2018年高考数学(文)二轮复习高考22题12+4分项练5三角函数与解三角形(含答案)

12＋4分项练5 三角函数与解三角形
1．(2017·全国Ⅲ)已知sin α－cos α＝4
3，则sin 2α等于( )
A ．－79
B ．－29 C.29 D.79
答案 A
解析 ∵sin α－cos α＝43
，
∴(sin α－cos α)2
＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝169，
∴sin 2α＝－7
9.
故选A.
2．(2017届陕西省渭南市二模)已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，满足直线ax ＋by ＋2c ＝0与圆x 2
＋y 2
＝4相离，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．以上情况都有可能 答案 C
解析 圆心到直线的距离d ＝
|2c |
a 2＋
b 2
>2，
所以c 2
>a 2
＋b 2
，在△ABC 中，cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
<0，
所以C 为钝角．即△ABC 为钝角三角形．故选C.
3．(2017·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 答案 B
解析 因为a ＝2，c ＝2，
所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C ，
故sin A ＝2sin C . 又B ＝π－(A ＋C )，
故sin B ＋sin A (sin C －cos C )
＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C
＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0.
又C 为△ABC 的内角， 故sin C ≠0，
则sin A ＋cos A ＝0，即tan A ＝－1. 又A ∈(0，π)，所以A ＝3π
4.
从而sin C ＝
12sin A ＝
22×22＝12
. 由A ＝3π4知，C 为锐角，故C ＝π
6.
故选B.
4．(2017·湖北省武汉市调研)如图所示，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式可以为( )
A ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]
B ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
8x ＋5π4＋20，x ∈[6,14]
C ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
8x －3π4＋20，x ∈[6,14]
D ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
8x ＋5π8＋20，x ∈[6,14]
答案 A
解析 由2πω＝2(14－6)＝16，得ω＝π
8
，
A ＝12
(30－10)＝10，b ＝20，
由y ＝10sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8x ＋φ＋20过点(14,30)，得
30＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×14＋φ＋20，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋7π4＝1， φ＋7π4＝2k π＋π2，φ＝2k π－5π
4，k ∈Z ，
取k ＝1，得φ＝3π4
，
所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
8x ＋3π4＋20，故选A.
5．已知锐角α，β满足sin α＝1010，cos β＝25
5
，则α＋β的值为( ) A.
3π4 B.π
4
C.π6
D.3π4或π
4 答案 B
解析 因为锐角α，β，所以cos α＝31010，sin β＝55，因此cos(α＋β)＝cos αcos β
－sin αsin β＝31010×255－1010×55＝22，因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π
4，
故选B.
6．(2017届天津市红桥区二模)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ(φ>0)个单位
长度，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，所得图象关于直线x ＝π
4对
称，则φ的最小值为( ) A.π8 B.π
4 C.
3π8 D.π2
答案 C
解析 函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到y ＝
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π4，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －2φ＋π4，所得图象关于直线x ＝π4对称，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－2φ＝±1，则2φ－5π4＝k π＋π2
，φ＝k π2
＋7π8
，k ∈Z ，由φ>0，取k ＝－1，得φ的最小值为3π
8
，故选C.
7．(2017·安徽省蚌埠市质检)已知函数f (x )＝cos
2
ωx 2＋32sin ωx －12
(ω>0，x ∈R )，若函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，512 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，512∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56，1112
C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，56
D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，512∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，1112 答案 D
解析 ∵f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2ωx 2－1＋32sin ωx ＝12cos ωx ＋32sin ωx ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，
当x ∈(π，2π)时，ωx ＋π6∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωπ＋π6，2ωπ＋π6，
依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
ωπ＋π
6
≥k π，2ωπ＋π
6≤(k ＋1)π
⇒k －16≤ω≤k 2＋5
12
，k ∈Z ，
由k 2＋512>k －16，可得k <76，k ＝0时，ω∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，512， 当k ＝1时，ω∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤56，1112，
所以ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，512∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤56，1112，故选D. 8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，是“算经十书”中最重要的一种，是当时世界上最简练有效的应用数字，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积＝1
2(弦×矢＋矢×矢)，弧田是由圆弧(简称为弧田弧)和以圆
弧的端点为端点的线段(简称为弧田弦)围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB 等于6米，其弧所在圆为圆O ，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为7
2平方米，则cos∠AOB
等于( ) A.125 B.325
C.15
D.725 答案 D
解析 设矢为x ，那么代入弧田弧公式得72＝12(6x ＋x 2
)，解得x ＝1，设圆的半径为R ，那么根
据弦心距、半径和半个弦长得到关系式为R 2
＝(R －1)2
＋32
，解得R ＝5， cos∠AOB ＝52
＋52
－62
2×5×5＝7
25
，故选D.
9．(2017届湖南省长沙市一中模拟)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )cos x ，则下列说法正确的为( )
A ．函数f (x )的最小正周期为2π
B ．函数f (x )在⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤5π8，9π8上单调递减
C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π
6对称
D ．将f (x )的图象向右平移π8，再向下平移1
2
个单位长度后会得到一个奇函数的图象 答案 D
解析 函数的解析式为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2
x ＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝22sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，
函数的最小正周期为T ＝2π
2＝π，选项A 错误；
∵x ∈⎣⎢
⎡⎦⎥⎤5π8，9π8，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤3π2，5π2，函数在该区间上单调递增，选项B 错误； 当x ＝－π6时，2x ＋π4＝－π12，函数不关于x ＝－π
6对称，选项C 错误；
将f (x )的图象向右平移
π8，再向下平移12个单位长度后会得到函数g (x )＝2
2
sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＋12－1
2＝22sin 2x 的图象，该函数为奇函数，选项D 正确．
故选D.
10．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2
A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b 等于( )
A ．10
B ．9
C ．8
D ．5 答案 D
解析 由23cos 2
A ＋cos 2A ＝23cos 2
A ＋2cos 2
A －1
＝25cos 2
A －1＝0. ∴cos A ＝1
5
，
由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得72＝b 2＋62
－12b ×15，
解得b ＝5，b ＝－13
5
(舍去)．故选D.
11．(2017届福建省福州第一中学模拟)函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，
则sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫5π3－α等于( )
A ．－
154 B.15
4 C ．±
154 D ．－34
答案 A
解析 ∵f (x )的图象两个相邻最高点的距离为π， ∴T ＝π＝2π
ω
⇒ω＝2，f (x )＝3sin(2x ＋φ)，
∵f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2图象关于直线x ＝π3对称， ∴
2π3＋φ＝k π＋π
2
， ∴当k ＝0时，φ＝－π6
，
f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x －π6
，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝34，sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝1
4，
∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π
3，
∴cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝154， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π
3
－α
＝－sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π3＋α
＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＋π2
＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－154， 故选A.
12．(2017届山西省太原市模拟)已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)，若方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤136，72 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，256 C.⎝
⎛⎦⎥⎤256，112 D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤112，376 答案 B
解析 函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3，
由f (x )＝－1有sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π3＝－12，
所以有ωx －π3＝2k π－π6或ωx －π3＝2k π－5π
6
，
当ωx －π3＝2k π－π6时，ωx ＝2k π＋π
6
，k ＝0时显然成立，
由于方程f (x )＝－1在(0，π)内有四个交点，所以k ＝1时也成立，k ＝2时，x ＝π是第五个交点，但x ∈(0，π)，此时ω＝256，所以ω≤256；当ωx －π3＝2k π－5π
6时，ωx ＝2k π
－π2，k ＝1或2，且当k ＝2时，ωx ＝7π2，由于0<x <π，所以ω>72，综上有72<ω≤25
6，故选B.
13．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列．若sin B ＝513，
cos B ＝12
ac
，则a ＋c 的值为________．
答案 37
解析 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2
＝ac . ∵sin B ＝513，cos B ＝12
ac
，
∴ac ＝13，∴b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ， ∴a 2
＋c 2
＝37，∴(a ＋c )2
＝63，∴a ＋c ＝37.
14．(2017届江西省新余市第一中学模拟)某沿海四个城市A ，B ，C ，D 的位置如图所示，其中∠ABC ＝60°，∠BCD ＝135°，AB ＝80 n mile ，BC ＝(40＋303) n mile ，AD ＝70 6 n mile ，
D 位于A 的北偏东75°方向．现在有一艘轮船从A 出发沿直线航行，一段时间到达D 后，轮
船收到指令改向城市C 直线航行，收到指令时城市C 对于轮船的方位角是南偏西θ度，则sin θ＝________.
答案
2
2
解析 连接AC ，在△ABC 中，根据余弦定理得AC ＝ 802
＋(40＋303)2
－2×80×(40＋303)×cos 60° ＝503，
再根据正弦定理得AB sin∠ACB ＝AC
sin B ，
所以sin∠ACB ＝45，则显然可求cos∠ACB ＝3
5，
于是sin(135°－∠ACB ) ＝
22×35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×45＝72
10
， 在△ACD 中，根据正弦定理得 AC sin D ＝AD
sin (135°－∠ACB )， 得sin D ＝1
2
，所以D ＝30°，
因此根据题意，θ＝75°－30°＝45°， 所以sin θ＝
22
. 15．(2017·广东省湛江市二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32
B ＋π4＝
2
2
，且a ＋c ＝2，则△ABC 的周长的取值范围是________． 答案 [3,4)
解析 ∵0<B <π，∴0<3B 2<3π2，π4<3B 2＋π4<7π
4，
∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32
B ＋π4＝22，
∴3B 2＋π4＝3π4，B ＝π3
， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π
3
＝a 2
＋c 2
－ac ＝(a ＋c )2
－3ac ＝4－3ac ， ∵a ＋c ＝2≥2ac ，0<ac ≤1，
∴1≤4－3ac <4,1≤b 2
<4,1≤b <2,3≤a ＋b ＋c <4， 则△ABC 的周长的取值范围是[3,4)．
16．(2017届江苏省苏北三市(连云港、徐州、宿迁)三模)已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3，c ＝2.当AC →·AB →
取得最大值时，b a
的值为______． 答案 2＋ 3
解析 设△ABC 的外接圆半径为R ，
则2R ＝c sin C ＝43
3
.
AC →·AB →
＝bc cos A ＝2b cos A
＝2×433sin B cos A ＝833sin B cos A ，
∵B ＝2π
3
－A ，
AC →·AB →＝833cos A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝
833cos A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32cos A ＋12sin A ＝4cos 2
A ＋433sin A cos A
＝2(1＋cos 2A )＋23
3sin 2A
＝23
3
sin 2A ＋2cos 2A ＋2 ＝
433⎝ ⎛⎭⎪⎫
12sin 2A ＋32cos 2A ＋2 ＝
433sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＋2.
∵0<A <2π3，0<2A <4π3，π3<2A ＋π3<5π
3
，
则当2A ＋π3＝π2，即A ＝π12时，AC →·AB →
取得最大值433＋2，此时△ABC 中，B ＝7π12，a sin
π
12＝
b sin 7π12，b
a ＝sin
7π12sin
π12＝2(3＋1)42(3－1)4
＝2＋ 3.。