云南省云天化中学2018-2019学年高二下学期期中教学质量评估数学(文)答案

云天化中学 2020 届高二教学质量评估（一）
文科数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B
D
D
B
A
C
A
B
D
D
A
C
【解析】 1．∵A {x | 0 x 4}， B {1，0，1，2}，∴A B {1，2}，故选 B ．
2．∵ 2a
(2，6) ，∴ 2a b
2
3 6
(
2) 6 ，故选 D ．
3．设 p 为不到长城，推出 q 非好汉，即 p
q ，则 q p ，即好汉 到长城，故“到 长城”是“好汉”的必要不充分条件，故选 D ．
4．若异面直线 m ，n 垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在，故选 B ． 5． x ，y 满足平面区域如图 1，当直线 y
x z 经过 A (2，5) 时， z 最大，
所以 z 的最大值为 7，故选 A ．
图 1
6．∵77 33 2……11，33 11 3……0 ，∴m 77 ， n 33 的最大公约数是 11，则输出的 n 的值是 11，故选 C ． 7．由
π
2sin
3
4
π 3
，得
sin
4
2
， sin 2
cos π 2 1 2sin 2 π ∴
2
4
3 1 1 2
4
2
，故选 A ． 8．根据题意，函数 f (x ) 是偶函数，在 (0， ) 上是增函数．对于 A ， f (x ) x 1
为奇函数，不
符合题意；对于 B ， f (x ) log | x |为偶函数，在 (0， ) 上， 2
f (x ) lo
g x 为增函数，
符
2
合题意；对于 C ， f (x ) cos x 为偶函数，但在区间 (0， ) 上不是增函数，不符合题意；
对于D，f(x) 2x 1 为非奇非偶函数，不符合题意，故选B．
文科数学YTH 参考答案·第1 页（共6 页）
9．由已知三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的三棱
锥，其四个顶点是以俯视图为底面，以 1 为高的三棱锥的四
个顶点，如图 2 是长方体的一部分，故其外接球相当于一个
长为2，宽为1，高为1 的长方体的外接球，故外接球的半径
1 6
R 1 2 1 ，故球的
体积V
2 2 2
2 2
3
4 6
π
6π
3 2
，
图2
故选D．
10．根据题意，圆C：x 2 y 2 2x 4y 4 0 可化为(x 1)2 (y 2)2 9 ，其圆心为(1，2) ，半径r 3 ；动直线y kx 1k，即y 1k(x 1) ，恒过点(1，1) ．设P (1，1) ，又由(11)2 (12)2 9 ，则点P (1，1) 在圆C的内部，动直线y kx 1k(k R) 与圆C：x 2 y 2 2x 4y 4 0（圆心为C）交于点A，B，当P为AB的中点，即CP与AB
垂直时，弦AB最短，此时| CP | 5 ，弦AB的长度为2r 2 | CP|2 4 ，此时△ABC的
面积
1 1
S | CP || AB | 5 4 2 5 ，
故选D．
2 2
11．由题意，圆心A(a，0) ，所以| PA |a，| AF |c a．PF PA| PF |(c a ) a
∵，∴ 2 2
2 2 2
c ac，| PF | 2 | PF| | PF | | PF |2a，得| PF |2a，∴c 2 2ac 2a，
2 2 ∵，又
1 2 1 2 2
即c 2 2ac 4a2 ，即e 2 2e 15，解得e 1 5 （e 1 5 舍去），故选A．
12．由题意，令g(x)
f(x) xf (x ) f(x )
，∵x 0 时，g(x ) 0 ，∴g(x) 在(0，) 上
递增，
x x
2
∵f (x ) f(x) ，∴g (x ) g(x) ，则g(x) 是奇函数，且g(x) 在
(，0) 上递增，又f(2)
g (2)
0 ，∴当0 x 2时，g(x ) 0 ，当x 2 时，g(x ) 0 ，根据函数的奇偶性
2
可得，当 2 x 0 时，g(x ) 0 ，当x
2 时，g(x ) 0 ，∴不等式x f(x ) 0 的解集为
{x | 2 x 0 或x 2} ，故选C．
第Ⅱ卷（非选择题，共90 分）
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
题号13 14 15 16
答案34
π 2
2
2x y0
4
文科数学YTH 参考答案·第2 页（共6 页）
【解析】 13． a
a
a
a
2a 8d 26
∵
，∴数列{ } 2
8 26
1
3 a 为等差数列，其公差 d
3， ∵
，∴
，
n n
n
1
∴ 1 1， 12
1 11 3 34 a
a
∴ ．
S
1 1
π
2 π 1
1 1
1 14．设正方形的边长为 1，则由弓形的面积的求法，得
阴
2
，又 4
2
2
S 正方形
，设该点落在叶子上阴影区域为事件 A ，所以
1 1 1
P (A )
π
1 π 2
S
2
阴 S
1
2
正方形
．
1 1
15．∵曲线 y
x 3 x 2
3x ，∴
y x 2 2x 3，∴当 x 1时，切线的最小斜率为 2，此
3
3
时，
1 13 1
2
3 1 1 2 y
，∴切线方程为 y 2 2(x 1) ，即 2x y 0 ．
3 3
16．由 f (x ) 2x 3
ax 2
bx
1，得 f (x ) 6x 2
2ax b ，则其对称轴为
a
x ，因为函
数
6
y f x 的图象关于直线 x
1 对称，所以
1
(
)
，所以 a 3 ，则 f (x ) 6x 2 6x b ，
a
2
6
2
又由 f (1)
0 ，得b
12 ，所以 b 4
．
a
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分）
解：（Ⅰ）在 △ABC 中， cos C
C
C
∵
， sin 1 cos 2
4 3
∴ ， 5
5
………………………………………………………………………………………（2 分）
由正弦定理，得
AC AB
，sin B sin C
AC sin C
∴AB8 ．…………………………………………………………………（4 分）sin B
（Ⅱ）在△ABC中，Aπ(B C) ，…………………………………………………（6 分）
7 2
∴sin A sin(B C) sin B cos C cos B sin C，…………………………………（8 分）
10
∴
1 1 7 2
S△AB AC A．……………………………（10 分）
ABC
sin 8 5 2 28
2 2 10
文科数学YTH 参考答案·第3 页（共6 页）
18．（本小题满分12 分）
解：（Ⅰ）因为
1
2 (
2 * )
S
S
n n ≥ ，n N ，
n
n
所以
1
2 (
2 * )
a
S
S
n n ≥ ，n N ，…………………………………………………（3 分）
n
n
n
又因为 1 2
a ，所以a
2n ，……………………………………………………………（5 分）
n
所以
(2 2 ) 2
S
n n ．……………………………………………………………（7 分）
n
n n
2 （Ⅱ）b
2
4 ，………………………………………………………………………（9 分）
a
n
n
n
所以T
n
4(1 4 ) 4 4
n n 1 1 4 3
．…………………………………………………………（12 分） 19．（本小题满分12 分）
（Ⅰ）证明：如图3，∵ABC A B C 为三棱柱，且 1 1 1
AA
平面
ABC ，
1
AA
AC ，
1
∴四边形 AAC C 是正方形，∴AC
A C ，…………………（2
分）
1 1
1
1
由AD 2CD 4 ，得CD 2 ，
图 3
∵四边形ABCD 为平行四边形，ADC 60． ∴AC 2 2 4 2
2 2 4
cos60
2 3 ，
∴CD 2 AC 2 AD 2 ，则AC DC ，…………………………………………………（4 分）
∴AC AB ，
∵AA
平面ABC ，∴AA
AB ，………………………………………………………（6 分）
1
1
又
∵AC AA
A ，∴A
B 平面 1
ACC A ，则 1 1
A B
AC ，
1 1 1
∵
，∴ 平面
A B
A C A
AC
1 1
1
1
1
A B CD ．……………………………………………（8 分）
1 1
（Ⅱ）解：易知 AA
AC
，
1
2 3
1
1
1 ∴
△
．
V
V
CD S
2
2 3 2 3
4
C A C
D D A C C
A C C
1
1
1 1
1 1
3 3 2
……………………………………………………………………………………（12 分）
20．（本小题满分12 分）
解：（Ⅰ）用水量在[20，30) 内的频数是50，频率是0.02510 0.25 ，
50
则n
200 ，………………………………………………………………………（2 分）
0.25
文科数学YTH 参考答案·第4 页（共6 页）
用水量在[0，10) 内的频率是
25 200 ，则 0.125 0.0125
0.125
b ，
10
用水量在[50，60) 内的频率是
5 200 ，则 0.025 0.0025
0.025
a ．
10
………………………………………………………………………………………（4 分） （Ⅱ）估计全市家庭年均用水量为 5
0.125
15 0.19 25
0.25 35
0.23 45
0.18 55
0.025 27.25 ．
………………………………………………………………………………………（7 分） （Ⅲ）设 A ，B ，C ，D ，E 代表年用水量从多到少的 5 个家庭，
从中任选 3 个，总的基本事件为 ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，
BDE ，CDE ，共 10 个，
其中包含 A 的有 ABC ， ABD ， ABE ， ACD ， ACE ， ADE ，共 6 个，
……………………………………………………………………………………（10 分）
6
3
所以
P ，即年用水量最多的家庭被选中的概率是
3
10 5
5
．
……………………………………………………………………………………（12 分）
21．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）设椭圆的方程为 x y
2
2
2
2
1( 0) a b ，
a
b
可得 2a 4 ， 2b 2 3 ，即 a
2 ，b
3 ，
所以椭圆的方程为 x y
．…………………………………………………………（4 分）
2
2
1
4 3
（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，不满足条件；
假设存在过点 F 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 交于 A ，B ， 1
AF
BF ，
2
2
………………………………………………………………………………………（5 分） 设直线l 的方程为 x my
1 ，联立椭圆的方程得 (4 3m
2 )y 2
6my 9 0 ，
设A(x1，y) ，
1 B(x2，y) ，
2
6m
y y
1 2 2
4 3m
，
9
y y
1 2 2
4
3m
，
………………………………………………………………………………………（7 分）文科数学YTH 参考答案·第5 页（共6 页）
y
y AF
BF ，即 1 2 2 2 x
1 x 1
1 2 1， ……………………………………………………（8 分）
由
x 1 my 1
1，
x my ，化为 2 2 2 1 (1 m )y y 4 2m (y y ) 0 ， 1 2 1
2
9
6m 得 (1 m 2 )
4 2m 0 ，………………………………………（10 分） 4 3m
4 3m 2 2 化为9m 2 7 0 ，解得 7
m
，
3
所以存在直线 l ：3x 7y 3 0或3x 7y 3 0 满足条件．
……………………………………………………………………………………（12 分）
22．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ） f (x ) 3x 2
2ax b ， f (1) 3 2a b ， ∴ (1) 3 2
4 ，① ………………………………………………………（2 分） k f
a b
曲线 y
f (x ) 在点 P 处的切线方程为 y f
(1) 4(x 1) ， 即 y
4x 4 f
(1) 4x 1 ， ∴f
(1) 3 1 a b c ，② …………………………………………………………（4 分） ∵ y f (x ) 在 x 3处有极值，所以 f (3) 0 ，
∴27 6a b 0，③ ……………………………………………………………………（5 分） 由①②③，得 a
5 ，b 3， c
2 ， 所以 f (x ) x
3 5x 2 3x 2 ．……………………………………………………………（7 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f (x ) 3x 2 10x 3 (3x
1)(x 3) ，………………………………（8 分） 令 f (x ) 0 ，得 x 1 3， 1
x
，
2 3
当 x x 0
， 时， f (x ) 0 ；当 x (3，4] 时， f (x ) 0 ， 3
3 ， 时， f (x ) 0 ；当
1 3 1
∴f (x ) f (3) 11，………………………………………………………………（11 分）
极小值
又因为f(0) 2 ，所以f(x) 在区间[0，4] 上的最小值为11．
………………………………………………………………………………………（12 分）
文科数学YTH 参考答案·第6 页（共6 页）。