全等三角形全套练习题

全等三角形全套练习题
全等三角形
一、全等三角形
1、定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

特征：形状相同、大小相等、完全重合。

一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。

平移、翻折、旋转前后的图形全等。

2、全等三角形的表示：
“全等”用“今”表示，“s”表示两图形的形状相同, “=”表示大小相等，读作“全等于”。

注意：记两三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。

全等三角形的对应元素：对应顶点，对应边，对应角
3、全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应边相等、对应角相等。

(2)全等三角形的周长相等、面积相等。

(3)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高
线分别相等。

4、全等三角形的判定
(1)边边边：三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”)
(2)边角边：两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写成“SAS”)
(3)角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形
全等(可简写成“ASA”)
(4) 角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三 角形全等(可简写成“AAS”)
(5) 斜边、直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个 直角三角形全等(可简写成“HL”)
5、证明两个三角形全等的基本思路：
找第三边(SSS) 找夹角(匹) 找是否有直角(HL)
找这边的另一个邻角亦)
找这个角的另一个边迈 找这边的对角(AAS)
找一角吐) 已知角是直角，找一边(HL)
⑶:已知两角4找两角的夹边驱)
-找夹边外的任意边吐)
二、 角的平分线
1、 (性质)角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

2、 (判定)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平 分线上。

三、 学习全等三角形应注意的问题
(1) 要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对 角”的不同含义；
(2) 表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写 在对应的位置上；
(3) “有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角 对应相等”的两个三角形不一定全等；
(4) 时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共
(1):已知两边一 已知一边和它的邻角 (2)：已知一边一角・
已知一边和它的对角.
边”、“对顶角”。

5
(一) 三角形全等的判定一 (SSS)
1・如图，AB=AD, CB = CD ・
AADC 全等吗？为什么？ 2・如图，C 是AB 的中点，AD=CE, CD=BE.
3 •如图，点B, E, C, F 在一条直线上，AB=DE, AC=DF,
BE=CF ・求证ZA 二ZD ・
求证△ ACD^ACBE.
与
D
4・已知，如图，AB=AD, DC=CB・求证：ZB=ZD. 5・如图，AD = BC, AB = DC,
DE L BE求证：BE =
DF.
A
(二)三角形全等的判定二(SAS)
1.如图，AC 和BD 相交于点O, OA=OC, OB=OD ・求 证DC 〃AB ・
2.如图，A'^C , AD f A!D' 分别是△ABC, △ 的对
应边上的中线，AD 与仞有什么另
结论. 3. 如图，已知 AC 丄AB, DB 丄AB, AC=BE, AE=BD, 试
猜想线段CE 与DE 的大小与位置喉，聲明你 的结论.
A!B'C 你的
4. 已知：如图，AD 〃BC, AD=CB,求证：AADC^A CBA ・
6.已知，如图，AB=AC, AD=AE, Z1菸乡斗求证：△ ABD 竺△ A CE ・
5.已知：如图AD/7BC,
AFD^ACEB ・
AD=CB, AE=CF O 求证：△
7.已知：如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB 〃 DE,且 AB 二DE, BE=CF.求证：AC 〃DF ・
9.如图，在厶ABC 中，分别延长中线BE 、CD 至F 、
H, 使 EF=BE, DH=CD,连结 AF 、AH ・
AF=AH ； 点A 、F 、H 三点在同一直线
上; HF 〃BC ・
8.已知：如图，AD 是BC 上的中 DF=DE ・求证:BE 〃CF. 求证：(1) (2) (3) 线，且
H
c
10・如图，在厶ABC中，AC丄BC, AC=BC,直线EF 交AC于F,交AB于E,交BC的延长线刘弋连结AD、BF, CF=CD.求证：BF=AD,
B C I)
11・证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线
对应相等，那么这两个三角形全等.(提示：首先分清已知和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证)
12.证明：如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等.
13•已知：如图，正方形ABCD, BE=CF, A 求证：
(1)AE=BF； (2) AE丄BF・
B
R
15•如图，AABD 和厶ACE 是厶ABC 外两个等腰直角三 角形，ZBAD=ZCAE=90°.
(1) 判断CD 与BE 有怎样的数量关芽° (2) 探索DC 与BE 的夹角的大小； (3) 取BC 的中点M,连MA,探讨〕
关系•
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（三）（四）三角形全等的判定三、四（ASA、AAS）
1.如图，点B, F, C, E在一条直线上，FB=CE, AB
〃ED, AC〃FD・求证AB二DE, AC=DF・
2.如图，ZACB=90°, AC=BC, BE丄CE, AD丄CE 于D, AD=2.5cm, DE=1.7cm.
求BE的长.
3・已知，。

是厶ABC的边AB±的一点，DE交AC于
点E, DE=FE, FC〃AB.
求证：AE=CE・
4.已知：如图，四边形ABCD中，AB〃CD, AD/7BC・求证：AABD^ACDB.
A D
B C
5.如图，在AABC 中，AC丄BC, CE±AB 于E, AF
A
平分ZCAB交CE于点F,过F作AB于点 D.求证：AC=AD.
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6.如图，AD〃BC, AB〃DC, MN = PQ.求证：DE = BE.
7.如图，在ABC 中，ZA=90°, BD 平分B, DE±BC 于E,且BE=EC・
(1)求ZABC与ZC的度数;
(2)求证：BC=2AB.
8.如图，四边形ABCD中，AD//BC, E是CD ±一点,
且AE、BE分别平分ZBAD、ZABC.
(1)求证：AE丄BE；
(2)求证：E是CD的中点；
(3)求证：AD+BC=AB.
9.已知，如图RtAABC, ZBAC=90°, AD丄BC, D 为垂足，ZABD的平分线交AD于E点，EF证: AE=EF.
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10・AABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°, AB=AC. (1)若D为BC的中点，过D作DM丄DN分别交AB、AC于M、N,求证：DM=DN・
(2)若DM丄DN分别和BA、AC延长线交于M、N.问DM和DN有何数量关系?
11・已知：C 点的坐标为(4, 4), A 为y 轴负半轴上一 动点，连CA, CB 丄CA 交x 轴于B ・
(1)求证：CA = CB ；
(2)问OB —OA 是否为定值，是定值并2
12. 已知 A (-4, 0), B (0, 4), C (0, -4),过 O 作 OM 丄ON
分别交AB 、AC 于M 、N 两点。

(1) 求证：OM=ON ；
(2) 连MN, MN 交x 轴于Q,若M 点的纵坐标为3, 求M 与N 的坐标。

定值.
(五)三角形全等的判定五(HL)
1.如图，ZkABC 中，AB=AC, AD 是高•求证：
(1)BD=CD；
(2)ZBAD=ZCAD.
A
2・如图，AC丄CB, DB丄CB, AB
DC.求证:ZABD=ZACD・
3・已知：如图，AB = CD, DE丄AC, 丄AC； E, F 是垂足，DE=BF・
求证：(1) AF = CE； (2) AB//CD ・/L
4・如图，AD平分ZBAC, DE丄AB于E, DF丄AC于F, 且DB=DC,求证：EB=FC
5.如图，在Z\ABC中，D是BC的中点，DE丄AB, DF
丄AC,垂足分别是E, F, BE=CF・求证：AD是
AABC的角平分线. A
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（六）角的平分线的性质
1.如图，CD丄AB, BE丄AC,垂足分别为D, E, BE,
CD相交于点O, OB=OC・
求证Z1=Z2.
2.如图，OC是ZAOB的平分线，"包cc汁肚一点，PD
丄OA交OA于D, PE丄OB 丿匕厂c査OC
上的另一点，连接DF, EF.求
3・如图，在AABC中，D是BC的中点，DE丄AB/ DF 丄AC,垂足分别是E, F, BE=CF. /K
求证：人。

是厶ABC的角平分线.
4.如图，在ABC 中，ZA=90°, BD平分B, DE丄BC 于E,且BE=EC・
(1)求ZABC与ZC的度数;
(2)求证：BC=2AB・
（七）倍长中线法与截长补短法
1.在厶ABC中，AB=5, AC=3, AD为BC边的中线,
则AD的长（的取值范围是（
D・0vv5
2. AD M A ABC中BC边上的中线，AB=4, AC=6,则AD的取值范围是
3・如图，AABD和厶ACE是厶ABC外两
个等腰直角三角形，ZBAD=ZCAE=90°.
（1）判断CD与BE有怎样的数量关系;
（2）探索DC与BE的夹角的大小;
（3）取BC的中点M,连MA,探讨MA与DE的位
置关系・
4.如图，四边形ABCD中，AD〃BC, E是CD ±一点, 且AE、BE分别平分ZBAD、ZABC・
(1)求证：AE±BE；
(2)求证：E是CD的中点;
(3)求证：AD+BC=AB.
5.如图△ ABC 中，ZA=50°, AB>AC, D、E 分别在AB、AC 上，且BD=CE,ZBCD= ZCBE,
BE、CD相交于O点，求ZBOC的度数.
令叔鍵；騙羸磁胡码滋離帶边匕
7.已知：如图，在厶ABC 中，ZA=90°, AB=AC, Zl= Z2,求证：BC=AB+AD・
(分别用截长法和补短法各证一次)
8.已知，如图，在正方形ABCD 中AB二AD, ZB = ZD=90°.
(1)如果BE+DF=EF,求证:
①ZEAF=45°；②FA平分Z
DFE •
(2)如果ZEAF=45°,求证:
①BE+DF=EF・②FA平分Z
DFE・
(3)如果点F在DC的延长线上，点E在CB的延长线
上，且DF-BE=EF,求证：①ZEAF=45°；②FA 平分ZDFE.(画图并证明)
（A）全等三角形检测
一、选择题:
1 •在AABC、ADEF 中如果ZC=ZD, ZB=ZE,要使△ABC^AFED,还需要的条件是（）
C.AC=FD A・AB=ED B.AB=FD
D.ZA=ZF
2•如图：AB/7CD, AD〃BC, AC、BD
交于点6 AE丄BD于E, CF丄BD
于F点，那么图中全等三角形共有
（）
C.7对A.5对 B.6对
D.8对
3•如图，D在AB上，E在AC上且
ZB=ZC,那么补充下列一个条件后，
仍无法判定AABE ^AACD 的是（）
A.AD=AE
B. Z AEB= Z ADC
C.BE=CD
D.AB=AC
4•如图：某同学把一块三角形玻璃打碎成
了三块,现有要到玻璃店去配一块完全
一样的玻璃，那么最省事的办法是
A・带①去 B.带②去
C.带③去
D.带①和②去
5.下列说法中，正确的个数是（）
①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；②两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等；③两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；④有两边相等的直角三角形全等；⑤腰和一个角分别对应相等的两等腰三角形全等。

A.1个
B.2个C・3个D.4个6•在△ ABC中，
AB=5, AC=3, AD为BC边的中线，则
AD的长,的取值范围是
)•
（
A・lv ° <4
D.OvV
7•下列四个命题：①直角三角形只有一条高线；②有两边对应相等的两个直角三角形一定全等；③两内角之差等
于第三个内角的三角形必为直角三角形;④腰和底角对应相等的两个等腰三角形一定全等•其中正确的命题有
().
A.1个
B.2个
C.3个
D・4个8 •等腰三角形周长为。

,一腰的中线将周长分成5:3两部分，
则它的底边长为（）•
9•下列条件中，能判断两个等腰三角形全等的条件的个
数
是（）•
①顶角和一条腰对应相等; 对应相等；
③顶角和底边对应相等; 对应相等. ②一条腰觀底边
E ④两簪
A.1个
B.2个
D・4个
10•已知：如图，BD为厶ABC
C.3个
的角平分线，且BD=BC, E为
BD延长线上的一点，BE=BA,
过E作EF丄AB, F为垂足.下
列结论：①厶ABD竺△EBC；
® Z BCE+ Z BCD=180°；③
AD=AE=EC ；④ BA+BC=2BF.
其中正确的是（）.
A.①②③B・①③④ C •①
D.BC1DC
二.填空题：
13. AD 是厶ABC 中BC 边上的中线,AB=4, AC=6,
（）
②④ D •①②③④
11 •如图：已知AD 丄AB, AE 丄 AC, AD=AB, AE=AC 贝!J 下 列结论：®ZDAC=ZBAE ； ©ADAC^ABAE ；③DC 丄 BE ；④MA 平分ZDME ；⑤ ABMC^ACEA ；正确个数 是（）
D.5个
12 •如图P 是等腰RtAABC 斜边AC 上任意一点，PE 丄AB 于E, PF 丄BC 于F, PG 丄EF 于G,在 GP 的延长线上取一点D,使 PD 二PB ，则BC 与DC 关系是 （ ）
A.BC=DC
B.BC=DC,且 BC 丄DC
C.BC>DC
则AD的取值范围是
14•如图△ ABC 中，ZA=50°,
AB>AC, D、E 分别在AB、AC 上,且BD=CE, ZBCD=ZCBE, BE、CD相交于O点，则ZBOC 的度数为 ___________ .
15•已知：如图，点A在线段DE上，点F在
线段AB上，且Z1=Z2=Z3,要使得△
ABC^AEDC,需要添加的一个条件是
____________ （只需写出一个满足的条件）
16.已知△ ABC中，高AD与高BE交于H点,
BH=AC ,则Z ABC 的度数等
于 ____________ 17•如图，Z1= Z2=25° , Z3=Z4,
Z5=Z6,则Z
7= _______ ・
1&有一张等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发, 将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为 ____ 度.
19・如图，已知：AB=AC,
三・解答题:
AD=AE, ZBAC=ZDAE ・
求证：AABD^AACE.
20.如图，AB=AD, BC=DE, Z1 = Z2.
求证：(1) AC=AE； (2)
ZCAE=ZCDE ・
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21.已知在AABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是 AD±的一点，且BE=AC,延长BE 交AC 于F ・
22.如图，在四边形ABCD 中，AC 平分ZBAD,过C 作CE 丄AB 于E,并且AE=4 (AB+AD)・
(1)求证：BC=DC ； (2)求
ZABC+ZADC 的度数.
23.如图，AABE 和AACF 分别是以厶ABC 的AB 、AC 为一边在形外所作的等边三角形，BF 与CE 相交于O.
①求证：BF=EC.②求ZEOB 的度数.③求证：OA 平分ZEOF.
求证：AF=EF.
D
E B
A
42。