ==!P n n n n (n -1)(n -2) … 3×2×1; (3) P m n =()!!n n m -; 规定:0!=1.知识点二:解决排列问题的基本方法.1. 优限法:即先排特殊的元素,或者特殊的位置.2.捆绑法:相邻问题,把相邻的元素看成一个整体,然后再参与其他元素的排列. 3.插空法:对元素互不相邻的排列问题,常常采用插空法,首先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中.4. 排除法:即从正面难以考虑时可以考虑它的对立面,用全部结果数减去对立事件的方法数.5.枚举法:即将所有排列按照一定的规律,一一列举出来的方法. 知识点三:组合1.组合的定义:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个不同的元素,组成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数公式:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个不同的元素的所有组合的个数,从n个不同元素中取出m 元素的组合数,记作mn C .(1)()()()121P C P !mm nnmn n n n n m m ---+==;(2)()!C !!mn n m n m =-(n ,*N ∈m ,且m ≤n ).3. 组合数性质:(1) C =C m n mn n-; (2) 111C +C C m m m n n n +++=.知识点四:解组合问题的方法1.分类讨论:即分析题中的限定条件将所给元素按性质适当分类,并侧重其中一类,相应各类分类讨论,分类时要做到不重不漏.2.等价转化:即把所求问题转化为与之等价的组合问题去解决.3.排除法.4.枚举法.知识点五:计数需注意问题1.排列为有序问题,组合为无序问题,两者都是不重复问题.2.排列包括两个要素,一个是不同的元素,另一个是确定的顺序. 即排列可分成两步,第一步取出元素,第二步排列顺序.3.组合只有一个要素,就是取出元素即可,与元素的排列顺序无关.4.要注意区分分类和分步计数原理,排列和组合,元素允许重复是直接用计数原理,而元素不允许重复的是排列和组合问题. 题型一 排列定义例1 五个同学站一排照相,共多少种排法?分析:把5个元素放在5个位置上,相当于5的全排列,也共有120P 55=种排法. 解答:N =120P 55=种排法题型二 排列数公式例2 设x N *∈,10x <,(20)(21)(30)().x x x --⋅⋅⋅-=A. 1020P x -B. 1120P x -C. 1030P x -D. 1130P x -分析:排列数公式 P m n =n (n -1)(n -2)…(n -m +1)的特点: (1)等号右边最大的数是n ; (2)等号右边最小的数是n -m +1; (3)共有m 个连续自然数相乘. 解答:30n x =-,(30)(20)111m x x =---+=,∴ (20)(21)(30)x x x --⋅⋅⋅-=1130P x -题型三 解决排列应用题 例3 用1、2、3、4、5、6个数. (1)可以组成多少个五位数?(2)可以组成多少个没有重复数字的五位数? (3)可以组成多少个1和2相邻的六位数? (4)可以组成多少个1和2不相邻的六位数?分析:先考虑是用分类分步还是用排列组合,就是要观察一下数字是否允许重复,数字允许重复用分类分步计数原理,数字不允许重复用排列组合,数字相邻用捆绑法,数字不相邻用插空法.解答:(1)数字可以重复,所以用分步计数原理,每个数位上都有6个数字可选,因此共有5666666⨯⨯⨯⨯=个.(2)数字不可以重复,还有顺序,所以用排列,共720P 56==N 个.(3)1和2相邻,用捆绑法,先排1和2共22P 种,与余下的4个元素共有55P 种,则共有240P P 5522=个.(4)1和2不相邻,插空法,先排余下的4个元素44P 种,,再从5个空中挑选2个即25P 种,则共有480P P 2544=个.题型四 组合定义及组合数公式例4 从8名男生2名女生中任选5人, (1)共有多少种不同的选法? (2)恰好有一名女生的不同选法? 分析:选取元素干同一件事就组合问题.解答:(1)所有不同选法数就从10人中任选5人的组合数即252C 510=种.(2)从2名女生中任选1人的选法有12C 种,从8名男生中选出4人的选法有48C 种,由分步计数原理,恰有一名女生的选法有140C C 4812=种.题型五 组合数公式例5 (1)已知321818C C -=x x 则x =____. (2)=+97999899C C _____.分析:灵活运用组合数性质.解答:(1)根据题意得 23x x =-或(23)18x x +-=则3x =或7x =.(2)4950299100C C C C 21009810097999899=⨯===+. 题型六 解组合应用题例6 从8件不同的服装快递,2件不同的食品快递中任选5件. (1)至少有一件食品快递的不同选法总数? (2)最多有一件食品快递的不同选法总数?分析:解决带有限制条件的组合应用题要根据题意正确地分类或分步,巧妙运用直接法或间接法.解答:(1)法一(直接法)分两类情况求解,第一类恰有一件食品快递选法有4812C C 种,第二类恰有两件食品快递选法有3822C C 种,由分类计数原理得至少有一件食品快递的不同选法共有196C C C C 38224812=+种.法二(排除法)从10件快递中任选5件选法总数减去选出的5件全为服装快递的总数即至少有一件为食品快递的不同选法有55108196C C -=种.(2) 最多有一件食品快递可分为以下两类,第一类选出的五件快递中恰有一件食品快递有1428C C 种选法,第二类选出的五件快递中恰有0件食品快递,有0528C C 种选法,由分类计数原理知最多有一件食品快递的选法有14052828196C C C C +=种.一、选择题1.设*x N ∈,10x <,则(10)(11)(17)x x x --⋅⋅⋅-用排列数符号表示为( ).A.x x --1017PB.817P x -C. 717P x -D. 810P x -2.从4人中任选2人担任正副班长,结果共有( )种.A. 4B. 6C. 12D. 243.将5本不同的笔记本分配给4个三好学生(每个学生只能拥有一本笔记本),则所有的分法种数为( ).A. 5!B. 20C. 54D. 454.5名学生报考4所不同的学校(每名学生只能报考一所学校),则所有的报考方法有( )种.A. 5!B. 20C. 54D. 455.将6名优秀教师分配到4个班级,要求每个班有1名教师,则不同的分法种数有( )种.A. 46PB. 46C. 46CD. 646.为抗击郑州水患,某医院派3名医生和6名护士支援郑州,他们被分配到郑州的三所医院,每个医院分配1名医生和2名护士,共有( )种不同的分配方法.A. 24122613P P P P +B. 221124122613P P P P P P ++ C. 121212362412C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅ D. 121212362412C C C C C C ⋅+⋅+⋅7.从4名男生和5名女生中任取3人,其中男生至多有一人,则不同的取法共有( )种 . A. 30 B. 50 C. 70 D. 808.某小组有男生7人,女生3人,选出3人中有1名男生,2名女生的不同选法有( )种.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅9.10件产品中有2件次品,任取3件至少有1件次品的不同抽法为( )种.A. 1229C C ⋅ B. 312828C C C +⋅ C. 33108C C - D. 12122928C C C C ⋅-⋅10.式子(1)(2)(15)16!x x x x ++⋅⋅⋅+(x N *∈,1x >)可表示为( ).A. 1615P +xB. 1615x C +C. 16x CD. 17x C妙记巧学,归纳感悟 二、判断题:1. 34567⨯⨯⨯⨯等于37P .( )2. 从甲、乙、丙、丁中任选两人做正、副班长,共有12种.( )3. 6个座位,3个人去坐,每人坐一个座位,则共36C 种.( ) 4. 6个点最多可确定26C 条直线.( ) 5. 6个点最多可确定26C 条有向线段.( ) 6. 某铁路有十个站点,共需准备210P 种车票.( )7. 某铁路有十个站点,有210P 种不同票价(同样的两个站点的票价相同).( ) 8. 某组学生约定,假期每两人互通一封信,共计12封,这个小组学生有5人.( ) 9. 把语文、数学、英语、美术、历史这五门课排在一天的五节课中,数学必须比美术先上的排法总数为44C 种.( )10.从3、5、7、9中任选两个,可以组成12个不同的分数值.( ) 妙记巧学,归纳感悟 三、填空题1.若57n n C C =,则n =_______..2.若56P 2=n ,则n =_______.3.从数字0、1、2、3、4、5中任选3个数,可组成______个无重复数字的三位偶数.4.将4本同样的书分给5名同学,每名同学至多分一本,而且书必须分完则不同的分法总数有______种.5.2名教师和5名学生中选3人去旅游,教师不能不去,也不能全去,则共有______种选法. 妙记巧学,归纳感悟 四、解答1.将5名学生排成一排照相,其中3名男生,2名女生,则以下情况各有多少种不同的排法?(1)甲乙必须相邻; (2)甲乙互不相邻; (3)甲乙必须站两端; (4)甲乙不在两端; (5)男女相间.2. 将6本不同的书,在下列情况下有多少种分法? (1)分成相等的三份; (2)平均分给甲乙丙三位同学;(3)分成三份,一份一本,一份两本,一份三本; (4)甲分一本,乙分两本,丙分三本;(5)如果一人分一本,一人分两本,一人分三本,分给甲乙丙. 高考链接1.(2018)某年级有四个班,每班组成一个篮球队,每队分别同其他三个队比赛一场,共需要比赛( )场.A. 4B. 6C. 5D. 7 2. 某段铁路共有9个车站,共需准备( )种不同的车票. A. 36 B. 42 C.64 D. 723. 甲袋中装有6个小球,乙袋中装有4个小球,所有小球颜色各不相同,现从甲袋中取两个小球,乙袋中取一个小球,则取出三个小球的不同取法共有( )种. A. 30 B. 60 C.120 D. 3604. 某学校举行元旦曲艺晚会,有5个小品节目,3个相声节目,要求相声节目不能相邻,则不同的出场顺序有______种. 积石成山10件产品中有2件次品任取3件,至多有一件次品的不同取法总数为( )种.A. 312828C C C +B. 1229C C C. 33108C C - D. 12122928C C C C -2. 从4名男生和5名女生中任取3人,其中至少有男生,女生各一名,则不同的取法有( )种.A. 140B. 84C. 70D. 353. 某医疗小队有护士7人,医生3人,任选3人的不同选法有( ).A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅4. 将4名优秀教师分配到3个班级,每个班至少分到一名教师,则不同的分配方案有( )种.A. 72B. 36C. 18D. 125. 5个人站成一排照相,甲不站排头,乙不站排尾的排法总数有( )种. A. 36 B. 78 C. 60 D. 486. 5个人站成一排照相,甲站中间的排法总数有( )种. A .24 B. 36 C. 60 D. 487. 5个人站成2排照相,第一排2人,第二排3人则不同的排法总数有( )种. A. 48 B. 78 C. 60 D. 1208. 从1、2、3、4中任选2个,再从5、6、7、8、9中任选2个可组成无重复的四位数的个数是( )个.A .720 B. 2880 C. 1440 D .1449. 某工作小组有9名工人,3名优秀工人,各抽5人参加比赛,要求优秀工人都参加不同的选法共有( )种.A. 12B.15C. 30D. 36 10. 式子(1)(2)(15)1!x x x x x ++⋅⋅⋅+-()(x N *∈,1x >)可表示为( ).A. 1615P +xB. 1615x C +C.16x C D .17x C排列组合答案一、选择题二、判断题三、填空题1.12 解析:根据组合数性质1得5712n =+=2.8 解析:2(1)56n P n n =-= 8n ∴=3. 52 解析:分两类,第一类个位是零则有2520P =个;第二类,个位不是零,则有11124432P P P =个,所以共有20+32=52个.4.5 解析:只需在五人中选四人得到书即可,书相同无需排序,则有455C =种. 5.20 解析:老师不能不去,也不能全去,则只能去一人即122520C C =种.妙记巧学,归纳感悟:答案全,结果简. 四、解答题1.解:(1)把甲乙捆绑在一起有22P 种,与余下的3名学生共有44P 种,则甲乙必须相邻,有242448P P =种排法.(2)先把余下的3名学生排好有33P 种,再从形成的4个空中任选两个甲乙来排有24P 种,则甲乙不相邻有323472P P =种排法.(3)甲乙必须站两端,先排甲乙有22P 种,再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种,则甲乙必须站两端有323212P P =种排法.(4)先从3个位置中选2个甲乙来排有23P 种,再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种,则甲乙不在两端有233336P P =种. (5)男女相间则有323212P P =种排法.2. 解:(1)平均分堆问题.有2226423315C C C P =种方法. (2)平均分配问题,每人均分得2本.甲先取两本26C 种,乙再取两本24C 种,丙最后取两本22C 种,由分步计数原理得222642C C C =90种方法.(3)不平均分堆问题,第一份16C 种,第二份25C 种,第三份33C 种,则共有123653C C C =60种方法.(4)不平均分配问题,甲先选一本16C 种,乙再选两本25C 种,丙最后选三本33C 种,则共有123653C C C =60种方法.(5)不平均分配问题,且没有指定对象,先分三份123653C C C 种,再把这三份分给甲乙丙三人有33P 种,则共有种12336533360C C C P =方法.妙记巧学,归纳感悟: 排列组合来相遇,先组后排无争议. 高考链接1.B2.D3.B4.2400 解析:相声节目不相邻,则用插空法先排5个小品节目共有55P 种,五个小品节目共形成六个空选三个空插入相声节目有36P 种,则共有53562400P P =种.积石成山。

(完整word版)高中数学排列组合题型归纳总结(2),推荐文档

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排列组合1.分类计数原理(加法原理)完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有m 种不同的方法,…,在第n 类办法中有n m 不同的方法.2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,…,做第n 步有n m 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件.一.特殊元素和特殊位置优先策略例1、.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解: 由分步计数原理得113434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法?二.相邻元素捆绑策略例2、 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解: 522480A A A =练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 解5456A A练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4.、 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是:7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有47A 种方法。

高中数学排列组合题型归纳总结

高中数学排列组合题型归纳总结

排列组合1.分类计数原理(加法原理)完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,…,在第n 类办法中有n m不同的方法.2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,…,做第n 步有n m3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件.一.特殊元素和特殊位置优先策略例1、.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解: 由分步计数原理得113434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法二.相邻元素捆绑策略例2、 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解: 522480A A A =练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种 解5456A A练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4.、 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是:7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有47A 种方法。

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一.基本原理1.加法原理:做一件事有n 类方法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。

二.排列:从n 个不同元素中,任取m 〔m ≤n 〕个元素,按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从1.公式:1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定:0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-; (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m 〔m ≤n 〕个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。

1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定:组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ①;②;③;④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注:假设12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事〔审题〕 ②有序还是无序 ③分步还是分类。

排列组合题型总结

排列组合题型总结

排列组合题型总结
排列组合是数学中的一个重要概念,在计算中经常用到,以下是排列组合题型的总结:
1. 排列问题:
排列指的是从n个元素中取出m个元素进行排列的问题,其公式为:
A(n, m) = n!/(n-m)!
主要注意点:
- 选取的元素是有序的。

- 选取m个元素后,这m个元素之间是有先后顺序的。

2. 组合问题:
组合指的是从n个元素中选取m个元素的问题,其公式为:
C(n, m) = n!/((n-m)!*m!)
主要注意点:
- 选取的元素是无序的。

- 选取的元素数量固定为m,之间没有先后顺序。

3. 常见的排列组合问题:
- 从n个元素中取出m个元素进行排列,且要求选取的元素必须包含某几个元素。

- 从n个不同的元素中取出m个,其中有k个元素必须选取,且这k个元素的排列方式已经确定,求剩余元素的排列方式。

- 对于排列或组合问题,统计满足特定条件的个数。

以上是排列组合问题的常见形式,需要掌握常用的排列组合公式,并根据具体问题理解是否需要考虑先后顺序或特定条件。

完整版)高考排列组合知识点归纳

完整版)高考排列组合知识点归纳

完整版)高考排列组合知识点归纳第四讲:排列组合一、分类计数原理与分步计数原理1.分类加法计数原理:对于一件事情,有两种不同的方案,第一类方案有m种不同的方法,第二类方案有n种不同的方法,那么完成这件事情共有m+n种不同的方法。

2.分步乘法计数原理:完成一件事情需要两个步骤,第一步有m种不同的方法,第二步有n种不同的方法,那么完成这件事情共有m×n种不同的方法。

二、排列数1.组合:从n个元素中取出m个元素,记作Cnmn!/m!(n-m)!2.排列:1)全排列:将n个元素全排列,记作Ann!2)从n个元素中取出m个元素,并将这m个元素全排列,记作Anmn!/ (n-m)!三、二项式定理a+b)nC n 0 a n b 0C n 1 a n-1 b 1 C n n abn1.二次项系数之和:Cnr2.展开式的第r项:Tr+1Cnr例题1:(x-1)4的展开式中的常数项是()A、6.B、4.C、-4.D、-6例题2:在二项式(x-2y) 5的展开式中,含x2y3的项的系数是()A、-20.B、-3.C、6.D、20 随堂训练:1、在二项式(x21)5的展开式中,含x4的项的系数是()A、-10.B、10.C、-5.D、52、(1/x-2x25的展开式中的常数项是()A、5.B、-5.C、10.D、-103、在二项式(x+3y)6的展开式中,含x2y4的项的系数是()A、45.B、90.C、135.D、2704、已知关于x的二项式(x+3an的展开式的二项式系数之和为32,常数项为80,则a的值为()A、1.B、±1.C、2.D、±25、(1-2x)(1-3x)4的展开式中,x2的系数等于?6、(ax21/2x-2)7的展开式中各项系数的和为243,则该展开式中常数项为?7、(x22)2x的展开式中常数项是70,则n=?若展开式(ax+)(2x+)5中常数项为-40,则a=?四、排列组合题型总结解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题,弄清要做什么事;2.确定采取分步还是分类,或分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类;3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合问题(无序),元素总数是多少及取出多少个元素;4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略。

(完整版)排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

(完整版)排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一.基本原理1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。

二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从1.公式:1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定:0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-; (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。

1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定:组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ①;②;③;④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=L L L 注:若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。

2024年高考数学专项复习排列组合12种题型归纳(解析版)

2024年高考数学专项复习排列组合12种题型归纳(解析版)

排列组合12种题型归纳1.排列与组合的概念名称定义区别排列从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列排列有序,组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数.用符号“A m n ”表示A m n =n (n -1)(n -2)…(n -m +1)=n !(n -m )!(n ,m ∈N *,且m ≤n )(1)A n n =n !;(2)0!=1C m n =A m nm !组合数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号“C m n ”表示C m n =n (n -1)(n -2)…(n -m +1)m !=n !m !(n -m )!(n ,m ∈N *,且m ≤n )(1)C n n =C 0n =1;(2)C m n =C n -m n ;(3)C m n +1=C mn +C m -1n【题型一】人坐座位模型1:捆绑与插空【典例分析】1.有四男生,三女生站一排,其中只有俩个女生相邻:2.有四男生,4女生站一排,女生若相邻,则最多2个女生相邻:2024年高考数学专项复习排列组合12种题型归纳(解析版)【变式演练】1.在某班进行的歌唱比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生.如果2位男生不能连着出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种数为A.30B.36C.60D.722.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.144B.120C.72D.483.2021年4月15日,是第六个全民国家安全教育日,教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲,时间顺序要求是:高校甲必须排在第二或第三个,且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲,高校乙、高校丙的宣讲顺序不能相邻,则不同的宣讲顺序共有()A.28种B.32种C.36种D.44种【题型二】人坐座位模型2:染色(平面)【典例分析】如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图,现在提供5种颜色给其中5个小区涂色,规定每个区域只能涂一种颜色,相邻区域颜色不同,则A、C区域颜色不相同的概率是A.1/7 b.2/7 c.3/7 D.4/7【变式演练】1.正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母,现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色,要求有公共棱的面不能染同一种颜色,则不同的染色方案有()种.A.420B.600C.720D.7802.如图,某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成,七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内,且恰有一种颜色涂在相对区域内,则不同颜色图案的此类太阳伞最多有().A .40320种B .5040种C .20160种D .2520种3.如图,用四种不同的颜色给图中的A ,B ,C ,D ,E ,F ,G 七个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法有()A .192B .336C .600D .以上答案均不对【题型三】人坐座位模型3:染色(空间):【典例分析】如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的涂色方案共有()A .6种B .9种C .12种D .36种【变式演练】1.如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法种数是()A.420B.210C.70D.352.在如图所示的十一面体ABCDEFGHI中,用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色,每个顶点染一种颜色,要求每条棱的两端点异色,则不同的染色方案种数为__________.3.用五种不同颜色给三棱台ABC DEF的六个顶点染色,要求每个点染一种颜色,且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有___________种.【题型四】书架插书模型【典例分析】有12名同学合影,站成了前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是()A.168B.260C.840D.560【变式演练】A aB bC cD d1.从A,B,C,D,a,b,c,d中任选5个字母排成一排,要求按字母先后顺序排列(即按(),(),(),()先后顺序,但大小写可以交换位置,如AaBc或aABc都可以),这样的情况有__________种.(用数字作答)2..在一张节目表上原有6个节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,再添加进去三个节目,求共有多少种安排方法3.书架上有排好顺序的6本书,如果保持这6本书的相对顺序不变,再放上3本书,则不同的放法共有().A.210种B.252种C.504种D.505种【题型五】球放盒子模型1:球不同,盒子也不同【典例分析】已知有5个不同的小球,现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中,若装有小球的盒子的编号之和恰为11,则不同的放球方法种数为()A.150B.240C.390D.1440【变式演练】1.将5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少1个球,至多2个球,则不同的放法种数有()A.30种B.90种C.180种D.270种2.将编号分别为1,2,3,4,5的5个小球分别放入3个不同的盒子中,每个盒子都不空,则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不相同的概率为A.17B.16C.625D.7243.将A,B,C,D四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,若每个盒子中至少放一个球且A,B不能放入同一个盒子中,则不同的放法种数为()A.15B.30C.20D.42【题型六】球放盒子模型2:球相同,盒子不同【典例分析】把1995个不加区别的小球分别放在10个不同的盒子里,使得第i 个盒子中至少有i 个球(1,2,...,10i ),则不同放法的总数是A .101940C B .91940C C .101949C D .91949C 【变式演练】1.将7个相同的球放入4个不同的盒子中,则每个盒子都有球的放法种数为()A .22B .25C .20D .482.把20个相同的小球装入编号分别为①②③④的4个盒子里,要求①②号盒每盒至少3个球,③④号盒每盒至少4个球,共有种方法.A .39C B .319C C .3494C AD .143205C C 3.将7个相同的小球放入A ,B ,C 三个盒子,每个盒子至少放一球,共有()种不同的放法.A .60种B .36种C .30种D .15种【题型七】相同元素排列模型1:数字化法【典例分析】如图,小明从街道的E 处出发,先到F 处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓才加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A.24B.18C.12D.9【变式演练】1.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处,小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力,且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后,停在数轴上实数3位于的点处,则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种?A .5B .25C .55D .752.跳格游戏:如图,人从格子外只能进入第1个格子,在格子中每次可向前跳1格或2格,那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为A .8种B .13种C .21种D .34种3.如图所示,甲、乙两人同时出发,甲从点A 到B ,乙从点C 到D ,且每人每次都只能向上或向右走一格.则甲、乙的行走路线没有公共点的概率为().A .37B .57C .514D .1321【题型八】相同元素排列模型2:空车位停车等【典例分析】1.某单位有8个连在一起的车位,现有4辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起,则不同的停放方法的种数为()A.240B.360C.480D.7202.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盏路灯,为节约用电,可以把其中的三盏路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯,满足条件的关灯办法有种【变式演练】1.某公共汽车站有6个候车位排成一排,甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来,由于市内堵车,228路公交车一直没到站,三人决定在座位上候车,且每人只能坐一个位置,则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是A.48B.54C.72D.842.现有一排10个位置的空停车场,甲、乙、丙三辆不同的车去停放,要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有_________种.3.地面上有并排的七个汽车位,现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库.当停车完毕后,恰有两个连续的空车位,且红、白两车互不相邻的情况有________种.【题型九】相同元素排列模型3:上楼梯等【典例分析】欲登上第10级楼梯,如果规定每步只能跨上一级或两级,则不同的走法共有A.34种B.55种C.89种D.144种【变式演练】1.斐波那契数列,又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..,在数学上,斐波那契数列以如下被递推的方法定义:()11f =,()21f =,()()()()122,f n f n f n n n N *=-+-≥∈.这种递推方法适合研究生活中很多问题.比如:一六八中学食堂一楼到二楼有15个台阶,某同学一步可以跨一个或者两个台阶,则他到二楼就餐有()种上楼方法.A .377B .610C .987D .15972.从一楼到二楼共有12级台阶,可以一步迈一级也可以一步迈两级,要求8步走完,则从一楼到二楼共有走法.A .12B .8C .70D .663.某人从上一层到二层需跨10级台阶.他一步可能跨1级台阶,称为一阶步,也可能跨2级台阶,称为二阶步,最多能跨3级台阶,称为三阶步.从一层上到二层他总共跨了6步,而且任何相邻两步均不同阶.则他从一层到二层可能的不同过程共有()种.A .6B .8C .10D .122010年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题【题型十】多事件限制重叠型【典例分析】班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言,要求甲、乙两人至少有一个发言,且甲、乙都发言时丙不能发言,则甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率为A .217B .316C .326D .328【变式演练】1.某同学计划用他姓名的首字母,T X ,身份证的后4位数字(4位数字都不同)以及3个符号,,αβθ设置一个六位的密码.若,T X 必选,且符号不能超过两个,数字不能放在首位和末位,字母和数字的相对顺序不变,则他可设置的密码的种数为()A .864B .1009C .1225D .14412.2019年11月19日至20日,北京师范大学出版集团携手北师大版数学教材编写组在广东省珠海市联合举办了以“新课程,我们都是追梦人”为主题的北师大版中小学数学教材交流研讨会,会议期间举办了一场“互动沙龙”,要求从6位男嘉宾,2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲,且女嘉宾至少要选中1位,如果2位女嘉宾同时被选中,她们的演讲顺序不能相邻,那么不同演讲顺序的种数是()A .1860B .1320C .1140D .10203.有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内,要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列,则共有______种不同的停放方法.(用数字作答)【题型十一】多重限制分类讨论【典例分析】高一新生小崔第一次进入图书馆时看到了馆内楼梯(图1),她准备每次走1级或2级楼梯去二楼,并在心中默默计算这样走完25级楼梯大概有多少种不同的走法,可是当她走上去后发现(图2)原来在13级处有一宽度达1.5米的平台,这样原来的走楼梯方案需要调整,请问,对于剩下的15级()123+楼梯按分2段的走法与原来一次性走15级的走法相比较少了______种.【变式演练】1.市内某公共汽车站有7个候车位(成一排),现有甲,乙,丙,丁,戊5名同学随机坐在某个座位上候车,则甲,乙相邻且丙,丁不相邻的不同的坐法种数为______;(用数字作答)3位同学相邻,另2位同学也相邻,但5位同学不能坐在一起的不同的坐法种数为______.(用数字作答)2.2021年某地电视台春晚的戏曲节目,准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段.对这6个剧种的演出顺序有如下要求:京剧必须排在前三,且越剧、粤剧必须排在一起,则该戏曲节目演出顺序共有()种.A .120B .156C .188D .2403.甲、乙、丙、丁等六名退休老党员相约去观看党史舞台剧《星火》.《星火》的票价为50元/人,每人限购一张票.甲、乙、丙三人各带了一张50元钞,其余三人各带了一张100元钞.他们六人排成一列到售票处买票,而售票处一开始没有准备50元零钱,那么他们六人共有多少种不同排队顺序能使购票时售票处不出现找不出钱的状态.()A .720B .360C .180D .90【题型十二】综合应用【典例分析】设十人各拿一只水桶,同到水龙头前打水,设水龙头注满第i (i =1,2,…,10)个人的水桶需Ti 分钟,假设Ti 各不相同,当水龙头只有一个可用时,应如何安排他(她)们的接水次序,使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少()A .从Ti 中最大的开始,按由大到小的顺序排队B .从Ti 中最小的开始,按由小到大的顺序排队C .从靠近Ti 平均数的一个开始,依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D .任意顺序排队接水的总时间都不变【变式演练】1.由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数,从中任意抽取一个,则其恰好为“前3个数字保持递减,后3个数字保持递增”(如五位数“43125”,前3个数字“431”保持递减,后3个数字“125”保持递增)的概率是()A .120B .112C .110D .162.设A 是集合{}12345678910,,,,,,,,,的子集,只含有3个元素,且不含相邻的整数,则这种子集A 的个数为()A .32B .56C .72D .843.为迎接第24届冬季奥林匹克运动会,某校安排甲、乙、丙、丁、戊共五名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者,每个比赛项目至少安排1人.则学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为()A.34B.23C.56D.12【经典题专练】1.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图,现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,则,A C区域涂色不相同的概率为()A.17B.27C.37D.472.将一个四棱锥S ABCD的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法的总数是A.540B.480C.420D.3603.清明节前夕,某校团委决定举办“缅怀革命先烈,致敬时代英雄”主题演讲比赛,经过初赛,共有10人进入决赛,其中高一年级3人,高二年级3人,高三年级4人,现采用抽签方式决定演讲顺序,则在高二年级3人相邻的前提下,高一年级3人不相邻的概率为()A.512B.712C.914D.5144.10名同学合影,站成前排4人后排6人,现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是()A .2263C A B .2666C A C .2266C AD .2265C A 5.将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中,每盒放一球,若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同,则不同的放法种数为()A .90B .135C .270D .3606.现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里,每个盒子至少一个球,各盒子中球的个数互不相同,则不同放法的种数是()A .28B .24C .18D .167.某单位有7个连在一起的车位,现有3辆不同型号的车需停放,如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起,则不同的停放方法的种数为A .16B .18C .32D .728.校园某处并排连续有6个停车位,现有3辆汽车需要停放,为了方便司机上下车,规定:当有汽车相邻停放时,车头必须同向;当车没有相邻时,车头朝向不限,则不同的停车方法共有__________种.(用数学作答)9.如图,在某城市中,M 、N 两地之间有整齐的方格形道路网,其中1A 、2A 、3A 、4A 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M 、N 处的甲、乙两人分别要到N 、M 处,他们分别随机地选择一条沿街的最短路径,以相同的速度同时出发,直到到达N 、M 处为止.则下列说法正确的是()A .甲从M 到达N 处的方法有120种B .甲从M 必须经过2A 到达N 处的方法有64种C .甲、乙两人在2A 处相遇的概率为81400D .甲、乙两人相遇的概率为1210.有一道楼梯共10阶,小王同学要登上这道楼梯,登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶,小王同学7步登完楼梯的概率为___________.11.2020年疫情期间,某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医院,每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为1P ,第二批派出两名医务人员的年龄最大者为2P ,第三批派出三名医务人员的年龄最大者为3P ,则满足123P P P <<的分配方案的概率为()A .13B .23C .120D .3412.如图,在某海岸P 的附近有三个岛屿Q ,R ,S ,计划建立三座独立大桥,将这四个地方连起来,每座桥只连接两个地方,且不出现立体交叉形式,则不同的连接方式有().A .24种B .20种C .16种D .12种13.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动,有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排,以下说法正确的是()A .每人都安排一项工作的不同方法数为54B .每人都安排一项工作,每项工作至少有一人参加,则不同的方法数为4154A C C .如果司机工作不安排,其余三项工作至少安排一人,则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C CC C A +D .每人都安排一项工作,每项工作至少有一人参加,甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +14.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码,它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下:数字123456789形式ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨ其中“Ⅰ”需要1根火柴,“Ⅴ”与“X”需要2根火柴,若为0,则用空位表示.(如123表示为,405表示为)如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中,那么可以表示的不同的三位数的个数为()A .87B .95C .100D .10315.如图为33⨯的网格图,甲、乙两人均从A 出发去B 地,每次只能向上或向右走一格,并且乙到达任何一个位置(网格交点处)时向右走过的格数不少于向上走过的格数,记甲、乙两人所走路径的条数分别为M、 的值为()N,则M NA.10B.14C.15D.16排列组合12种题型归纳1.排列与组合的概念名称定义区别排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列排列有序,组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号“A m n”表示A m n=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!(n-m)!(n,m∈N*,且m≤n)(1)A n n=n!;(2)0!=1C m n=A m nm!组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号“C m n”表示C m n=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!=n!m!(n-m)!(n,m∈N*,且m≤n)(1)C n n=C0n=1;(2)C m n=C n-m n;(3)C m n+1=C m n+C m-1n【题型一】人坐座位模型1:捆绑与插空【典例分析】1.有四男生,三女生站一排,其中只有俩个女生相邻:2.有四男生,4女生站一排,女生若相邻,则最多2个女生相邻:解答(1):先捆绑俩女生,再排列捆绑女生,然后排列四个男生,两个“女生”插孔即可,2242 3245 C A A A(2)分类讨论24422422243445224542451; (2); (3)2C A A A A A C A A A ()都不相邻:A 两队各自相邻:一对两人相邻:!【方法技巧】人坐座位模型:特征:1.一人一位;2、有顺序;3、座位可能空;4、人是否都来坐,来的是谁;5、必要时,座位拆迁,剩余座位随人排列。

高中数学排列组合经典题型全面总结版

高中数学排列组合经典题型全面总结版
取法有多少种? 解:这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数,所取的三个数含
有 3 个偶数的取法有 C53 ,只含有 1 个偶数的取法有 C51C52 ,和为偶数的取法共有 C51C52 C53 。再淘汰和小于 10 的偶数共 9 种,符合条件的取法共有 C51C52 C53 9
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几
个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是:
A
7 7
/
A
3 3
(空位法)设想有
7
把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
A
4 7
种方法,其余的三个位置甲乙丙共有
1 种坐法,则共有
A
4 7
种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
1
4
3
2
5
十六. 分解与合成策略 例 16. 30030 能被多少个不同的偶数整除
解:因为 10 个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板,可把
名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有 C96 种分法。
2














将 n 个相同的元素分成 m 份(n,m 为正整数),每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板,插入 n 个元素排成一排的 n-1 个
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推,由分步计数

高中数学排列组合经典题型全面总结计划版

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高中数学排列与组合(一)典型分类解说一. 特别元素和特别地点优先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5能够构成多少个没有重复数字五位奇数.解: 因为末位和首位有特别要求, 应当优先安排 , 免得不合要求的元素占了这两个地点.先排末位共有C31而后排首位共有C41最后排其余地点共有A43C41 A 43C31由分步计数原理得 C41C31 A43288练习题 :7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间,也不种在两头的花盆里,问有多少不同的种法?二. 相邻元素捆绑策略例 2. 7人站成一排, 此中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并当作一个复合元素,同时丙丁也当作一个复合元素,再与其余元素进行摆列,同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有A55 A22 A22480 种不同的排法甲乙丙丁要求某几个元素一定排在一同的问题, 能够用捆绑法来解决问题. 马上需要相邻的元素归并为一个元素, 再与其余元素一同作摆列 , 同时要注意归并元素内部也一定摆列.练习题 : 某人射击 8 枪,命中 4 枪, 4 枪命中恰巧有 3 枪连在一同的情况的不同种数为20三. 不相邻问题插空策略例 3. 一个晚会的节目有 4 个舞蹈 ,2 个相声 ,3 个独唱 , 舞蹈节目不可以连续出场 , 则节目的出场次序有多少种?解: 分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有A55种,第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有种A64不同的方法,由分步计数原理,节目的不同次序共有A55 A64种元素相离问题可先把没有地点要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两头练习题:某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增添了两个新节目. 假如将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为30四. 定序问题倍缩空位插入策略例 4. 7 人排队 , 此中甲乙丙 3 人次序必定共有多少不同的排法解:( 倍缩法 ) 对于某几个元素次序必定的摆列问题, 可先把这几个元素与其余元素一同进行摆列, 而后用总摆列数除以这几个元素之间的全摆列数 , 则共有不同排法种数是:A77/ A33(空位法 )假想有 7把椅子让除甲乙丙之外的四人就坐共有A74种方法,其余的三个地点甲乙丙共有 1 种坐法,则共有A74种方法。

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2排列组合题型总结排列组合问题千变万化,解法灵活,条件隐晦,思维抽象,难以找到解题的突破口。

因而在求解排列组合应用题时,除做到:排列组合分清,加乘原理辩明,避免重复遗漏外,还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。

一.直接法1.特殊元素法例 1 用 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个(1)数字 1 不排在个位和千位(2)数字 1 不在个位,数字 6 不在千位。

分析:(1)个位和千位有 5 个数字可供选择A2 ,其余 2 位有四个可供选择A2 ,由乘法原理:5 4A2 A2 =2405 42.特殊位置法(2)当 1 在千位时余下三位有A3 =60,1 不在千位时,千位有A1 种选法,个位有A1 种,余下5 4 4的有A2 ,共有A1 A1 A2 =192 所以总共有 192+60=2524 4 4 4二.间接法当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。

如上例中(2)可用间接法A4 - 2 A3 +A2 =2526 5 4例 2 有五张卡片,它的正反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三维书?分析:此例正面求解需考虑 0 与 1 卡片用与不用,且用此卡片又分使用 0 与使用 1,类别较复杂,因而可使用间接计算:任取三张卡片可以组成不同的三位数C 3 ⨯ 23 ⨯A3 个,其中 0 在百位的5 3有C 2 ⨯ 22 ⨯A2 个,这是不合题意的。

故共可组成不同的三位数C 3 ⨯ 23 ⨯A3 - C 2 ⨯ 22 ⨯4 25 3 4A2 =432(个)三.插空法当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。

例 3 在一个含有 8 个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺序,有多少中插入方法?分析:原有的 8 个节目中含有 9 个空档,插入一个节目后,空档变为 10 个,故有A1 ⨯A1 =1009 10中插入方法。

四.捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用捆绑法。

例 4 4 名男生和 3 名女生共坐一排,男生必须排在一起的坐法有多少种?292829 114993A 3分析:先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有 A 4 种排法,而男生之间又有 A 4 种排法,44又乘法原理满足条件的排法有: A 4 × A 4 =57644练习 1.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,若使每个盒子不空,则不同的放法有 种(C 2 A 3 )4 32. 某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一所学校人数较多,要安排连续参观 2 天,其余只参观一天,则植物园 30 天内不同的安排方法有( C 1 ⋅ A 19 )(注意连续参观 2 天,即需把 30 天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有C 1 其余的就是 19 所学校选 28 天进行排列) 五. 阁板法名额分配或相同物品的分配问题,适宜采阁板用法例 5 某校准备组建一个由12 人组成篮球队,这12 个人由8 个班的学生组成,每班至少一人,名额分配方案共 种 。

分析:此例的实质是 12 个名额分配给 8 个班,每班至少一个名额,可在 12 个名额种的 11 个空当中 插入 7 块闸板,一种插法对应一种名额的分配方式,故有C 7 种练习 1.(a+b+c+d)15 有多少项?当项中只有一个字母时,有C 1 种(即 a.b.c.d 而指数只有 15 故C 1 ⋅ C 0 。

4414当项中有 2 个字母时,有C 2 而指数和为 15,即将 15 分配给 2 个字母时,如何分,闸板法一分为2, C 1 即 C 2 C 114414当项中有 3 个字母时C 3 指数 15 分给 3 个字母分三组即可C 3C 24当项种 4 个字母都在时 C 4 ⋅ C3 四者都相加即可.4144 14练习 2.有 20 个不加区别的小球放入编号为 1,2,3 的三个盒子里,要求每个盒子内的球数不少编 号数,问有多少种不同的方法?( C 2 )163.不定方程 X 1+X 2+X 3+…+X 50=100 中不同的整数解有( C 49 )六. 平均分堆问题 例 66 本不同的书平均分成三堆,有多少种不同的方法?分析:分出三堆书(a 1,a 2),(a 3,a 4),(a 5,a 6)由顺序不同可以有 A 3 =6 种,而这 6 种分法只算一种C 2C 2C 2分堆方式,故 6 本不同的书平均分成三堆方式有 6 4 2=15 种 3练习:1.6 本书分三份,2 份 1 本,1 份 4 本,则有不同分法?BECD44 3A C AAB CD E651 4234 1322. 某年级 6 个班的数学课,分配给甲乙丙三名数学教师任教,每人教两个班,则分派方法的种数。

七. 合并单元格解决染色问题例 7 (全国卷(文、理))如图 1,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不 得使用同一颜色,现有四种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种(以数字作答)。

分析:颜色相同的区域可能是 2、3、4、5. 下面分情况讨论:(ⅰ)当 2、4 颜色相同且 3、5 颜色不同时,将 2、4 合并成一个单元格,此时不同的着色方法相当于 4 个元素①③⑤的全排列数A4(ⅱ)当 2、4 颜色不同且 3、5 颜色相同时,与情形(ⅰ)类似同理可得A4种着色法.三个单元格①(ⅲ)当 2、4 与 3、5 分别同色时,将 2、4;3、5 分别合并,这样仅有从 4 种颜色中选 3 种来着色这三个单元格,计有C 3⋅ A 3种方法. 由加法原理知:不同着色方法共有 2 4+ 3 3=48+24=72(种)443练习 1(天津卷(文) 将 3 种作物种植1 2 3 4 5在如图的 5 块试验田里,每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ,不同的种植方法共 种(以数字作答) (72)2.(江苏、辽宁、天津卷(理) 某城市中心广场建造一个花圃,花圃 6 分为个部分(如图 3),现要栽种 4 种颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话,不同的栽种方法有 种(以数字作答).(120)图 3 图 43. 如图 4,用不同的 5 种颜色分别为 ABCDE 五部分着色,相邻部分不能用同一颜色,但同一种颜色可以反复使用也可以不用,则符合这种要求的不同着色种数.(540)4. 如图 5:四个区域坐定 4 个单位的人,有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必须穿同种颜色的服装,且相邻两区域的颜色不同,不相邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么不同的 着色方法是种(84)A 图 5图 63,5 2,42,445.将一四棱锥(图 6)的每个顶点染一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,若只有五种颜色可供使用,则不同的染色方法共种(420)八.递推法例八一楼梯共 10 级,如果规定每次只能跨上一级或两级,要走上这 10 级楼梯,共有多少种不同的走法?分析:设上 n 级楼梯的走法为 a n种,易知 a1=1,a2=2,当n≥2时,上 n 级楼梯的走法可分两类:第一类:是最后一步跨一级,有 a n-1种走法,第二类是最后一步跨两级,有 a n-2种走法,由加法原理知:a n=a n-1+ a n-2,据此,a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10 级楼梯共有 89 种不同的方法。

九.几何问题1.四面体的一个顶点位 A,从其它顶点与各棱中点取 3 个点,使它们和点 A 在同一平面上,不同的取法有种(3 C 3 +3=33)52.四面体的棱中点和顶点共 10 个点(1)从中任取 3 个点确定一个平面,共能确定多少个平面?( C 3 -4 C 3 +4-3 C 3 +3-6C 3 +6+2×6=29)10 6 4 4(2)以这 10 个点为顶点,共能确定多少格凸棱锥?三棱锥C104-4C64-6C44-3C44=141 四棱锥6×4×4=96 3×6=18 共有 114十.先选后排法例 9 有甲乙丙三项任务,甲需2 人承担,乙丙各需1 人承担,从10 人中选派 4 人承担这三项任务,不同的选派方法有()A.1260 种B.2025 种C.2520 种D.5054 种分析:先从 10 人中选出 2 人十一.用转换法解排列组合问题例 10.某人连续射击 8 次有四次命中,其中有三次连续命中,按“中”与“不中”报告结果,不同的结果有多少种.解把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球,其中只有三个黑球相邻的排列问题.A2 5=20 种例 11.个人参加秋游带 10 瓶饮料,每人至少带 1 瓶,一共有多少钟不同的带法.解把问题转化为 5 个相同的白球不相邻地插入已经排好的 10 个相同的黑球之间的 9 个空隙种的排列问题.C95 =126 种例 12 从 1,2,3,…,1000 个自然数中任取 10 个不连续的自然数,有多少种不同的去法.解把稳体转化为 10 个相同的黑球与 990 个相同白球,其其中黑球不相邻的排列问题。

C10991例 13 某城市街道呈棋盘形,南北向大街 5 条,东西向大街 4 条,一人欲从西南角走到东北角,路程最短的走法有多少种.解无论怎样走必须经过三横四纵,因此,把问题转化为 3 个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题.C 3 =35(种)7121015AA A例 14 一个楼梯共 18 个台阶 12 步登完,可一步登一个台阶也可一步登两个台阶,一共有多少种不同的走法. 解根据题意要想 12 步登完只能 6 个一步登一个台阶,6 个一步登两个台阶,因此,把问题转化为 6个相同的黑球与 6 个相同的白球的排列问题. C 6 =924(种). 例 15 求(a+b+c )10 的展开式的项数.解展开使的项为 a αb βc γ,且 α+β+γ=10,因此,把问题转化为 2 个相同的黑球与 10 个相同的白球的排列问题. C 2 =66(种)12例 16 亚、欧乒乓球对抗赛,各队均有 5 名队员,按事先排好的顺序参加擂台赛,双方先由 1 号队员比赛,负者淘汰,胜者再与负方 2 号队员比赛,直到一方全被淘汰为止,另一方获胜,形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程有多少种? 解 设亚洲队队员为 a 1,a 2,…,a 5,欧洲队队员为 b 1,b 2,…,b 5,下标表示事先排列的出场顺序,若以依次被淘汰的队员为顺序.比赛过程转化为这 10 个字母互相穿插的一个排列,最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员,所以比赛过程可表示为 5 个相同的白球和 5 个相同黑球排列问题,比赛过 程的总数为C 6 =252(种)十二.转化命题法例 17 圆周上共有 15 个不同的点,过其中任意两点连一弦,这些弦在圆内的交点最多有多少各?分析:因两弦在圆内若有一交点,则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形,则问题化为圆周上的 15 个不同的点能构成多少个圆内接四边形,因此这些现在圆内的交点最多有C 4 =1365(个)十三.概率法例 18 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课,如果数学必须排在体育之前, 那么该天的课程表有多少种排法? 分析:在六节课的排列总数中,体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等,均为 1,故本 2例所求的排法种数就是所有排法的 1 ,即 1A=360 种2 2十四.除序法 例 19 用 1,2,3,4,5,6,7 这七个数字组成没有重复数字的七位数中,(1) 若偶数 2,4,6 次序一定,有多少个?(2) 若偶数 2,4,6 次序一定,奇数 1,3,5,7 的次序也一定的有多少个?7 7 解 (1) A7(2) A 73 34 3 3 4十五.错位排列例 20 同室四人各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的卡片,则不同的分配方法有 种(9)公 式 1) a n = (n - 1)(a n -1 + a n -2 )n=4 时a 4=3(a 3+a 2)=9 种即三个人有两种错排,两个人有( ) 一种错排.2) a1 1 1n 1n =n!(1-+ - +…+ - 11! 2! 3!n !练习 有五位客人参加宴会,他们把帽子放在衣帽寄放室内,宴会结束后每人戴了一顶帽子回家,回家后,他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子,问 5 位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种?(44)“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

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