内蒙古北京八中乌兰察布分校高二数学下学期期末考试试题理含解析

内蒙古北京八中乌兰察布分校2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 理（含
解析）
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2。

将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：（本大题共12小题。

每小题5分,满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有1项是符合题意的.） 1. 若复数z 满足()2z i i i +=-,则z =( ） A.
B 。

2 C.
D. 10
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意13z i =--,再由复数模的概念即可得解。

【详解】由题意()2
2213i i i
z i i i i i --=-=-=--，
所以
z =
=
故选：C 。

【点睛】本题考查了复数的运算与模的求解，属于基础题。

2. 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415,刮风的概率为2
15，
既刮风又下雨的概率为1
10，则在刮风天里，下雨的概率为（ ）
. A.
8
225
B.
1
2
C 。

38
D.
34
【答案】D
【解析】 【分析】
利用条件概型概率计算公式，计算出所求概率。

【详解】A =“下雨",B =“刮风”，AB =“刮风又下雨"，
所以()()()1
3
102415
P AB P A B P B ===.
故选：D
【点睛】本小题主要考查条件概型概率计算，属于基础题. 3. 有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X 表示取得次品的次数，则(2)P X ≤=（ ） A 38
B.
1314
C. 4
5
D.
78
【答案】D 【解析】 【分析】
首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出．
【详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为
41
82
=．从中取3次，X 为取得次品的次数，则
13,2X
B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,
()3
102
3
23331(2)(2)(1)0111722228
P X P X P X P X C C C ⎛⎫⎛⎫≤==+=+==⎛⎫+= ⎪
⎝⎭⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,选择D 答案． 【点睛】本题考查离散型随机变量的概率,解题时要注意二项分布公式的灵活运用。

属于基础题．
4. 从5名学生中选出4名分别参加数学,物理，化学,生物四科
竞赛,其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为
A。

48 B. 72 C. 90 D. 96
【答案】D
【解析】
因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛
①当甲参加另外3场比赛时，共有13C•34A=72种选择方案;②当甲学生不参加任何比赛时，共有44A=24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种
故答案为96
点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．
5. 已知随机变量X~N（2，σ2），P（X≥0）＝0.84，则P（X＞4)＝（）
A. 0。

16 B。

0。

32 C. 0.66 D. 0.68
【答案】A
【解析】
分析】
根据正态分布密度曲线的特点，结合μ＝2，可知P（X≥0）＝0.84＝P(X≤4),则P（X＞4）即可求出．
【详解】由已知得μ＝2,故P（X≥0）＝P(X≤4）＝0.84，
所以P（X＞4)＝1﹣P（X≤4）＝1﹣0.84＝0。

16．
故选：A．
【点睛】本题考查正态分布密度曲线的对称性性质及其应用，以及相关概率问题的计算,属于基础题．
6。

已知变量x ,y 之间的线性回归方程为0.710.3y x =-+,且变量x ,y 之间的一组相关数据如表所示,则下列说法错误的是（ )
A. 变量x ，y 之间呈现负相关关系
B. 可以预测,当x =20时，y =﹣3。

7
C. m =4
D. 该回归直线必过点(9，4) 【答案】C 【解析】 【分析】
根据回归直线方程的性质，以及应用，对选项进行逐一分析，即可进行选择。

【详解】对于A ：根据b 的正负即可判断正负相关关系。

线性回归方程为0.710.3y x =-+,b =﹣0。

7<0,故负相关。

对于B :当x =20时，代入可得y =﹣3。

7 对于
C ：根据表中数据:()1
6810124
x =
+++=9. 可得0.7910.3y =-⨯+=4。

即()1
63244m +++=，
解得：m =5.
对于D ：由线性回归方程一定过（x y ，),即（9,4). 故选：C.
【点睛】本题考查线性回归直线方程的性质，以及回归直线方程的应用,属综合基础题. 7. 观察下列等式：3
3
212
3+=,3332
1236++=，3
3
33212
3410+++=,根据上述规
律，得到3
3
333312
3456+++++=
（ ）
A 。

2
19 B.
220 C 。

221
D.
222
【答案】C 【解析】
试题分析:猜想3332
12(12)n n +++=+++，因此
333333123456+++++=22
(123456)21
+++++=．
故选C ．
考点:归纳推理．
8。

在一次数学单元测验中，甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分.这四名考生的对话如下,甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分。

其中只有一名考生说的是真话，则考得满分的考生是( ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】A 【解析】 【分析】
分析四人说的话，由丙、丁两人一定是一真一假,分丙为真与丁为真进行推理判断可得答案。

【详解】解：分析四人说的话，由丙、丁两人一定是一真一假，若丙是真话，则甲也是真话，矛盾；若丁是真话，此时甲、乙、丙都是假话,甲考了满分， 故选：A 。

【点睛】本题主要考查合理推理与演绎推理，由丙、丁两人一定是一真一假进行讨论是解题的关键. 9。

11
)x dx -=⎰（ ）
A 。

1π+ B 。

1π-
C 。

π D.
2
π 【答案】D 【解析】 【分析】
先根据定积分的几何意义，求出1-⎰，再根据微积分基本定
理，即可得出结果.
【详解】因为1-⎰
表示曲线y =1x =-，1x =所围成图
形的面积，
又y =2
21,0
x
y y +=≥，表示以原点为圆心的单位圆的一半,
所以121122
π
π-=⨯=⎰
，
因此1
1
211
1
1
1
)++2
22
2
x dx xdx x π
π
π
---=
=
=
⎰⎰。

故选：D
【点睛】本题主要考查求定积分，熟记定积分的几何意义,以及微积分基本定理即可，属于常规题型。

10。

已知函数
()2
1ln 2
f x x a x x =
-+在[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取
值范围是（ ） A.
a ≤ B 。

01a ≤≤ C. 2a ≤ D 。

2a <
【答案】C 【解析】 【分析】
由题可知在[)1,+∞上()'0f x ≥恒成立。

再参变分离求解函数最值即可. 【详解】由题， ()'10a
f x x x
=-+≥在[)1,+∞上恒成立.即2a x x ≤+在[)1,+∞上恒成立.
又[)2,1,y x x x =+∈+∞,其导函数'210y x =+>恒成立。

故
[)2
,1,y x x x =+∈+∞的最小值为2
112
y =+=。

故2a ≤.
故选:C
【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性求解参数范围的问题，需要根据题意求导,参变分离求函数的最值.属于基础题。

11。

设函数()f x 的定义域为R ，()
'
f x 是其导函数，若
3()()0(0)1f x f x f '+>=，，则不等式3()x f x e >－的解集是（
）
A.
(0,)
+∞ B.
(1,)
+∞ C.
(,0)
-∞ D 。

(0,1)
【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数3()()
x
g x e
f x =，求出()'
g x ，利用条件知()0g x '>，所以()g x 单调递增,将3()x
f x e >－转化为()(0)
g x g >，利用函数单调性即可得到答案. 【详解】令3()()
x
g x e
f x =，则33()3()()
x
x g x e
f x e f x =+''，
因为3()()0f x f x '+>，所以333()()0
x
x e f x e f x '+>，所以()0g x '>，
所以函数3()()
x
g x e f x =在R 上单调递增，
而
3()x
f x e >－可化为
3()1
x e f x >，又
30(0)e (0)1g f ⨯==
即()(0)g x g >，解得0x >，
所以不等式3()x
f x e >－的解集是(0,)+∞．
故选:A
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，并利用函数的单调性解不等式，注意构造函数的应用，考查学生的分析转化能力，属于中档题. 12。

已知()y f x =是奇函数，当()0,2x ∈时，()1ln 2f x x ax a ⎛⎫
=-> ⎪⎝
⎭,当()
2,0x ∈-时，()f x 的最小值为1，则a 的值为（ ） A 。

23
B. 4
5
C. 1
D.
12
【答案】C 【解析】 【分析】
由奇函数的性质知，()f x 在()0,2上有最大值1-，通过求导,只需找到()f x 在()0,2上的最大值即可.
【详解】由已知及奇函数的性质可得，()f x 在()0,2上有最大值1-，又
()'1
f x a x
=
-， 当0a ≤时，()f x 在区间()0,2上单调递增，不满足题意；
当0a >时，且1(0,)x a ∈时，
()'0f x >，当1(,2)x a ∈时,()'
0f x <，故()f x 在1(0,)a 上单调递增，
在1
(,2)a 上单调递减,所以max 1()()ln 11f x f a a
==--=-，解得
1a =.
故选：C
【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，涉及到函数奇偶性的性质，考查学生的转化与化归的思想，是一道中档题. 二.填空题(本大题共4小题。

每小题5分,满分20分.） 13. 若()
()*
31n
x n -∈N 展开式中各项系数的和为128，则展开式中2
x 项
的系数为_________． 【答案】189- 【解析】 【分析】
根据展开式中各项系数的和求出7n =,再利用展开式的通项公式可求得结果.
【详解】依题意可得()
311128n
⨯-=，即2128n =，解得7n =，
所以()7
31x -展开式的通项公式为()
()71
731r
r
r
r T
C x -+=⋅-()77713r
r r
r C x --=-⋅⋅，0,1,2,3,4,5,6,7
r =。

令72r -=，得=5r ，
所以()7
31x -展开式中2
x 项的系数为2
5
73
189
C -⨯=-。

故答案为：189-。

【点睛】本题考查了二项展开式的各项系数的和,考查了二项展开式的通项公式的应用，属于基础题. 14.
已知点(),P x y 在椭圆22
134x y +=上，则2x y +的最大值为________。

【答案】4
【解析】 【分析】
设x θ
=
，2sin y θ=（θ为参数)，结合三角函数值的有界性可求
得2x y +的最大值。

【详解】设x θ=
,
2sin y θ=(θ
为参数），
则[]22sin 4sin 4,43x y πθθθ⎛
⎫+=+=+∈- ⎪⎝
⎭. 所以2x y +的最大值为4。

故答案为：4.
【点睛】本题考查了椭圆参数方程的简单应用,属于基础题。

15。

在平面直角坐标系xOy
中，曲线:C xy =
P
到直线
:0
l x =的距离的最小值为________．
【解析】 【分析】
解法一：曲线C
上任取一点00P x ⎛ ⎝
⎭，利用基本不等式可求出该点到直线l 的距离的最小值； 解法二：曲线C
函数解析式为y =
,
由
y '=求出切点坐标,再计
算出切点到直线l 的距离即可所求答案.
【详解】解法一(基本不等式）：在曲线C
上任取一点00P x ⎛ ⎝
⎭，
该点到直线l
的距离为00
003
1312
22
x x d x x +⎛⎫=
=+≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭,
当且仅当
00
3x x =
时，即当0
x
=
因此，曲线C 上任意一点P 到直线l
距离的最小值为； 解法二（导数法)：曲线C
的函数解析式为y x
=
，则y '=，
设过曲线C
上任意一点00,P x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
的切线与直线l
平行，则2
03x -=-,
解得0
x =
当0
=x
时，)P
到直线l
的距离2d ==；
当0x =
时，(
)1P -到直线l
的距离2d ==。

所以曲线:C xy =
上任意一点到直线:0
l x +=
的距离的最小值为
故答案为
【点睛】本题考查曲线上一点到直线距离最小值的计算，可转化为利用切线与直线平行来找出切点，转化为切点到直线的距离，也可以设曲线上的动点坐标，利用基本不等式法或函数的最值进行求解,考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 16。

利用数学归纳法证明不等式“()*
11112,23
212
n n n n N +++⋯+>≥∈-”的过程中，由“n k =”变到“1n k =+”时，左边增加了_____项． 【答案】2k
.
【解析】 【分析】
分析题意,根据数学归纳法的证明方法得到1n k =+时,不等式左边
的表示式是解答该题的突破口，当
1
n k =+时，左边
11111112321221
k k k +=+++⋯+++⋯+--，由此将其对n k =时的式子进行对比，得到结果。

【详解】当n k =时，左边111
123
21
k =++++-…，
当1n k =+时，左边11111112321221
k k k +=+++⋯+++⋯+--，
观察可知,增加的项数是1
121(21)222k k k k k
++---=-=，
故答案是2k
.
【点睛】该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式,正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的,得到结果。

三、解答题（本大题共6个小题,满分70分，第1题10分，其余每题均12分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17。

在平面直角坐标系中，曲线C
的参数方程为35cos 45sin x y θ
θ=+⎧⎨=-+⎩
（θ为参数)，以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求曲线C 的极坐标方程; （2)过点(2,0)P ，倾斜角为
4
π
的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，
求11
||||PM PN +的值.
【答案】(1）6cos 8sin ρθθ=-，（2）528
【解析】
【分析】 （1）利用2
2sin
cos 1θθ+=，消去参数，将曲线C 的参数方程化为普
通方程,再运用
cos x ρθ=，sin y ρθ=,222x y ρ=+将曲线
C 的直角坐标方
程化为极坐标方程；
（2）根据条件求出直线l 具有几何意义的参数方程，代入曲线C 普通方程,利用韦达定理以及直线参数的几何意义，即可求解. 【详解】(1）因为曲线C 的参数方程为
35cos 45sin x y θ
θ=+⎧⎨=-+⎩
，（θ参数），
所以曲线C 的直角坐标方程为2
22(3)(4)5x y +=-+，
即2
2680x
x y y -++=，
将cos x ρθ=，sin y ρθ=，2
22
x y ρ
=+，
代入上式得6cos 8sin ρθθ=-. （2）直线l
的参数方程为22x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，（t 为参数），
将22x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入
22
680x x y y -++=,
整理得2
80t +-=，
设点M ，N 所对应的参数分别为1
t ，2
t ,
则1
2
t t
+=-128t t =-，1832500∆=+=>,
因为1
t ，2
t 异号，
所以
1212
121111
||||8
t t PM PN t t
t t -+=+===。

【点睛】本题考查参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程，考查直线参数方程几何意义的应用，属于中档题. 18.
在n
的展开式中，前3项的系数成等差数列，
（1）求n 的值;
(2)求展开式中二项式系数最大的项; （3）求展开式中含2
x -的项的系数.
【答案】（1）8
n =(2)358x (3）1
256
【解析】 【分析】
（1)根据前3项的系数成等差数列，利用等差数列的定义求得n 的值；
（2)根据通项公式、二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；
(3）在二项展开式的通项公式中,令x 的幂指数等于2-，求出r 的值，即可求得含2
x -的项的系数．
【详解】解：(1）因为前3项的系数成等差数列，且前三项系
数为012
1124n n n C C C ，，，
所以10
214n n n C C C =+，即2980n n -+=，
所以1n =（舍去)或8n =。

（2）因为8n =,所以展开式中二项式系数最大的项为第五项，
即
4
4
4
5
835
8T
C x ==。

（3
）通项公式：
3844
1
881,082r r
r r
r
r r T C C x r r N --*+⎛⎫==≤≤∈ ⎪⎝⎭，
由3424
r
-
=-,8r ∴=, 可得含x 的项的系数为888
11
()2256
C =.
【点睛】本题考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质．
19。

自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下:
（Ⅰ)现随机抽取 1 名顾客,试估计该顾客年龄在[)30,50且未使用自由购的概率；
（Ⅱ）从被抽取的年龄在[]50,70使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X 表示这3人中年龄在[)50,60的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望；
（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购,该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物,试估计该
超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
【答案】17
100；（Ⅱ）详见解析;（Ⅲ)2200
【解析】 【分析】
（Ⅰ)随机抽取的100名顾客中，年龄在［30,50)且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值;
（Ⅱ）X 所有的可能取值为1，2，3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；
(Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．
【详解】（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50）且未使用自由购的共有3+14=17人，
所以,随机抽取1名顾客,估计该顾客年龄在[30,50）且未使用自由购的概率为
17
100
P =
．
（Ⅱ)X 所有的可能取值为1,2,3,
()12
42
36
C C 1
15C P X ==
=
， ()2142
36
C C 325
C P X ==
=
， ()3042
36
C C 1
35
C P X ==
=
.
所以X 的分布列为
所以X的数学期望为131
1232
555
EX=⨯+⨯+⨯=.
(Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，
使用自由购的共有3121764244
+++++=人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为
44
50002200
100
⨯=。

【点睛】本题考查统计表，随机变量X的分布列及数学期望，以及古典概型，是一道综合题．
20。

某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．
晋级成功晋级
失败
合计
男16
女50合计
（1）求图中a的值；
（2）根据已知条件完成下面22⨯列联表,并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？
（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈,记这4人中晋级失败的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ．
(参考公式：2
2
()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）
【答案】(1） 0.005a =；(2）列联表见解析，有超过85%的把握认
为“晋级成功"与性别有关;(3）分布列见解析，()E X =3
【解析】 【分析】
（1）由频率和为1，列出方程求a 的值;
（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数,
填写22⨯列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率,将频率视为概率， 知随机变量X 服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望。

【详解】解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1, 可知(20.0200.0300.040)101a +++⨯=, 解得0.005a =；
（2)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.200.050.25+=， 所以晋级成功的人数为1000.2525⨯=（人）， 填表如下：
假设“晋级成功”与性别无关，
根据上表数据代入公式可得2
2
100(1641349) 2.613 2.0722*******K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关； (3)由频率分布直方图知晋级失败的频率为10.250.75-=, 将频率视为概率，
则从本次考试的所有人员中,随机抽取1人进行约谈,这人晋级失败的概率为0。

75，
所以X 可视为服从二项分布，即
34,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭
,
44
31()44k
k
k P X k C -⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
(0,1,2,3,4)
k =，
故04
4
311(0)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
， 13
143112(1)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， 2
2
24
3154(2)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 31
3431108(3)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， 4
44
3181(4)44256
P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列为：
数学期望为3()434E X =⨯
=。

或（1125410881()012343256256256256256
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=）． 【点睛】本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题．若离散型随机变量
(),X
B n p ,则()()(),1E X np D x np p ==-.
21。

已知函数
()2
21ln (0)2
f x x a x a =
-> ()1若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值． ()2求函数()f x 的单调区间．
()3若()f x 在[]1,e 上没有零点，求实数a 的取值范围．
【答案】（1)1a =（2)单调增区间为(,)a +∞，单调减区间为(0,)a （3）
0a <<【解析】
试题分析：（1）求导()2
a f x x x
-
'=，令()10f '=得1a =，再讨论单调性下
结论即可; （2）由
()222
(0)a x a f x x x x x
-=->'=，令()0f x '>可得增区间,令()0f x '<可得减区间；
（3)要使()f x 在[]1,e 上没有零点，只需在[]1,e 上()min
0f x >或()max 0f x <，
又
()1
102
f =
>，只需在区间[]1,e 上,()min 0f x >，分a e ≥，1a e <<和01a <≤三种情况讨论即可. 试题解析： （1）()22
1ln (0)2f x x a x a =->的定义域为()0,+∞，且()2a f x x x
-'=.
∵()f x 在1x =处取得极值,
∴
()10f '=，解得1a =或1a =-（舍),
当1a =时，()0,1x ∈,()0f x '<；
()1,x ∈+∞，()0f x '>，
∴函数()f x 在1x =处取得极小值， 故1a =。

（2）
()222
(0)a x a f x x x x x
-=->'=.
令()0f x '>，解得x a >； 令()0f x '<,解得0x a <<，
∴函数()f x 的单调增区间为(),a +∞，单调减区间为()0,a （3）要使()f x 在[]1,e 上没有零点，只需在[]1,e 上()min
0f x >或()max 0f x <，
又
()1
102
f =
>，只需在区间[]1,e 上,()min 0f x >。

①当a e ≥时,()f x 在区间[]1,e 上单调递减,则()()2
2min
102
f x f e e a ==->，
解得
0a <<
与a e ≥矛盾。

②当1a e <<时，()f x 区间[)1,a 上单调递减，在区间(],a e 上单调递增，
()()()2
min 112ln 02
f x f a a a ==
->, 解得
0a <<
∴
1a <<③当01a <≤时，()f x 在区间[]1,e 上单调递增,
()()min 10f x f =>，满足题意,
综上所述，实数a 的取值范围是：
0a <<
点睛：函数的零点问题求参数常用的方法和思路：
（1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中,画出函数的图像，然后数形结合求解. 22. 已知函数()()2
2f x ax a x lnx =-++，
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；
(Ⅱ）当0a >时，若()f x 在区间[]1,e 上的最小值为—2，其中e 是自然对数的底数,求实数a 的取值范围； 【答案】（1）2y =-。

(2）1a ≥. 【解析】
【详解】分析：（1)求出()'f x ，由 ()1f 的值可得切点坐标，由()'1f 的
值，可得切线斜率,利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程;（2）分三种情况讨论a 的范围，在定义域内,分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间,()'0f x <求得x 的范围,可得函数
()f x 的减区间，根据单调性求得函数最小值，令所求最小值等于
2
-,排除不合题意的a 的取值，即可求得到符合题意实数a 的取值
范围.
详解：（Ⅰ）当
1
a =时,
()()21
3,'23f x x x lnx f x x x
=-+=-+
, ()1
23f x x x =-+
因为
()()'10,12f f ==-，
所以切线方程是2y =-；
（Ⅱ）函数()()22f x ax a x lnx =-++的定义域是()0,∞+ 当0a >时，()()()2
2211'22ax a x f x ax a x x
-+-=-++=
()()211(0)x ax x x --=> 令
()'0f x =得12
x =
或1
x a = 当1
1a ≤时，所以()f x 在[]1,e 上的最小值是1
2f ，
满足条件,于是1a ≥ ②当11e a <
≤，即11a e ≤<时，()f x 在[]1,e 上的最小1()f a
, 即1a ≥时，()f x 在[]1,e 上单调递增 最小值
()112f f a ⎛⎫
<=- ⎪⎝⎭
，不合题意；
③当1
e a >，即10a e
<<时，()f x 在[]1,e 上单调递减， 所以()f x 在[]1,e 上的最小值是()()12f e f <=-，不合题意. 综上所述有,1a ≥。

点睛：求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0
x x =处
的导数，即()y f x =在点P ()()0
,x f x 处的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处
的切线与y 轴平行时，在0
x x =处导数不存在,切线方程为0
x x =）；（2）
由点斜式求得切线方程()()0
0•y y
f x x x '-=-。